理科数学2010-2019高考真题分类训练11专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用—附解析答案

专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 2019 年 1 2019 江苏 18 如图 一个湖的边界是圆心为 O 的圆 湖的一侧有一条直线型公路 l 湖 上有桥 AB AB 是圆 O 的直径 规划在公路 l 上选两个点 P Q 并修建两段直线型道路 PB QA 规划要求 线段 PB QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 已知 点 A B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD C D 为垂足 测得 AB 10 AC 6 BD 12 单 位 百米 1 若道路 PB 与桥 AB 垂直 求道路 PB 的长 2 在规划要求下 P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处 并说明理由 3 在规划要求下 若道路 PB 和 QA 的长度均为 d 单位 百米 求当 d 最小时 P Q 两点间的距离 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 北京 在平面直角坐标系中 记d为点 cos sin P 到直线20 xmy 的距离 当 m变化时 d的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 2 2016 年浙江 设函数 2 sinsinf xxbxc 则 f x的最小正周期 A 与 b 有关 且与 c 有关 B 与 b 有关 但与 c 无关 C 与 b 无关 且与 c 无关 D 与 b 无关 但与 c 有关 3 2015 陕西 如图 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 3sin 6 yxk 据此函数可知 这段时间水深 单位 m 的最大值为 A 5 B 6 C 8 D 10 4 2015 浙江 存在函数 f x满足 对任意xR 都有 A sin2 sinfxx B 2 sin2 fxxx C 2 1 1f xx D 2 2 1f xxx 5 2015 新课标 如图 长方形 ABCD 的边 AB 2 BC 1 O 是 AB 的中点 点 P 沿着边 BC CD 与 DA 运动 BOP x 将动点 P 到 A B 两点距离之和表示为 x 的函数 f x 则 yf x 的图像大致为 A B C D 6 2014 新课标 如图 圆 O 的半径为 1 A 是圆上的定点 P 是圆上的动点 角x的始 边为射线OA 终边为射线OP 过点P作直线OA的垂线 垂足为M 将点M到直 线OP的距离表示为x的函数 f x 则y f x在 0 上的图像大致为 A B C D 7 2015 湖南 已知函数 2 3 0 sin 0 f xxf x dx 且则函数 f x的图象的一条 对称轴是 A 5 6 x B 7 12 x C 3 x D 6 x 二 填空题 8 2016 年浙江 已知 2 2cossin2sin 0 xxAxb A 则A b 9 2016 江苏省 定义在区间 0 3 上的函数sin2yx 的图象与cosyx 的图象的交点 个数是 10 2014 陕西 设 2 0 向量 sin2coscos1 ab 若 ab 则 tan 11 2012 湖南 函数 sin f xx 的导函数 yfx 的部分图像如图 4 所示 其中 P 为图像与 y 轴的交点 A C 为图像与 x 轴的两个交点 B 为图像的最低点 1 若 6 点 P 的坐标为 0 3 3 2 则 2 若在曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 ABC 内的概率 为 三 解答题 12 2018 江苏 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆O的一段圆弧MPN P为 此圆弧的中点 和线段MN构成 已知圆O的半径为 40 米 点P到MN的距离为 50 米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形ABCD 大棚 内的地块形状为CDP 要求 A B均在线段MN上 C D均在圆弧上 设OC与MN 所成的角为 N M P O AB C D 1 用 分别表示矩形ABCD和CDP 的面积 并确定sin 的取值范围 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面积 年产值之比为43 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 13 2017 江苏 如图 水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱台形玻璃容器 的高均 为 32cm 容器 的底面对角线AC的长为 107cm 容器 的两底面对角线EG 11 EG 的长分别为 14cm 和 62cm 分别在容器 和容器 中注入水 水深均为 12cm 现有 一根玻璃棒l 其长度为 40cm 容器厚度 玻璃棒粗细均忽略不计 1 将l放在容器 中 l的一端置于点A处 另一端置于侧棱 1 CC上 求l没入水中 部分的长度 2 将l放在容器 中 l的一端置于点E处 另一端置于侧棱 1 GG上 求l没入水中 部分的长度 14 2015 山东 设 2 sin coscos 4 f xxxx 求 f x的单调区间 在锐角 ABC中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 0 2 A f 1a 求 ABC面积的最大值 15 2014 湖北 某实验室一天的温度 单位 随时间t 单位 h 的变化近似满足 函数关系 103cossin 1212 f ttt 0 24 t 求实验室这一天的最大温差 若要求实验室温度不高于 则在哪段时间实验室需要降温 16 2014 陕西 ABC 的内角CBA 所对的边分别为cba I 若cba 成等差数列 证明 CACA sin2sinsin II 若cba 成等比数列 求Bcos的最小值 17 2013 福建 已知函数 sin 0 0 f xx 的周期为 图像的一个 对称中心为 0 4 将函数 f x图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍 纵坐标 不变 在将所得图像向右平移 2 个单位长度后得到函数 g x的图像 1 求函数 f x与 g x的解析式 2 是否存在 0 6 4 x 使得 0000 f xg xf x g x按照某种顺序成等差数列 若存在 请确定 0 x的个数 若不存在 说明理由 3 求实数a与正整数n 使得 F xf xag x 在 0 n 内恰有 2013 个零点 专题四 三角函数与解三角形 第十一讲 三角函数的综合应用 答案部分 2019 年 1 解析解析 解法一解法一 1 过A作AEBD 垂足为E 由已知条件得 四边形ACDE为矩形 6 8DEBEACAECD 因为PB AB 所以 84 cossin 105 PBDABE 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD 因此道路PB的长为15 百米 2 若P在D处 由 1 可得E在圆上 则线段BE上的点 除B E 到点O的距离均小 于圆O的半径 所以P选在D处不满足规划要求 若Q在D处 联结AD 由 1 知 22 10ADAEED 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB 所以 BAD为锐角 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 因此 Q选在D处也不满足规划要求 综上 P和Q均不能选在D处 3 先讨论点P的位置 当 OBP90 时 在 1 PPB 中 1 15PBPB 由上可知 d 15 再讨论点Q的位置 由 2 知 要使得QA 15 点Q只有位于点C的右侧 才能符合规划要求 当QA 15时 2222 1563 21CQQAAC 此时 线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆 O的半径 综上 当PB AB 点Q位于点C右侧 且CQ 3 21时 d最小 此时P Q两点间的距离 PQ PD CD CQ 17 3 21 因此 d最小时 P Q两点间的距离为17 3 21 百米 解法二 解法二 1 如图 过O作OH l 垂足为H 以O为坐标原点 直线OH为y轴 建立平面直角坐标系 因为BD 12 AC 6 所以OH 9 直线l的方程为y 9 点A B的纵坐标分别为3 3 因为AB为圆O的直径 AB 10 所以圆O的方程为x2 y2 25 从而A 4 3 B 4 3 直线AB的斜率为 3 4 因为PB AB 所以直线PB的斜率为 4 3 直线PB的方程为 425 33 yx 所以P 13 9 22 134 93 15PB 因此道路PB的长为15 百米 2 若P在D处 取线段BD上一点E 4 0 则EO 4 5 所以P选在D处不满足规划 要求 若Q在D处 联结AD 由 1 知D 4 9 又A 4 3 所以线段AD 3 6 44 4 yxx 剟 在线段AD上取点M 3 15 4 因为 2 222 15 3345 4 OM 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 因此Q选在D处也不满足规划要求 综上 P和Q均不能选在D处 3 先讨论点P的位置 当 OBP90 时 在 1 PPB 中 1 15PBPB 由上可知 d 15 再讨论点Q的位置 由 2 知 要使得QA 15 点Q只有位于点C的右侧 才能符合规划要求 当QA 15时 设Q a 9 由 22 4 93 15 4 AQaa 得a 43 21 所以Q 43 21 9 此时 线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 综上 当P 13 9 Q 43 21 9 时 d最小 此时P Q两点间的距离 43 21 13 173 21PQ 因此 d 最小时 P Q 两点间的距离为173 21 百米 2010 2018 年 1 C 解析 由题意可得 22 cossin2 sincos2 11 mm d mm 2 2 22 22 1 1 sincos 2 1sin 2 11 11 m m m mm mm 其中 2 cos 1 m m 2 1 sin 1m 1sin 1 22 22 21 21 11 mm d mm 2 22 212 1 11 m mm 当0m 时 d取得最大值 3 故选 C 2 B 解析 由于 2 1cos2 sinsinsin 2 x f xxbxcbxc 当0b 时 f x的最小正周期为 当0b 时 f x的最小正周期2 c的变化会引起 f x的图象的上下平移 不会影响其最小正周期 故选 B 注 在函数 f xh xg x 中 f x的最小正周期是 h x和 g x的最小正周期的公 倍数 3 C 解析 由图象知 min 2y 因为 min 3yk 所以32k 解得 5k 所以这段时间水深的最大值是 max 33 58yk 故选 C 4 D 解析 对于 A 当 4 x 或 5 4 时 sin2x均为 1 而sinx与 2 xx 此时均有两个 值 故 A B 错误 对于 C 当1x 或1x 时 2 12x 而 1 x 由两个值 故 C 错误 选 D 5 B 解析 由于 0 2 15 2 2 424 ffff 0f 所以 f 为增函数 当 6 2 时 0f 所以 f 为减函数 因此 当 6 时 f 取到最大值 答 当 6 时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 13 解析 1 由正棱柱的定义 1 CC 平面ABCD 所以平面 11 A ACC 平面ABCD 1 CCAC 记玻璃棒的另一端落在 1 CC上点M处 因为10 7AC 40AM 所以 22 40 10 7 30MN 从而 3 sin 4 MAC 记AM与水平的交点为 1 P 过 1 P作 11 PQAC 1 Q为垂足 则 11 PQ 平面ABCD 故 11 12PQ 从而 11 1 16 sin PQ AP MAC 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为 16cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为 24cm 2 如图 O 1 O是正棱台的两底面中心 由正棱台的定义 1 OO 平面 EFGH 所以平面 11 E EGG 平面EFGH 1 OO EG 同理 平面 11 E EGG 平面 1111 E FG H 1 OO 11 EG 记玻璃棒的另一端落在 1 GG上点N处 过G作GK 11 EG K为垂足 则GK 1 OO 32 因为EG 14 11 EG 62 所以 1 KG 62 14 24 2 从而 2222 11 243240GGKGGK 设 1 EGGENG 则 11 4 sinsin cos 25 KGGKGG 因为 2 所以 3 cos 5 在ENG 中 由正弦定理可得 4014 sinsin 解得 7 sin 25 因为0 2 所以 24 cos 25 于是sinsin sin sincoscossinNEG 42473 3 5 525255 记EN与水面的交点为 2 P 过 2 P作 22 PQEG 2 Q为垂足 则 22 PQ 平面EFGH 故 22 PQ 12 从而 2 EP 22 20 sin P NEG Q 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为 20cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为 20cm 14 解析 由题意 1 cos 2 1 2 sin2 22 x f xx xx2sin 2 1 2 1 2sin 2 1 2 1 2sin x 由 kxk2 2 22 2 Zk 可得 kxk 44 Zk 由 kxk2 2 3 22 2 Zk 得 kxk 4 3 4 Zk 所以 xf的单调递增区间是 4 4 kk Zk 单调递减区间是 4 3 4 kk Zk 1 sin0 22 A fA 1 sin 2 A 由题意A是锐角 所以 3 cos 2 A 由余弦定理 Abccbacos2 222 可得 22 132bcbcbc 32 32 1 bc 且当cb 时成立 23 sin 4 bcA ABC 面积最大值为 4 32 15 解析 因为 31 102 cossin 102sin 212212123 f tttt 又240 t 所以 3 7 3123 t 1 312 sin 1 t 当2 t时 1 312 sin t 当14 t时 1 312 sin t 于是 tf在 24 0 上取得最大值 12 取得最小值 8 故实验室这一天最高温度为12 C 最低温度为8 C 最大温差为4 C 依题意 当11 tf时实验室需要降温 由 得 312 sin 210 ttf 所以11 312 sin 210 t 即 1 sin 1232 t 又240 t 因此 6 11 3126 7 t 即1810 t 故在 10 时至 18 时实验室需要降温 16 解析 1 cba 成等差数列 2acb 由正弦定理得sinsin2sinACB sinsin sin BA CA C sinsin2sinACA C 2 cba 成等比数列 2 2bac 由余弦定理得 22222 21 cos 2222 acbacacacac B acacac 22 2acac 当且仅当ac 时等号成立 22 1 2 ac ac 当且仅当ac 时等号成立 22 111 1 2222 ac ac 当且仅当ac 时等号成立 即 1 cos 2 B 所以Bcos的最小值为 1 2 17 解析 由函数 sin f xx 的周期为 0 得2 又曲线 yf x 的一个对称中心为 0 4 0 故 sin 2 0 44 f 得 2 所以 cos2f xx 将函数 f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 后可得cosyx 的图象 再将cosyx 的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 sing xx 当 6 4 x 时 12 sin 22 x 1 0cos2 2 x 所以sincos2sin cos2xxxx 问题转化为方程2cos2sinsin cos2xxxx 在 6 4 内是否有解 设 sinsin cos22cos2G xxxxx 6 4 x 则 coscos cos22sin2 2sin G xxxxxx 因为 6 4 x 所以 0G x G x在 6 4 内单调递增 又 1 0 64 G 2 0 42 G 且函数 G x的图象连续不断 故可知函数 G x在 6 4 内存在唯一零点 0 x 即存在唯一的 0 6 4 x 满