高三数学下 18.1《总体特征数之方差》学案 沪教版

用心 爱心 专心 总体特征数的估计 二 总体特征数的估计 二 目标引领 1 学习目标 理解样本数据的方差 标准差的意义和作用 学会计算数据的方差 标准差 并使学生领会 通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想 掌握从实际问题中提取数据 利用样本数据计算方差 标准差 并对总体稳定性水平估计的方法 2 学法指导 方差和标准差计算公式 设一组样本数据 其平均数为 则 n21 x x x x 样本方差 s2 x1 x2 2 xn 2 n 1 xxx 样本标准差 s xx xx xx n 1 2 n 2 2 2 1 方差和标准差的意义 描述一个样本和总体的波动大小的特征数 标准差大说明波动大 教师在线 1 解析视屏 若给定一组数据 方差为 s2 则的方差为 n21 x x x n21 ax ax ax 22s a 若给定一组数据 方差为 s2 则的方差为 n21 x x x bax bax b ax n21 22s a 特别地 当时 则有的方差为 s2 这说明将一组数据的每一个1 abx bx bx n21 数据都减去相同的一个常数 其方差是不变的 即不影响这组数据的波动性 方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度 对于不同的数据集 当离散程度越大时 方 差越大 方差的单位是原始测量数据单位的平方 对数据中的极值较为敏感 标准差的单位与原始 测量数据单位相同 可以减弱极值的影响 2 经典回放 例 1 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会 选拔的标准是 先看他们的平均 成绩 如果两人的平均成绩相差无几 就要再看他们成绩的稳定程度 为此对两人进行了 15 次比赛 得到如下数据 单位 cm 甲 755752757744743729721731778768761773764736741 乙 729767744750745753745752769743760755748752747 如何通过对上述数据的处理 来作出选人的决定呢 解 甲 750 2x 乙 750 6 x 用心 爱心 专心 s甲 16 4 s乙 9 6 甲乙两名跳远运动员的平均成绩相差无几 乙的成绩较稳定 所以选拔乙去参加运动会比 较合适 点评 总体平均数描述一总体的平均水平 方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定 程度 例 2 证明方差的两个性质 若给定一组数据 方差为 s2 则的方差为 n21 x x x n21 ax ax ax 22s a 若给定一组数据 方差为 s2 则的方差为 n21 x x x bax bax b ax n21 22s a 解 设一组样本数据 其平均数为 则 n21 x x x 12n xxx n x 样本方差 s2 x1 x2 2 xn 2 n 1 xxx 另一组样本数据 其平均数为 a 则 n21 ax ax ax 12n axaxax n x 样本方差 ax1 a ax2 a 2 axn a 2 n 1 xxx a2 x1 x2 2 xn 2 n 1 xxx 22s a 同样 另一组样本数据 其平均数为bax bax bax n21 a b 12n axbaxbaxb n x 样本方差 ax1 b a b ax2 b a b 2 axn b a b 2 n 1 xxx a2 x1 x2 2 xn 2 n 1 xxx 22s a 点评 特别地 当时 则有的方差为 s2 这说明将一组数据的1 abx bx bx n21 每一个数据都减去相同的一个常数 其方差是不变的 即不影响这组数据的波动性 同步训练 1 若的方差为 3 则的方差为 821 k k k 3k 2 3k 2 3k 2 821 2 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 去7 9 4 9 6 9 9 9 4 9 4 8 4 9 掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 A B C D 484 0 4 9016 0 4 904 0 5 9016 0 5 9 用心 爱心 专心 3 从甲乙两个总体中各抽取了一个样本 甲 658496 乙 876582 根据以上数据 说明哪个波动小 4 甲乙两人在相同条件下个射击 20 次 命中的环数如下 甲 7868659107456678791096 乙 95787686779658696877 问谁射击的情况比较稳定 5 为了考察甲乙两种小麦的长势 分别从中抽取 10 株苗 测得苗高如下 甲 12131415101613111511 乙 111617141319681016 哪种小麦长得比较整齐 6 从 A B 两种棉花中各抽 10 株 测得它们的株高如下 CM A 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 B 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40 1 哪种棉花的苗长得高 2 哪种棉花的苗长得整齐 拓展尝新 7 用数据说话 这是我们经常可以听到的一句话 但数据有时也会被利用 从而产生误 导 例如 一个企业中 绝大多数是一线工人 他们的年收入可能是一万元左右 另有一些 经理层次的人 年收入可以达到几十万元 这时年收入的平均数会比中位数大得多 尽管这 时中位数比平均数更合理些 但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时 也许更可能用 平均数来回答有关工资待遇方面的提问 你认为 我们单