江苏高中数学典型题目

参变分离还是利用二次函数的图象 1 已知函数 2 1f xxmx 若对于任意的 1xm m 都有 0f x 则实数m的取值范围为 利用函数的性质解不等式 2 已知知函数 则不等式的解集是 1 2 1 1 x f x x xR 2 2 34 f xxfx 3 已知函数f x 则关于x的不等式f x2 f 3 2x 的解集是 3 1 3 x x 0 x2 x 0 4 已知函数 f x x 1 e 1 lnx 其中 e 为自然对数的底 则满足 f ex 0 的 x 的取值范围为 0 1 双变量问题 5 已知正实数 x y 满足 则的最小值是 消元法或判别式法 42 yxxyyx 362 6 若 a 0 b 0 且 则 a 2b 的最小值为 基本不等式法或消元法 7 已知 x y 为正实数 则 的最大值为 齐次式消元 4x 4x y y x y 4 3 已知函数奇偶性求参数 2 若函数 2 2f xaxxa 是偶函数 则实数a的值为 2 两个变量的函数 17 南京二模应用题 和零点有关的题目 已知零点个数求参数范围 3 已知函数 若方程恰有 4 个互异的实数根 则实数的取值范围 2 2f xxx xR 20f xa x a 为 可用参变分离可用参变分离 9 1 0 9 设 f x x2 3x a 若函数 f x 在区间 1 3 内有零点 则实数 a 的取值范围为 0 9 4 零点存在定理 3 已知 f x 是二次函数 不等式 f x 0 的解集是 0 5 且 f x 在区间 1 4 上的最大值是 12 1 求 f x 的解析式 2 是否存在整数 m 使得方程 f x 0 在区间 m m 1 内有且只有两个不等的实数 37 x 根 若存在 求出 m 值 若不存在 说明理由 3 解 1 f x 2x x 5 2x2 10 x x R 2 方程 f x 0 等价于方程 2x3 10 x2 37 0 设 h x 2x3 10 x2 37 则 h x 37 x 6x2 20 x 2x 3x 10 当 x 时 h x 0 h x 是减函数 当 x 时 h x 0 h x 是增函数 0 10 3 10 3 h 3 1 0 h 0 h 4 5 0 方程 h x 0 在区间 内分别有唯一实数根 而 10 3 1 27 3 10 3 10 3 4 在区间 0 3 4 内没有实数根 所以存在唯一的自然数 m 3 使得方程 f x 0 在区间 m m 1 内有 37 x 且只有两个不同的实数根 单调性 异号端点值 3 函数的零点所在的一个区间是 则1 或 22 xexf x 1 Znnn n 7 已知函数 2 x f xaxx e 其中 是自然数的底数 aR 当0a 时 求整数 的所有值 使方程 2f xx 在 上有解 当0a 时 方程即为e2 x xx 由于e0 x 所以0 x 不是方程的解 所以原方程等价于 2 e10 x x 令 2 e1 x h x x 因为 2 2 e0 x h x x 对于 00 x 恒成立 所以 h x在 0 和 0 内是单调增函数 又 1 e30h 2 2 e20h 3 1 3 e0 3 h 2 2 e0h 所以方程 2f xx 有且只有两个实数根 且分别在区间 1 2 和 32 上 所以整数k的所有值为 3 1 复合函数的零点个数 10 已知函数baxaxxg 12 2 0 a 在区间 3 2 上有最大值4和最小值1 设 x xg xf 1 求a b的值 3 若 03 12 2 12 kkf x x 有三个不同的实数解 求实数k的取值范围 复合函数根的个数 解 1 abxaxg 1 1 2 因为0 a 所以 xg在区间 3 2 上是增函数 故 4 3 1 2 g g 解得 0 1 b a 3 原方程可化为0 12 12 23 12 2 kk xx 令t x 12 则 0 t 0 12 23 2 ktkt有两个不同的实数解 1 t 2 t 其中10 1 t 1 2 t 或10 1 t 1 2 t 记 12 23 2 ktktth 则 0 1 012 kh k 或 1 2 23 0 0 1 012 k kh k 解不等组 得0 k 而不等式组 无实数解 所以实数k的取值范围是 0 14 设定义域为 R 的函数 0 2 0 lg 2 xxx xx xf 若关于x的函数1 3 2 2 xfxfy的零点的个数为 7 导数存在任意 x1x2 的题目 例 1 已知函数 1 ln1 a f xxax x aR 设 2 24 g xxbx 当 1 4 a 时 若对任意 1 0 2 x 存 在 2 1 2x 使 12 f xg x 求实数b取值范围 当 1 4 a 时 f x 在 0 1 上是减函数 在 1 2 上是增函数 所以对任意 1 0 2 x 有 1 1 f x f 1 2 又已知存在 2 1 2x 使 12 f xg x 所以 2 1 2 g x 2 1 2x 即存在 1 2x 使 2 1 24 2 g xxbx 即 2 9 2 2 bxx 即 9 2 2bx x 11 17 24 所以实数b取值范围是 8 17 2016 苏锡常镇二模苏锡常镇二模 12 已知函数 f x 若存在 x1 x2 R 当 x2 2 4x 0 x 4 l lo og g2 2 x 2 2 4 4 x x 6 6 0 x1 4 x2 6 时 f x1 f x2 则 x1f x2 的取值范围是 3 256 27 分段函数的单调性 10 是上的减函数 则的取值范围是 1 log 1 4 13 xx xaxa xf a Ra 3 1 7 1 和切线有关的导数题目 三句话 1 过点 与函数 是自然对数的底数 图像相切的直线方程是 1 0 x f xe e1 xy 公切线 20 已知函数 设 求证 存在唯一的使得 g x 图象在点 A 处的切线 ln x f xeg xx 0 1x 0 x 00 x g x 与 y f x 图象也相切 l 2 在处切线方程为 g x 0 xx 0 0 1 ln1yxx x 设直线 与图像相切于点 则 6 分 l x ye 1 1 x x e l 11 1 1 xx ye xex 由 得 0 0 0 1 ln0 1 x x x 下证在上存在且唯一 0 x 1 令 在上 1 ln1 1 x G xxx x 2 2 1 0 1 x Gx x x G x 1 A 又图像连续 存在唯一 使 式成立 从而由 可确 2 2 2 23 0 0 11 e G eG e ee G x 0 x 1 立 故得证 1 x 已知极值求参数 检验 3 已知函数在时有极值 0 则 322 3f xxmxnxm 1x mn 对函数求导得 由题意得 即 解得 或 当 2 36fxxmxn 1 0 1 0 f f 2 1 30 360 mnm mn 1 3 m n 2 9 m n 时 故 1 3 m n 22 3633 1 0fxxxx 2 9 m n 11mn 含参数不等式恒成立中参数是整数的题目 20 本小题满分 16 分 己知函数若关于 x 的不等式恒成立 求整数 a 2 1 ln 2 f xxaxx aR 1f xax 的最小值 方法一 令 所以 2 1 1 ln 1 1 2 g xf xaxxaxa x 2 1 1 1 1 axa x g xaxa xx 1 1 0 01 1 ln1 x x e x xex 当时 因为 所以 所以在上是递增函数 0a 0 x 0g x g x 0 又因为 所以关于的不等式不能恒成立 2 13 1 ln11 1 120 22 gaaa x 1f xax 当时 令 得 0a 2 1 1 1 1 a xx axa x a g x xx 0g x 1 x a 所以当时 当时 1 0 x a 0g x 1 x a 0g x 因此函数在是增函数 在是减函数 g x 1 0 x a 1 x a 故函数的最大值为 令 g x 2 111111 ln 1 1ln 22 gaaa aaaaa 1 ln 2 h aa a 因为 又因为在是减函数 1 1 0 2 h 1 2 ln20 4 h h a 0 a 所以当时 所以整数的最小值为 2 2a 0h a a 方法二 2 由恒成立 得在上恒成立 1f xax 2 1 ln1 2 xaxxax 0 问题等价于在上恒成立 令 只要 2 ln1 1 2 xx a xx 0 2 ln1 1 2 xx g x xx max ag x 因为 令 得 22 1 1 ln 2 1 2 xxx g x xx 0g x 1 ln0 2 xx 设 因为 所以在上单调递减 1 ln 2 h xxx 11 0 2 h x x h x 0 不妨设的根为 当时 当时 1 ln0 2 xx 0 x 0 0 xx 0g x 0 xx 0g x 所以在上是增函数 在上是减函数 g x 0 0 xx 0 xx 所以 因为 0 00 max0 2 0 0000 1 1 ln11 2 11 1 22 x xx g xg x x xxxx 11 ln20 24 h 1 1 0 2 h 所以 此时 即 所以 即整数的最小值为 2 0 1 1 2 x 0 1 12 x max 1 2 g x 2a a 绝对值函数 2015 泰州二模 13 若函数在区间上单调递增 则实数的取值范围是 2 2 f xxxa 2 4 a 2 5 2016 苏州调研测试 已知函数f x x x a a R R g x x2 1 记函数f x 在区间 0 2 上的最大值为F a 求F a 的表达式 2 因为x 0 2 当a 0时 f x x2 ax 则f x 在区间 0 2 上是增函数 所以F a f 2 4 2a 当0 a 2时 f x 2 2 0 2 xaxxa x axax 则f x 在区间 0 2 a 上是增函数 在区间 2 a a 上是减函数 在区间 a 2 上是增函数 所以F a max 2 2 a ff 而f 2 a 2 4 a f 2 4 2a 令f 2 a f 2 即 2 4 a 4 2a 解得 4 4 2 a 4 4 2 所以当0 a 4 2 4时 F a 4 2a 令f 2 a f 2 即 2 4 a 4 2a 解得a 4 4 2 或a 4 4 2 所以当4 2 4 a 2时 F a 2 4 a 当a 2时 f x x2 ax 当1 2 a 2 即2 a0 b 0 将点P 3 2 代入得 1 2 得ab 24 x a y b 3 a 2 b 6 ab 从而S AOB ab 12 当且仅当 时等号成立 这时k 从而所求直线方程为 2x 3y 12 0 1 2 3 a 2 b b a 2 3 方法二 依题意知 直线l的斜率k存在且k 0 则直线l的方程为y 2 k x 3 k1 12 分 1 2 2 则 S OAB t 2 1 t 2 所以 S OAB的最小值为 在 k 0 时取得 此时 AB 14 分 2 6 注 若利用 S OAB t 忽略 k 0 的条件 求出答案的 本问给 2 分 1 t 2 已知椭圆的上顶点为 直线交椭圆于两点 设直线的斜率 22 1 42 xy C A lykxm P Q AP AQ 分别为 12 k k 1 若时 求的值 0m 12 kk 2 若时 证明直线过定点 1 21 kk lykxm 设点法 5 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的焦距为 2 且过点 xOy 0 1 2 2 2 2 ba b y a x E 2 6 2 1 求椭圆的方程 E 2 若点 分别是椭圆的左 右顶点 直线 经过点且垂直于轴 点是椭圆上异于 的任意一ABElBxPAB 点 直线交 于点设直线的斜率为直线的斜率为 求证 为定值 APl MOM 1 kBP 2 k 21k k AB M P O l x y m 答案 由题意得 所以 又 22c 1c 22 23 1 2ab 消去可得 解得或 舍去 则 所以椭圆的方程为 a 42 2530bb 2 3b 2 1 2 b 2 4a E 22 1 43 xy 设 则 111 0 P x yy 0 2 My 0 1 2 y k 1 2 1 2 y k x 因为三点共线 所以 所以 8 分 A P B 1 0 1 4 2 y y x 2 011 12 2 11 4 2 2 2 4 y yy k k xx 因为在椭圆上 所以 故为定值 11 P x y 22 11 3 4 4 yx 2 1 12 2 1 43 2 4 2 y k k x 凤凰台 47 页第 4 题 关于原点对称的两点怎么处理 重要结论 关于 y 轴对称的两点怎么处理 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 x2 a2 y2 b2 3 2 以原点为圆心 椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x y 2 0 相切 1 求椭圆 C 的方程 2 已知点 P 0 1 Q 0 2 设 M N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点 直线 PM 与 QN 相交于点 T 求 证 点 T 在椭圆 C 上 17 1 解 由题意知 b 3 分 2 22 因为离心率 e 所以 c a 3 2 b a 1 c a 2 1 2 所以 a 2 2 所以椭圆 C 的方程为 1 6 分 x2 8 y2 2 2 证明 由题意可设 M N 的坐标分别为 x0 y0 x0 y0 则 直线 PM 的方程为 y x 1 y0 1 x0 直线 QN 的方程为 y x 2 8 分 y0 2 x0 证法 1 联立 解得 x y 即 T 11 分 x0 2y0 3 3y0 4 2y0 3 x0 2y0 3 3y0 4 2y0 3 由 1 可得 x 8 4y x2 0 8 y2 0 22 02 0 因为 2 2 1 8 x0 2y0 3 1 2 3y0 4 2y0 3 x2 0 4 3y0 4 2 8 2y0 3 2 8 4y2 0 4 3y0 4 2 8 2y0 3 2 1 32y2 0 96y0 72 8 2y0 3 2 8 2y0 3 2 8 2y0 3 2 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程 即点 T 在椭圆 C 上 14 分 韦达定理 什么情况下用韦达定理 韦达定理出现在哪里 是否要判断判别式 18 如图 已知椭圆 a b 0 的离心率 过点 A 0 b 和 B a 0 的直线与原点的距离 2 2 2 2 b y a x 3 6 e 为 2 3 1 求椭圆的方程 2 已知定点 E 1 0 若直线 y kx 2 k 0 与椭圆交于 C D 两点 问 是否存在 k 的值 使以 CD 为直 径的圆过 E 点 请说明理由 答案 1 2 1 3 2 2 y x 6 7 k 解 1 直线 AB 方程为 bx ay ab 0 依题意 解得 椭圆方程为 2 3 3 6 22 ba ab a c 1 3 b a 1 3 2 2 y x 2 假若存在这样的 k 值 由得 033 2 22 yx kxy 31 2 k 0912 2 kxx 0 31 36 12 22 kk 设 则 1 xC 1 y 2 xD 2 y 2 21 2 21 31 9 31 12 k xx k k xx 而 4 2 2 2 2121 2 2121 xxkxxkkxkxyy 要使以 CD 为直径的圆过点 E 1 0 当且仅当 CE DE 时 则 即 1 11 2 2 1 1 x y x y 0 1 1 2121 xxyy 05 1 2 1 2121 2 xxkxxk 将 式代入 整理解得 经验证 使 成立 6 7 k 6 7 k 综上可知 存在 使得以 CD 为直径的圆过点 E 6 7 k 南京三模 18 题 也是定值问题 定值问题 连宿徐三模 18 题 1 椭圆的离心率位 直线 l 与 x 轴交于点 E 与椭圆交于 A B 两点 当直线 l 垂直于 x 轴切1 2 2 2 2 b y a x C 3 6 点 E 为椭圆 C 的右焦点时 弦 AB 的长为 3 62 3 是否存在点E 使得为定值 若存在 求出该定值 并指出点E的坐标 22 11 EBEA 3 假设存在点E 使得 2 1 EA 2 1 EB 为定值 设E x0 0 当直线AB与x轴重合时 有 2 1 EA 2 1 EB 2 0 1 6 x 2 0 1 6 x 2 0 22 0 122 6 x x 当直线AB与x轴垂直时 2 1 EA 2 1 EB 2 0 2 2 1 6 x 2 0 6 6 x 由 2 0 22 0 122 6 x x 2 0 6 6 x 解得x0 2 0 6 3 6 x 2 所以若存在点E 此时E 3 0 2 1 EA 2 1 EB 为定值2 根据对称性 只需考虑直线AB过点E 3 0 设A x1 y1 B x2 y2 又设直线AB的方程为x my 3 与椭圆C联立方程组 化简得 m2 3 y2 2 3 my 3 0 所以y1 y2 2 2 3 3 m m y1y2 2 3 3m 又 2 1 EA 22 11 1 3 xy 222 11 1 m yy 22 1 1 1 my 同理可得 2 1 EB 22 2 1 1 my 所以 2 1 EA 2 1 EB 22 1 1 1 my 22 2 1 1 my 2 1212 222 12 2 1 yyy y my y 将上述关系式代入 化简可得 2 1 EA 2 1 EB 2 综上所述 存在点E 3 0 使得 2 1 EA 2 1 EB 为定值2 2015 年江苏高考 18 题 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 1 a b 0 的离