高三数学数列部分复习专题（二）人教实验版（B）知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学数列部分复习专题 二 高三数学数列部分复习专题 二 人教实验版 人教实验版 B B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 数列部分复习专题 二 二 教学目的 1 数列部分方法与技巧解析 2 数列部分易错题剖析 三 知识分析 一 方法技巧 方法一 通项常见的求法 1 观察法 例 1 写出下列数列的一个通项公式 使它的前几项分别是下列各数 1 99 10 63 8 35 6 15 4 3 2 2 99 33 63 17 35 9 3 1 1 3 0 7 1 0 5 1 0 3 1 0 1 4 7 77 777 7777 5 1 3 6 10 15 6 a b a b 解析 解析 1 这是一个分数数列 分子为偶数列 而分母为 119 97 75 53 31 是两个连续奇数的积 故所求数列通项公式为 1n2 1n2 n2 an 2 数列的前 5 项可改写为 119 33 97 17 75 9 53 5 31 3 由于数列的各项间正负互相间隔 应有调节符号作用的数列 分子构成规律为 n 1 分母也为两个连续奇数的积 12n 1n2 1n2 12 1 a n n n 3 原数列直接写不能看出通项公式 但改写之后 分母依次为 6 0 5 1 4 0 3 1 2 0 1 1 1 2 3 4 分子为 1 0 1 0 呈周期性变化 可以用表示 当然也可以 2 n sin 用表示 2 1n cos n 2 1n cos a n 2 n sin a nn 或 4 先研究数列 9 99 999 9999 用心 爱心 专心 数列中的每一项均可以看作是 10 的若干次幂与 1 的差 则通项为110a n n 该数列的通项应为 110 9 7 a n n 其实这是一个规律性的问题 如数列 2 22 222 2222 的通项公式应为 等等 110 9 2 a n n 5 由观察可知 54321a 4321a 321a 21a 1a 54321 2 1n n n321an 此题亦可这样考虑 4aa 3aa 2aa 34 23 12 naa 1nn 以上个式子左边相加为1n n432aa 1n 又1a1 n321an 2 1n n 6 这是摆动数列 要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅 平衡位置 振幅 2 ba 用去调节 则所求数列的通项公式 2 ab 1nn 11 或 2 ab 1 2 ba a n n 也可以用分段函数形式来表示 为偶数 为奇数 n b n a an 2 累差法 例 2 已知数列的前几项依次是 6 9 14 21 30 求其通项公式 n a 解析 解析 设 则有 n1nn aab 71421aab 5914aab 369aab 343 232 121 1n2aab 1nn1n 以上各式相加得 1n 2 1n23 1n 1n2 53aa 2 1n 又6a1 5n1naa 22 1n 用心 爱心 专心 3 待定系数法 例 3 已知 an 为等差数列 求 an 23a 3a 62 解析 解析 an 为等差数列 故可设pknan 又23a 3a 62 pk623 pk23 解得 7p 5k 7n5an 4 公式法 例 4 如果数列的前 n 项和为 求这个数列的通项公式 n a3a 2 3 S nn n a 解析 解析 1 当 n 1 时 由6aa3a 2 3 S 1111 2 当时 2n 3 a a a 2 3 a 2 3 SSa 1n n 1nn1nnn 数列当时 是以 3 为公比 以为首项的等比数列 n a2n 18a2 2n 323183aa n2n1n 2n 而当 n 1 时 显然也成立 故 Nn 32a n n 5 叠代法 例 5 已知 求数列的通项公式 1a a 1n n a 1n1n n a n a 解析 解析 n1n a 1n n a 3n2n1nn a 2n 3n 1n 2n n 1n a 1n 2n n 1n a n 1n a 11 a n 1 a 2 1 2n 3n 1n 2n n 1n a1 1 n 1 an 方法二 解递推关系式常见方法 1 公式法 利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法 常用的公式有 等差数列和等比数列的通项公式 2n SSa 1nnn 2 归纳法 由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式 再用数学归纳法证明 其正确性 这种方法叫做归纳法 3 累加法 利用恒等式求通项公式的方法称为累加 aa aa aa 1nn121n 法 累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法 其中数列 f n 可 n faa n1n 求前 n 项和 用心 爱心 专心 4 累乘法 利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法 0a a a a a a a aa n 1n n 2 3 1 2 1n 累乘法是求型如的递推数列通项公式的基本方法 数列 g n 可求前 n 项积 n1n a n ga 例 1 设是正数组成的数列 其前 n 项和为 Sn 并且对于所有的自然数 n an与 1 的 n a 等差中项等于 Sn与 1 的等比中项 求数列的通项公式 n a 解析 解法一 解析 解法一 公式法 依题意 有 4 1a S 2 n n n1n1n SSa 2 n 2 1n 1a 1a 4 1 0 1a 1a 2 n 2 1n 即0 2aa aa n1nn1n 0an 2aa n1n 又 a1 1 故是首项为 1 公差为 2 的等差数列 n a 1n2an 解法二 解法二 公式法 n n S 2 1a 1aS 11 当时 2n 1SSS2 1nnn 即 01SS1SS 1nn1nn 1S 0a 1n 2n 1SS 1nn nSn 从而1n21S2a nn 解法三 解法三 归纳法 由已知可求得5a 3a 1a 321 猜测1n2an 证明 1 当 n 1 时 1112 1Sa 11 n 1 时 猜想成立 2 假设时 猜想成立 即 则时 Nk 1k kn 1k2ak 1kn 4 1a 4 1a SSa 2 k 2 1k k1k1k k1k 2 k 1k 2 1k a2a2aaa4 0 2aa aa k1kk1k 0an 0aa k1k 2aa k1k 1 1k 22 1k2 a 1k 即 n k 1 时 猜想也成立 用心 爱心 专心 综合以上可知 对任意有 Nn 1n2an 例 2 已知数列中 求 an n a n1n1 Nn n2aa 2a 解析 解析 累加法 n2aa n1n n2aa n1n aa aa aa aa 1nn23121n 2nn 2 2n22 1n 2 1n 26422 2 例 3 已知数列中 其中 求 an n a 1n n aa 1a n1n1 Nn 解析 解析 累乘法 由已知 n 1n Nn 1n n a a n 1 n 1n 3 2 2 1 1 a a a a a a aa 1n n 2 3 1 2 1n 5 转化法 通过变换递推关系 将非等差 等比 数列转化为与等差或等比有关的数列 而求得通项公式的方法称为转化法 常用的转化途径有 1 凑配 消项变换 如将一阶线性递推公式 q d 为常数 dqaa n1n 通过凑配变成 或消常数项转化为0q 1q 1q d aq 1q d a n1n aa qaa n1n1n2n 2 倒数变换 如将一阶分式递推公式 c d 为非零常数 取倒数 da ca a n n 1n 得 c 1 a 1 c d a 1 n1n 3 对数变换 如将一阶递推公式取对数得 1p 0p 0c 0a caa n p n1n clgalgpalg n1n 4 换元变换 如将一阶递推公式 q d 为非零常数 n n1n dqaa 1q 变换成 令 则转化为一阶线性递推公式 1d d 1 dd qa d a n n 1n 1n n n n d a b 例 4 已知数列中 a1 1 求的通项公式 n a 2n 1a2a 1nn n a 解析 解法一 解析 解法一 归纳法 1a2a 1a 1nn1 a2 2a1 1 3 a3 2a2 1 7 猜测 an 2n 1 再用数学归纳法证明之 Nn 解法二 解法二 转化法 1a2a 1nn 1a 21a 1nn 又 a1 1 2 用心 爱心 专心 故数列是首项为 2 公比为 2 的等比数列 1an n n 21a 即12a n n 解法三 解法三 转化法 1 1a2a 1nn 2 1a2a n1n 得 1 2 2n aa 2aa 1nnn1n 故是首项为 n1n aa 2aa 12 公比为 2 的等比数列 即 n n1n 2aa 再用累加法得12a n n 解法四 解法四 迭代法 12122a212a21 1a2 21a2a n2n 1 1n 2n 2 2n1nn 例 5 已知数列 中 求 an n a Nn n n 1n1 a21 a a 1a 解析 解析 倒数变换 两边取倒数 得 n n 1n a21 a a 2 a 1 a 1 n1n 2 a 1 a 1 n1n 首项的等差数列是公差为2 a 1 n 1 a 1 1 1n2 1 a 1n22 1n 1 a 1 n n 例 6 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2n aa 2a 2 1nn1 n a 解析 解析 对数变换 由题意 2n aa 02a 2 1nn1 0an 1nn alg2alg 是以 2 为公比的等比数列 首项为 n alg2lgalg 1 1n 21n n 2lg2lg2alg 1n 2 n 2a 例 7 已知 求 an Nn 2n3n 1 aa 2 1 a 2 n1n1 解析 解析 叠加法 由已知得 2n 1 1n 1 aa n1n 用心 爱心 专心 3 1 2 1 aa 12 5 1 4 1 aa 4 1 3 1 aa 34 23 1n 1 n 1 aa 1nn 例 8 已知 求 1nn1n21 a 2 1 a 2 1 a 1a 0a n a 解析 解析 aa 2 1 aa 1nnn1n 成等比数列 公比为 首项为 1nn aa 2 1 1aa 12 2n 1nn 2 1 1aa 即 2n 1nn 2 1 aa 再用递推的方法可得到 2n n n 23 1 1 3 2 a 方法三 数列求和常见的方法 1 公式法 例 1 求和 1 个n 111111111Sn 2 2 n n 2 2 2 2 n x 1 x x 1 x x 1 xS 解析 解析 1 因为 110 9 1 1010101111 kk2 n 个 所以 999999999 9 1 111111 nn 个个 81 10n910 n 9 110 10 9 1 n 101010 9 1 110 110 110 9 1 1n n n2 n2 2 当时 1x 2 n n 2 2 2 2 n x 1 x x 1 x x 1 xS 用心 爱心 专心 n4S 1x n2 1x x 1x 1x n2 x1 x1 x 1x 1x x x 1 x 1 x 1 n2 xxx x 1 2x x 1 2x x 1 2x n 2n2 2n2n2 2 n22 2 n22 n242 n242 n2 n2 4 4 2 2 时当 2 错位相减法 例 2 若公比为 c 的等比数列的首项且满足 n a1a1 4 3n 2 aa a 2n1n n 1 求 c 的值 2 求数列的前 n 项和 Sn n na 解析 解析 1 由题设 当时3n 2 1 c1c 01cc2 2 c1 c 0a a 2 c1 2 aa a caa aca 2 2 2n 2n 2n1n n 2n1n2n 2 n 或解得 即 因此 由题设条件可得 2 由 1 需要分两种情况讨论 当 c 1 时 数列是一个常数列 n a 即 Nn 1a n 这时 数列的前 n 项和 n na n321Sn 2 1n n 当时 数列是一个公比为的等比数列 2 1 c n a 2 1 即 Nn 2 1 a 1n n 这时 数列的前 n 项和 n na 1 1n2 n 2 1 n 2 1 3 2 1 21S 1 式两边同乘 得 2 1 2 n1n2 n 2 1 n 2 1 1n 2 1 2 2 1 S 2 1 用心 爱心 专心 1 式减去 2 式 得 9 4n6 2 1 4 S n n 3 裂项相消法求和 例 3 求数列的前 n 项和 Sn 2n n 1 53 1 42 1 31 1 解析 解析 2n n 1 2n 1 n 1 2 1 2n 1 n 1 4 1 2 1 3 1 1 2 1 Sn 4n2 1 2n2 1 4 3 2n 1 1n 1 2 1 1 2 1 4 并项求和 例 4 求 21n2222 n 1 4321 解析 解析 当 n 是偶数时 2 1n n 1 S 2 1n n 2 2n 1n 1 2 1n25 2 1n 1 1n2 13951 n 1n 54 32 1S n 2 1n n 2 1n23 2 n 1n2 1173 n 1n 43 21 S 1n n 2222222 n 222222 n 综上 是奇数时当 5 倒序相加求和 例 5 已知数列的前 n 项和 是否存在等差数列 使 n a12 1n S n n n b 对一切自然数 n 均成立 n nn 2 n2 1 n1n CbCbCba 解析 解析 由公式 2n SS 1n S a 1nn 1 n 用心 爱心 专心 依条件先求出 an的通项 再由倒序相加法得出结论 n 1 时 1Sa 11 当时 2n 1nnn SSa 1n 1n 1nn 2n 2n2n2 2 12 2n 12 1n 因满足时的式子1a1 2n n a Nn 2na 1n n 假设存在等差数列满足条件 设 n b0b0 且仍成等差数列 则 Nn bn n nn 2 n2 1 n1 0 n0n CbCbCbCba 倒序 得 0 n0 2n n2n 1n n1n n nnn CbCbCbCba 相加得 0 n0n 1 n1n1 0 nn0n C bb C bb C bb a2 n n n n 1 n 0 nn0 2b CCC bb 1n nn 2ba 令 bn n 显然 n 0 时 b0 0 故存在等差数列满足已知等式 n b 方法四 等差数列的设项 1 对于连续奇数项的等差数列 可设为 d2x dx x dx d2x 此时公差为 d 2 对于连续偶数项的等差数列 通常可设为 此d3a da da d3a 时公差为 2d 例 有四个数 其中前三个成等差数列 后三个成等比数列 并且第一个与第四个数 的和为 16 第二个与第三个数的和为 12 求这四个数 解析 解析 设前三个数依次为 则第四个数为da a da a da 2 12 da a 16 a da da 2 解之得或 4d 4a 6d 9a 所以这四个数为 0 4 8 16 或 15 9 3 1 方法五 等比数列的设项 1 对于连续奇数项的等比数列 通常可设为 此时公比 2 2 aq aq a q a q a 仍为 q 2 对于连续偶数项的等比数列 通常可设为 此时公比为 3 3 aq aq q a q a 0q2 用心 爱心 专心 例 已知一个等比数列前四项之积为 第二 三项的和为 求这个等比数 n a 16 1 2 列的公比 其中 0an 解析 解析 设等比数列的前四项依次为 n a 3 3 aq aq q a q a 则由已知得 2 2aq q a 1 16 1 a 4 由 1 得 2 1 2 1 a舍去 代入 2 并整理 得01q22q2 解之得 12q 故原等比数列的公比为223q2 二 错题透视 易错题一 已知数列的通项公式是 求数列的前 n 项和 n a25n4an a n 解题思路 解题思路 由且得 n 6 025n4an 025 1n 4a 1n 由此可知 数列的前 6 项为负值 从第 7 项起以后的各项均为正值 n a 当时 数列是以为首项 4 为公差的等差数列6n n a21 所以 aaa a a a n21n21 n23n24 2 1n n 21 n 2 对于任意自然数 数列是以为首项 4 为公差的等差数列 7n n n a21 因此 7n n87621 n21 aaa aaa a a a 132n23n2 62362 2n23n2 aaa 2 aaa 2 22 621n21 所以 7n 132n23n2 6n n23n2 a a a 2 2 n21 失分警示 失分警示 1 误认为数列是以 21 为首项 为公差的等差数列 事实上 对 a n 4 于任意的正整数 n 数列不构成等差数列 它只能分段考虑后才能构成等差数列 a n 2 在的求和时 误认为数列是以 3 为首项 4 为公差的等差数列 事实上 7n a n 在数列中 3 是它的第 7 项 而不是第 1 项 a n 易错题二 设数列的前 n 项和 求数列的通项公式 n a Nn 3n2nS 2 n n a 解题思路 解题思路 n 1 时 6Sa 11 当时 2n 1n2 3 1n 2 1n 3n2n SSa 22 1nnn 用心 爱心 专心 因此数列的通项公式为 2n 1n2 1n 6 an 失分警示 失分警示 由求时 必须考虑条件 因为 n 1 时 无意义 1nn SS n a2n 1n S 数列的通项与前 n 项和的关系是 n a n S 2n SS 1n S a 1nn 1 n 此公式在数列中经常用到 应引起重视 易错题三 已知等差数列 为前 n 项和 若 求 n a n S90S 30S 84 12 S 解题思路 解题思路 是等差数列 n a 也是等差数列 812484 SS SS S SS S SS 2 812448 即 90S 30 3090 2 12 180S12 失分警示 由是等差数列 得出也是等差数列是错误的 实际上 n a 1284 SSS 若设公差为 d 则 8321843214 aaaaS aaaaS 1232112876548 aaaaS aaaaSS 1211109812 aaaaSS 成等差数列 且公差为 16d 812484 SS SS S 等差数列的前 n 项和也构成一个等差数列 即 为等差数列 n2n3nn2n SS SS S 公差为 dn 2 易错题四 等差数列 的前 n 项和分别为和 若 则 n a n b n S n T n2 1n3 T S n n 等于 11 11 b a 答案 答案 21 32 解题思路 解题思路 21 32 212 1213 T S 21 2 bb 21 2 aa bb aa b2 a2 b a 21 21 211 211 211 211 11 11 11 11 错因分析 对等差数列前 n 项和的结构特征认识模糊 容易导致错误 如设 是错误的 n2T 1n3S nn 易错题五 设等比数列的首项为 a 公比为 若其前 10 项中最大的项为 n a 0a a 1024 求 a 的值 解题思路 解题思路 的通项公式为 n a n n aa 1 当时 数列为递增数列 所以前 10 项中第 10 项为最大 即1a n a a 2 1024aa 10 10 2 当时 为递减数列 前 10 项中第一项为最大 即 a 1024 矛盾 1a0 n a 故此时无解 3 当 a 1 时 为常数数列 此时各项均为 1 显然与题设矛盾 n a 用心 爱心 专心 综上可知 a 2 失分警示 失分警示 解此类问题易出现概念性的错误 如仅凭则得出为递增数列 从0a n a 而得到 则会得到错误结论 1024a10 对含参问题一般需要对参数进行分类讨论 易错题六 已知等比数列中 求 n a 2 1 4S 2 3 a 33 1 a 解题思路 解题思路 当时 此时正好有 适合题意 1q 321 aaa 2 1 4aaaS 3213 当时 依题意有 1q 2 1 4 q1 q1 a 2 3 qa 3 1 2 1 解之 得 综上得或 6a 4 1 q 1 2 2 3 a1 6a1 失分警示 失分警示 等比数列前 n 项和公式中一定要考虑公式适用条件或 否则导1q 1q 致失误 若 q 1 则 若 则 1n naS 1q q1 q1 a S n 1 n 易错题七 一个数列 当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 n a1n5an 2 n n 2a 这个数列的前 2m 项之和为 答案 答案 22mm5S 1m2 m2 解题思路 解题思路 当 n 为奇函数时 相邻两项为与 n a 2n a 由得 且1n5an 10 1n5 1 2n 5aa n2n 6a1 所以中的奇数项构成以为首项 公差 d 10 的等差数列 n a6a1 当 n 为偶数时 相邻两项为与 n a 2n a 由得 2 且 2 n n 2a 2 n 2 2n n 2n 2 2 a a 2a2 所以中的偶数项构成以为首项 公比 q 2 的等比数列 n a2a2 由此得 22mm5 21 21 2 10 2 1m m m6S 1m2 m m2 错因分析 错因分析 将原数列分成由奇数项和偶数项组成的两个数列来处理的思路是正确的 但如果把奇数项组成的数列的相邻两项认为是与 把偶数项组成的数列的首项认为 n a 1n a 是 且相邻两项认为是与 则会导致错解 1 a n a 1n a 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 数列的通项公式是 则这个数列的前三项是 ana n nn n 21 2 2 A 1 4 9 B 2 4 9 C 2 1 4 D 2 6 11 用心 爱心 专心 2 数列的一个通项公式可能是 11111111 A B a n n 2 24 cos a n n 2 24 cos C D a n n 1 22 2sin an n 11 2 1 3 首项是 第 10 项开始比 1 大 则此等差数列的公差的范围是 1 25 d A B C D d 8 75 d 3 25 8 75 3 25 d 8 75 3 25 d 4 已知是等差数列 则该数列的通项公式为 anaxaxax 123 221 A B C D an n 23an n 23an n 21an n 21 5 数列的前项和 则的值等于 annSnn n 35 2 a20 A 1100 B 112 C 988 D 114 6 若等差数列的前项和分别为 且 则等于 ab nn nAB nn 和 A B n n n n 71 427 a b 11 11 A B C D 7 4 4 3 3 2 78 71 7 等差数列中 其前 11 项的算术平均值为 5 若从中抽出一项 则余 ana15 下的项的算术平均数为 4 则抽出的一项是 A B C D a8a9a10a11 二 填空题 8 数列 7 77 777 7777 的一个通项公式为 9 等差数列的首项 公差为整数 若前 7 项为正数 第 7 项以后的各项 ana133 d 都是负数 则的值为 d 10 若成等差数列 则的值为 loglog log 333 221211 xx x 11 在等差数列中 已知 则 anaaaa 261317 50 aa 811 12 已知 100 个连续整数之和为 且 则这些连续整数中最S1001340013500 100 S 大的数是 三 解答题 13 在中 若成等差数列 且三内角 A B C 也成 ABClgsinlgsinlgsinABC 等差数列 试判断三角形的形状 14 已知数列 1 2 4 前项之和 求并确定之值 nSanbncn n 23 anabc 15 设数列的前项和 是常数 且 annSnan nbn n 112 ab b 0 1 证明是等差数列 an 用心 爱心 专心 2 证明以为坐标的点都落在同一条直线上 并 a S n n n 1Pn n 12 写出此直线的方程 3 设是以为圆心 为半径的圆 求使得点abC 1 1 1 2 rr r r 0 都落在圆处时 的取值范围 PPP 123 Cr 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 选择题 1 B2 A 3 D 解 解 ad ad 9 10 1 25 81 1 25 91 解得 8 75 3 25 d 4 B 解 解 daa 21 2 aa 23 2 即xx 221 x a ann n 1 1 11223 1 5 B 解 解 aSS 202019 320520319519 3 20195 2019 112 22 22 6 B 解 解 A aa a 21 121 11 21 2 21 B bb b a b A B 21 121 11 11 11 21 21 21 2 21 7211 42127 148 111 4 3 7 D 由前 11 项平均值为 5 知 抽出的一项是 又aS 611 555 5541015 成等差数列 故aaaa 11611 5 a1115 二 填空题 8 an n 7 9 101 9 5 解 解 a a 7 8 0 0 即 3360 3370 d d 用心 爱心 专心 解得 5 1 2 4 5 7 d 又为整数d d