河南省安阳县高中数学最新学案 第2章 第14课时 等比数列的前n项和（3）（教师版） 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 听课随笔 第第 1414 课时课时 等比数列的等比数列的 前前n n项和项和 3 3 学习导航学习导航 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 2 提高分析 解决问题能力 能用等比数列的知识解决某些实际问题 自学评价自学评价 1 对于分期付款 银行有如下规定 分期付款为复利计息 每期付款数相同 且在期末付款 到最后一次付款时 各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和 2 若是等比数列 且公比 则数列 是等比数列 n a1q 232 nnnnn S SS SS 当 且为偶数时 数列1q n 是常数数列 0 它不是等比数列 232 nnnnn SSSSS 3 当时 这里 但 这是等比1q baq q a q q a S nn n 11 11 0ab 0 0ab 数列前项和公式特征 据此判断数列是否为等比数列n n a 精典范例精典范例 例 1 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题 全国 9100 万亩的坡耕地需要退 耕还林 其中西部地区占 国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515 万亩 以 后每年退耕土地面积递增 那么从 2000 年起到 2005 年底 西部地区退耕还林的面 积共有多少万亩 精确到万亩 解 根据题意 每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同 所以从 2000 年起 每 年退耕还林的面积 单位 万亩 组成一个等比数列 其中 n a 515 1 12 1 a 则 答 从 2000 年起到 2005 年底 西部地区退耕还林的面积共有 4179 万亩 例 2 某人 2004 年初向银行申请个人住房公积金贷款 20 万元购买住房 月利率 3 375 按复利计算 每月等额还贷一次 并从贷款后的次月初开始还贷 如果 10 年还 用心 爱心 专心2 清 那么每月应还贷多少元 分析 对于分期付款 银行有如下规定 分期付款为复利计息 每期付款数相同 且在期末付款 到最后一次付款时 各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和 为解决上述问题 我们先考察一般情形 设某商品一次性付款的金额为 元 以分期 付款的形式等额地分成 次付清 每期期末所付款是 元 则分期付款方式可表示为 从而有 运用等比数列求和公式 化简得 这就是分期付款的数学模型 解 设每月应还贷 元 共付款 12 10 120 次 则有 化简得 答 每月应还贷款 2029 66 元 追踪训练一追踪训练一 1 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题 远望巍巍塔七层 红灯向下成倍增 共灯三百八十一 试问塔顶几盏灯 答案 塔顶 3 盏灯 2 我国 1980 年底人口以十亿计算 若我国人口年增长率为 1 2 则到 2005 年底我国约有多少人口 要使我国到 2010 年底人口不超过 14 亿 那么人口的年平均增长率最高是多少 答案 1 2005 年底我国约有 13 5 亿人口 2 人口的年平均增长率最高是 1 1 3 顾客采用分期付款的方式购买一件 5000 元的商品 在购买一个月后第一次付款 且每 月等额付款一次 在购买后的第 12 个月将货款全部付清 月利率 0 5 按复利计算 该 用心 爱心 专心3 听课随笔 顾客每月应付款多少元 答案 顾客每月应付款 430 元 4 某企业年初有资金 1000 万元 如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到 50 但每年底都要扣除消费基金 x 万元 余下资金投入再生产 为实现经过 5 年资金达到 2000 万元 扣除消费基金后 那么每年应扣除消费基金多少万元 精确到万元 解 设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列 则 n a a1 1000 1 50 x 1000 x 2 3 a2 1000 x 1 50 x 3 2 1000 2 1 x 2 3 2 3 依次类推得a5 1000 5 1 2 3 4 x 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 由题意知 1000 5 1 2 3 4 x 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2000 解得 x 424 万元 选修延伸选修延伸 例 3 设数列 的首项a1 1 前n项的和Sn满足关系式 3tSn 2t 3 Sn 1 3t t 为常 n a 数 且 t 0 n 2 3 4 1 求证 数列 是等比数列 n a 2 设 的公比为 f t 作数列 使得b1 1 bn f n 2 3 4 求 n a n b 1 1 n b 的通项公式 n b 3 求和 b1b2 b2b3 b3b4 b2n 1b2n b2nb2n 1 解 1 求得a1 S1 1 S2 a1 a2 1 a2 代入关系式 得 又 3tSn 2t 3 t t a 3 32 2 Sn 1 3t 3tSn 1 2t 3 Sn 2 3t 两式相减得 3tan 2t 3 an 1 0 用心 爱心 专心4 t t a a n n 3 32 1 2 由 f t 3 21 3 32 tt t 得bn f 1 1 3 2 1 n n b b 由此可得 3 1 3 2 nbn 3 原式 b2 b1 b3 b4 b3 b5 b2n b2n 1 b2n 1 32 9 4 3 4 2 242 nnbbb n 例 4 在数列中 求数列的前n项和Sn n a 3 12 为偶数 为奇数 n nn a n n n a 分析 要分成偶数项和奇数项之和分别求解 解 当n 2k k N 时 a1 a3 a5 a2k 1 成等差数列 公有效差为 4 首项为 1 而a2 a4 a2k 成等比数列 公比为q 首项为a2 9 2 143 9 1 9 21 9 9 21 91 8 k k k kk S kk 将 k 代入得 2 n 13 8 9 1 2 n n n n S 当n 2k 1 时 由S2k 1 S2k a2k 得 8 9 3 8 1 2 1 1 n n nn S 追踪训练二追踪训练二 1 已知等比数列 an 中 前n项和Sn 54 S2n 60 则S3n等于 C A 64 B 66 C 60 D 66 3 2 3 2 2 已知 an是公比为的等比数列 若a1 a4 a7 a97 100 则a3 a6 a9 a99的值是 2 1 A A 25 B 50 C 75 D 125 3 数列 1 1 2 1 2 22 1 2 22 2n 1 前n项和等于 B A 2n 1 n B 2n 1 n