理科数学2010-2019高考真题分类训练15专题六 数列 第十五讲 等差数列—附解析答案

专题六 数列 第十五讲 等差数列 2019 年 1 2019 全国 1 理 9 记 n S为等差数列 n a的前 n 项和 已知 45 05Sa 则 A 25 n an B 310 n an C 2 28 n Snn D 2 1 2 2 n Snn 2 2019 全国 3 理 14 记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 121 03aaa 则 10 5 S S 3 2019 江 苏 8 已 知 数 列 n an N是 等 差 数 列 n S是 其 前 n 项 和 若 2589 0 27a aaS 则 8 S的值是 4 2019 北京理 10 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 25 310aS 则 5 a n S 的最小值为 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 记 n S为等差数列 n a的前n项和 若 324 3SSS 1 2a 则 5 a A 12 B 10 C 10 D 12 2 2017 新课标 记 n S为等差数列 n a的前n项和 若 45 24aa 6 48S 则 n a 的公差为 A 1 B 2 C 4 D 8 3 2017 新课标 等差数列 n a的首项为 1 公差不为 0 若 2 a 3 a 6 a成等比数列 则 n a前 6 项的和为 A 24 B 3 C 3 D 8 4 2017 浙江 已知等差数列 n a的公差为d 前n项和为 n S 则 0d 是 465 2SSS 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 2016 年全国 I 已知等差数列 n a前 9 项的和为 27 10 8 a 则 100 a A 100 B 99 C 98 D 97 6 2015 重庆 在等差数列 n a中 若 24 4 2aa 则 6 a A 1 B 0 C 1 D 6 7 2015 浙江 已知 n a是等差数列 公差d不为零 前n项和是 n S 若 348 a a a成等比 数列 则 A 14 0 0a ddS B 14 0 0a ddS C 14 0 0a ddS D 14 0 0a ddS 8 2014 辽宁 设等差数列 n a的公差为d 若数列 1 2 n a a 为递减数列 则 A 0d B 0d C 1 0a d D 1 0a d 9 2014 福建 等差数列 n a的前n项和 n S 若 13 2 12aS 则 6 a A 8 B 10 C 12 D 14 10 2014 重庆 在等差数列 n a中 135 2 10aaa 则 7 a A 5 B 8 C 10 D 14 11 2013 新课标 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 1m S 2 m S 0 1m S 3 则m A 3 B 4 C 5 D 6 12 2013 辽宁 下面是关于公差0d 的等差数列 n a的四个命题 1 n pa数列是递增数列 2 n pna数列是递增数列 3 n a p n 数列是递增数列 4 3 n pand 数列是递增数列 其中的真命题为 A 12 p p B 34 pp C 23 pp D 14 p p 13 2012 福建 等差数列 n a中 15 10aa 4 7a 则数列 n a的公差为 A 1 B 2 C 3 D 4 14 2012 辽宁 在等差数列 n a中 已知 48 16aa 则该数列前 11 项和 11 S A 58 B 88 C 143 D 176 15 2011 江西 设 n a为等差数列 公差2d n S为其前n项和 若 1011 SS 则 1 a A 18 B 20 C 22 D 24 16 2011 安徽 若数列 n a的通项公式是 1210 1 32 n n anaaa 则 A 15 B 12 C D 17 2011 天津 已知 n a为等差数列 其公差为2 且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项 n S为 n a的前n项和 nN 则 10 S的值为 A 110 B 90 C 90 D 110 18 2010 安徽 设数列 n a的前n项和 2 n Sn 则 8 a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 二 填空题 19 2018 北京 设 n a是等差数列 且 1 3a 25 36aa 则 n a的通项公式为 20 2018 上海 记等差数列 n a的前几项和为 n S 若 3 0a 67 14aa 则 7 S 21 2017 新课标 等差数列 n a的前n项和为 n S 3 3a 4 10S 则 1 1 n k k S 22 2015 广东 在等差数列 n a中 若 34567 25aaaaa 则 28 aa 23 2014 北京 若等差数列 n a满足 789 0aaa 710 0aa 则当n 时 n a的前n项和最大 24 2014 江西 在等差数列 n a中 7 1 a 公差为d 前n项和为 n S 当且仅当8 n 时 n S取最大值 则d的取值范围 25 2013 新课标 2 等差数列 n a的前n项和为 n S 已知 10 0S 15 25S 则 n nS的 最小值为 26 2013 广东 在等差数列 n a中 已知 38 10aa 则 57 3aa 27 2012 北京 已知 n a为等差数列 n S为其前n项和 若 1 1 2 a 23 Sa 则 2 a n S 28 2012 江西 设数列 nn ab都是等差数列 若 11 7ab 33 21ab 则 55 ab 29 2012 广东 已知递增的等差数列 n a满足 1 1a 2 32 4aa 则 n a 30 2011 广东 等差数列 n a前 9 项的和等于前 4 项的和 若 1 1a 4 0 k aa 则k 三 解答题 31 2018 全国卷 记 n S为等差数列 n a的前n项和 已知 1 7 a 3 15 S 1 求 n a的通项公式 2 求 n S 并求 n S的最小值 32 2017 北京 设 n a和 n b是两个等差数列 记 1122 max nnn cban ba nba n 1 2 3 n 其中 12 max s x xx 表示 12 s x xx 这s个数中最大的数 若 n an 21 n bn 求 123 c c c的值 并证明 n c是等差数列 证明 或者对任意正数M 存在正整数m 当nm 时 n c M n 或者存在 正整数m 使得 12 mmm ccc 是等差数列 33 2016 年山东高考 已知数列 n a 的前 n 项和 2 38 n Snn n b是等差数列 且 1 nnn abb 求数列 n b的通项公式 令 1 1 2 n n n n n a c b 求数列 n c的前 n 项和 Tn 34 2016 年天津高考 已知 n a是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的 Nn n b是 n a和 1n a 的等差中项 设 22 1 N nnn cbb n 求证 数列 n c是等差数列 设 2 2 1 1 1 N n k nk k ad Tb n 求证 2 1 11 2 n k k Td 35 2015 四川 设数列 n a的前n项和 1 2 nn Saa 且 123 1 a aa 成等差数列 1 求数列 n a的通项公式 2 记数列 1 n a 的前n项和 n T 求得 1 1 1000 n T 成立的n的最小值 36 2015 湖北 设等差数列 n a的公差为d 前n项和为 n S 等比数列 n b的公比为q 已 知 11 ba 2 2b qd 10 100S 求数列 n a n b的通项公式 当1d 时 记 n n n a c b 求数列 n c的前n项和 n T 37 2014 新课标 1 已知 n a是递增的等差数列 2 a 4 a是方程 2 560 xx 的根 求 n a的通项公式 求数列 2 n n a 的前n项和 38 2014 新课标 1 已知数列 n a 的前n项和为 n S 1 a 1 0 n a 1 1 nnn a aS 其 中 为常数 证明 2nn aa 是否存在 使得 n a 为等差数列 并说明理由 39 2014 浙江 已知等差数列 n a的公差0d 设 n a的前 n 项和为 n S 1 1a 23 36SS 求d及 n S 求 m k m kN 的值 使得 12 65 mmmm k aaaa 40 2013新课标1 已知等差数列 n a的前n项和 n S满足 3 0S 5 5S 求 n a的通项公式 求数列 2121 1 nn aa 的前n项和 41 2013 福建 已知等差数列 n a的公差1d 前n项和为 n S 若 13 1 a a成等比数列 求 1 a 若 519 Sa a 求 1 a的取值范围 42 2013 新课标 2 已知等差数列 n a的公差不为零 1 25a 且 1 a 11 a 13 a成等比 数列 求 n a的通项公式 求 14732 n aaaa 43 2013 山东 设等差数列 n a的前n项和为 n S 且 42 4SS 2 21 nn aa 求数列 n a的通项公式 设数列 n b的前n项和 n T 且 1 2 n n n a T 为常数 令 2nn cb n N 求 数列 n c的前n项和 n R 44 2011 福建 已知等差数列 n a中 1 a 1 3 3a 求数列 n a的通项公式 若数列 n a的前k项和35 k S 求k的值 45 2010 浙江 设 1 a d为实数 首项为 1 a 公差为d的等差数列 n a的前n项和为 n S 满足 56 S S 15 0 若 5 S 5 求 6 S及 1 a 求d的取值范围 专题六 数列 第十五讲 等差数列 答案部分 2019 年 1 解析 解析 设等差数列 n a的公差为d 由 45 05Sa 得 1 1 460 45 ad ad 解得 1 3 2 a d 所以 2 542 nn anSnn 故选 A 2 解析解析 设等差数列 n a的公差为d 则 由 1 0a 21 3aa 可得 1 2da 10110111 515111 10 2 29 2 218 4 5 2428 Saaadaa Saaadaa 3 解析解析 设等差数列 n a的首项为 1 a 公差为d 则 111 1 4 70 9 8 927 2 ad adad ad 解得 1 5 2 a d 所以 81 8 7 86 5 15 216 2 d Sa 4 解析解析 由题意得 21 51 3 5 1010 aad Sad 解得 1 4 1 a d 所以 51 40aad 因为 n a是一个递增数列 且 5 0a 所以 n S的最小值为 4 S或 5 S 45 4 3 44110 2 SS 2010 2018 年 1 B 解析 通解 设等差数列 n a的公差为d 324 3 SSS 111 3 24 3 3 3 24 22 adadad 解得 1 3 2 da 1 2 a 3 d 51 424 3 10 aad 故选 B 优解 设等差数列 n a的公差为d 324 3 SSS 33334 3 SSaSa 343 Saa 1 3 2 3 2 add 1 2 a 3 d 51 424 3 10 aad 故选 B 2 C 解析 解法一 由 61634 3 3 48Saaaa 得 34 16aa 由 4534 8aaaa 得 53 8aa 设公差为d 即28d 所以4d 选 C 解法二 设公差为d 则有 1 1 2724 61548 ad ad 解得4d 故选 C 3 A 解析 设 n a的公差为d 0d 由 2 326 aa a 得 2 1 2 1 1 5 ddd 所以2d 6 6 5 6 1 2 24 2 S 选 A 4 C 解析 655465 SSSSaad 当0d 可得 465 2SSS 当 465 2SSS 可得0d 所以 0d 是 465 2SSS 充分必要条件 选 C 5 C 解析 设等差数列 n a的公差为d 因为 n a为等差数列 且 95 927Sa 所 以 5 3a 又 10 8a 解得 105 55daa 所以1d 所以 1005 9598aad 选 C 6 B 解析 由等差数列的性质得 642 22 240aaa 选 B 4 2a 7 B 解析 由 348 a a a成等比数列可得 2 111 3 2 7 adadad 即 1 350ad 所以 1 5 3 ad 所以 1 0a d 又 2 14 41 42 2 23 0 23 aa dSdad dd 8 C 解析 数列 1 2 n a a 为递减数列 111111 1 n aaa andadna ad 等式 右边为关于n的一次函数 1 0a d 9 C 解析 设等差数列 n a的公差为d 则 31 33Sad 所以123 23d 解得 2d 所以 6 12a 10 B 解析 由等差数列的性质得 1735 aaaa 因为 1 2a 35 10aa 所以 7 8a 选 B 11 C 解析 有题意知 m S 1 2 m m aa 0 1 a m a m S 1m S 2 1m a 1m S m S 3 公差d 1m a m a 1 3 1m a 2m m 5 故选 C 12 D 解析 设 1 1 n aanddnm 所以 1 p正确 如果312 n an 则满足已 知 但 2 312 n nann 并非递增所以 2 p错 如果若1 n an 则满足已知 但 1 1 n a nn 是递减数列 所以 3 p错 34 n anddnm 所以是递增数列 4 p正 确 13 B 解析 由题意有 153 210aaa 3 5a 又 4 7a 43 2aa 2d 14 B 解析 4866 2 16 8aaaa 而 111 116 11 11 88 2 aa Sa 故选 B 15 B 解析 由 1011 SS 得 111110 0aSS 111 1 11 0 10 2 20aad 16 A 解析 10 1210 1 47 10 1 3 102 aaa 910 1 4 7 10 1 3 92 1 3 102 15 17 D 解析 因为 7 a是 3 a与 9 a的等比中项 所以 2 739 aa a 又数列 n a的公差为2 所以 2 111 12 4 16 aaa 解得 1 20a 故20 1 2 222 n ann 所以 110 10 10 5 202 110 2 aa S 18 A 解析 887 644915aSS 19 14 解析 解法一 设 n a的公差为d 首项为 1 a 则 1 11 20 5614 ad adad 解得 1 4 2 a d 所以 7 7 6 7 4 214 2 S 解法二 3 2714ad 所以2d 故 43 2aad 故 74 77 214Sa 20 63 n an 解析 设等差数列的公差为d 2511 46536aaadadd 6d 3 1 663 n ann 21 2 1 n n 解析 设等差数列的首项为 1 a 公差为d 则 1 1 23 4 3 410 2 ad ad 解得 1 1a 1d 1 1 1 22 n n nn n Snad 所以 1211 2 1 1 n Sk kkk 所以 1 11111112 2 1 2 1 223111 n k k n Snnnn 22 10 解析 由 34567 25aaaaa 得 5 525a 所以 5 5a 故 285 210aaa 23 8 解析 数列 n a是等差数列 且 7898 30aaaa 8 0a 又 71089 0aaaa 9 0a 当n 8 时 其前n项和最大 24 7 1 8 解析 由题意可知 当且仅当8 n时 n S取最大值 可得 8 9 0 0 0 d a a 解得 7 1 8 d 25 49 解析 设 n a的首项为 1 a 公差d 由 10 0S 15 25S 得 1 1 290 3215 ad ad 解得 1 2 3 3 ad 32 1 10 3 n nSnn 设 32 1 10 3 f nnn 2 20 3 fnnn 当 20 0 3 n 时 0fn 当 20 3 n 0fn 由 nN 当6n 时 3 1 6610 3648 3 f 当7n 时 32 1 710 749 3 f n 7n 时 n nS取得最小值49 26 20 解析 依题意 1 2910ad 所以 57111 334641820aaadadad 或 5738 3220aaaa 27 1 1 4 n n 解析 设公差为 d 则 11 22adad 把 1 1 2 a 代入得 1 2 d 2 1a n S 1 1 4 n n 28 35 解析 解法一 因为数列 nn ab都是等差数列 所以数列 nn ab 也是等差 数列 故由等差中项的性质 得 551133 2ababab 即 55 72 21ab 解得 55 35ab 解法二 设数列 nn ab的公差分别为 12 d d 因为 331112 2 2 abadbd 1112 2 abdd 12 72 21dd 所以 12 7dd 所以 553312 2 35ababdd 29 21 n an 解析 22 132 1 41 2 1 4aaadd 221 n dan 30 10 解析 设 n a的公差为d 由 94 SS 及 1 1a 得 9 84 3 9 14 1 22 dd 所以 1 6 d 又 4 0 k aa 所以 11 1 1 1 4 1 0 66 k 即10k 31 解析 1 设 n a的公差为 d 由题意得 1 3315ad 由 1 7a 得 d 2 所以 n a的通项公式为29 n an 2 由 1 得 22 8 4 16 n Snnn 所以当4n 时 n S取得最小值 最小值为 16 32 解析 易知 1 1a 2 2a 3 3a 且 1 1b 2 3b 3 5b 所以 111 1 10 cba 21122 max 2 2 max 1 2 1 3 2 2 1cba ba 3112233 max 3 3 3 max 1 3 1 3 3 2 5 3 3 2cba ba ba 下面证明 对任意n N且2n 都有 11n cba n 当k N且2kn 时 11 kk banba n 21 1knkn 22 1 kn k 1 2 kn 10k 且20n 11 0 kk banba n 11 kk ba nban 因此对任意n N且2n 11 1 n cba nn 则 1 1 nn cc 又 21 1cc 故 1 1 nn cc 对n N均成立 从而 n c是等差数列 设数列 n a和 n b的公差分别为 ab dd 下面我们考虑 n c的取值 对 11 ba n 22 ban nn ban 考虑其中任意项 ii ba n i N且1 in ii ba n 11 1 1 ba bidaidn 11 1 ba ba niddn 下面分0 a d 0 a d 0 a d 三种情况进行讨论 1 若0 a d 则 ii ba n 11 1 b ba nid 若0 b d 则 11 1 0 iib ba nba nid 则对于给定的正整数n而言 11n cba n 此时 11nn cca 故 n c是等差数列 0 b d 则 0 iinnb ba nbanin d 则对于给定的正整数n而言 1nnnn cbanba n 此时 11nnb ccda 故 n c是等差数列 此时取1m 则 123 c c c 是等差数列 命题成立 2 若0 a d 则此时 ab dnd 为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数 故必存在m N 使得当nm 时 0 ab dnd 则当nm 时 11 1 0 iiab ba nba nidnd 1 iin N 因此 当nm 时 11n cba n 此时 11nn cca 故 n c从第m项开始为等差数列 命题成立 3 0 a d 则此时 ab dnd 为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数 故必存在s N 使得当ns 时 0 ab dnd 则当ns 时 0 iinnab ba nbanindnd 1 iin N 因此当ns 时 nnn cban 此时 nnnn n cbanb a nnn 1 1 b aab bd dndad n 令0 a dA 1ab dadB 1b bdC 下面证明 n cC AnB nn 对任意正数M 存在正整数m 使得当nm 时 n c M n 若0C 则取 1 MB m A x表示不等于x的最大整数 当nm 时 1 n cMBMB AnBAmBABABM nAA 此时命题成立 若0C 则取 1 MCB m A 当nm 时 1 n cMCB AnBCAmBCABC nA MCBBCM 此时命题成立 因此 对任意正数M 使得当nm 时 n c M n 综合以上三种情况 命题得证 33 解析 因为数列 n a的前n项和nnSn83 2 所以11 1 a 当2 n时 56 1 8 1 383 22 1 nnnnnSSa nnn 又56 nan对1 n也成立 所以56 nan 又因为 n b是等差数列 设公差为d 则dbbba nnnn 2 1 当1 n时 db 112 1 当2 n时 db 172 2 解得3 d 所以数列 n b的通项公式为13 2 n da b n n 由 1 11 2 33 33 66 2 1 n n n n n n n n n n n b a c 于是 1432 2 33 2122926 n n nT 两边同乘以 得 2143 2 33 2 3 29262 nn n nnT 两式相减 得 21432 2 33 23232326 nn n nT 2 2 2 2 33 21 21 23 23 n n n 222 232 33 21 2312 nnn n nnT 34 解析 由题意得 2 1nnn ba a 有 22 11211 2 nnnnnnnn cbbaaa ada 因此 2 121 2 2 nnnn ccd aad 所以数列 n c是等差数列 222222 1234212 nnn Tbbbbbb 242 2 n d aaa 22 2 2 n n aa d 2 2 1 d n n 所以 2222 111 111111111 1 2 1 21212 nnn kkk k Tdk kdkkdnd 35 解析 1 由已知 1 2 nn saa 有 11 222 nnnnn assaan 即 1 22 nn aan 从而 2131 2 4aa aa 又因为 123 1 a aa 成等差数列 即 132 2 1 aaa 所以 111 42 21 aaa 解得 1 2a 所以 数列 n a是首项为 2 公比为 2 的等比数列 故2n n a 2 由 1 得 11 2n n a 所以 23 11 1 11111 22 1 1 22222 1 2 n n nn T 由 1 1 1000 n T 得 11 11 21000 n 即21000 n 因为 910 2512100010242 所以10n 于是 使 1 1 1000 n T 成立的 n 的最小值为 10 36 解析 由题意有 1 1 1045100 2 ad a d 即 1 1 2920 2 ad a d 解得 1 1 2 a d 或 1 9 2 9 a d 故 1 21 2 n n n an b 或 1 1 279 9 2 9 9 n n n an b 由1d 知21 n an 1 2n n b 故 1 21 2 n n n c 于是 2341 357921 1 22222 n n n T 2345 11357921 2222222 n n n T 可得 22 11112123 23 222222 n nnn nn T 故 n T 1 23 6 2n n 37 解析 方程 2 560 xx 的两根为 2 3 由题意得 24 2 3 aa 设数列 n a的公差为 d 则 42 2 aad 故 1 2 d 从而 1 3 2 a 所以 n a的通项公式为 1 1 2 n an 设 2 n n a 的前 n 项和为 n s由 I 知 1 2 22 n nn an 则 231 3412 2222 n nn nn s 3412 13412 22222 n nn nn s 两式相减得 312 13112 24222 n nn n s 12 3112 1 4422 nn n 所以 1 4 2 2 n n n s 38 解析 由题设 1121 1 1 nnnnnn a aSaaS 两式相减得 121 nnn aaaa 由于 1 0 n a 所以 2 nn aa 由题设 1 1a 121 1a aS 可得 2 1 a 由 知 3 1 a 令 213 2aaa 解得4 故 2 4 nn aa 由此可得 21n a 是首项为 1 公差为 4 的等差数列 21 43 n an 2n a是首项为 3 公差为 4 的等差数列 2 41 n an 所以21 n an 1 2 nn aa 因此存在4 使得数列 n a为等差数列 39 解析 由题意 36 33 2 11 dada 将1 1 a代入上式得2 d或5 d 因为0 d 所以2 d 从而12 nan 2 nSn Nn 由 1 知 1 12 1 kkmaaa knnn 所以65 1 12 kkm 由 N km知 1 1 12 kkm 所以 51 1312 k km 所以 4 5 k m 40 解析 设 n a的公差为d 则 n S 1 1 2 n n nad 由已知可得 1 1 1 330