【专项冲击波】2013年高考数学 讲练测系列 专题07 立体几何（理）（教师版）

1 专项冲击波专项冲击波 2013 2013 年高考数学年高考数学 讲练测系列讲练测系列 专题专题 0707 立体几立体几 何 理 何 理 教师版 教师版 考纲解读考纲解读 1 平面的概念及平面的表示法 理解三个公理及三个推论的内容及作用 初步掌握性质与 推论的简单应用 2 空间两条直线的三种位置关系 并会判定 3 平行公理 等角定理及其推论 了解它们的作用 会用它们来证明简单的几何问题 掌 握证明空间两直线平行及角相等的方法 4 异面直线所成角的定义 异面直线垂直的概念 会用图形来表示两条异面直线 掌握异 面直线所成角的范围 会求异面直线的所成角 5 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘 了解空间向量的基本定理 理 解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运算 掌握空间向量的数量积的定义及其性质 掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式 6 了解多面体 凸多面体 正多面体 棱柱 棱锥 球的概念 掌握棱柱 棱锥的性质 并会 灵活应用 掌握球的表面积 体积公式 能画出简单空间图形的三视图 能识别上述的三视 图所表示的立体模型 会用斜二测法画出它们的直观图 7 空间平行与垂直关系的论证 8 掌握直线与平面所成角 二面角的计算方法 掌握三垂线定理及其逆定理 并能熟练解 决有关问题 进一步掌握异面直线所成角的求解方法 熟练解决有关问题 9 理解点到平面 直线和直线 直线和平面 平面和平面距离的概念 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 会用求距离的常用 方法 如 直接法 转化法 向量法 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或 用向量表示的情况 和距离公式计算距离 考点预测考点预测 在 2013 年高考中立体几何命题有如下特点 1 线面位置关系突出平行和垂直 将侧重于垂直关系 2 多面体中线面关系论证 空间 角 与 距离 的计算常在解答题中综合出现 3 多面体及简单多面体的概念 性质 三视图多在选择题 填空题出现 2 4 有关三棱柱 四棱柱 三棱锥的问题 特别是与球有关的问题将是高考命题的热点 此类题目分值一般在 17 22 分之间 题型一般为 1 个选择题 1 个填空题 1 个解答题 要点梳理要点梳理 1 三视图 正俯视图长对正 正侧视图高平齐 俯侧视图宽相等 2 直观图 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于 y 轴 的线段平行性不变 但在直观图中其长度为原来的一半 3 体积与表面积公式 1 柱体的体积公式 锥体的体积公式 V 柱 ShV 锥 1 3 Sh 台体的体积公式 球的体积公式 V 棱台 1 3 h SSSS V 球 3 4 3 r 2 球的表面积公式 2 4SR 球 4 有关球与正方体 长方体 圆柱 圆锥 圆台的结合体问题 要抓住球的直径与这些 几何体的有关元素的关系 5 平行与垂直关系的证明 熟练判定与性质定理 6 利用空间向量解决空间角与空间距离 考点在线考点在线 考点一考点一 三视图三视图 例例 1 1 2012 2012 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 8 8 将正方形 如图 1 所示 截去两个三棱锥 得到图 2 所 示的几何体 则该几何体的左视图为 答案答案 B 解析解析 因为从左面垂直光线在竖直平面上的正投影是正方形 其中的正投影是正方 1 D A 3 形的对角线 实线 的正投影被遮住是虚线 所以 B 正确 1 BC 名师点睛名师点睛 本题考查空间图像的直观图与三视图 考察空间想象能力与逻辑推理能力 注意培养 备考提示备考提示 三视图是高考的热点之一 年年必考 所以必须熟练立体几何中的有关定理是 解答好本题的关键 练习练习 1 1 2012 2012 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 4 4 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么 这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 考点二考点二 表面积与体积表面积与体积 例例 2 2 2012 2012 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 7 7 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 28 6 5 B 30 6 5 C 56 12 5 D 60 12 5 4 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和 利用垂直关系和三角形面积公式 可得 因此该几何体表面积10 底 S10 后 S10 右 S56 左 S 故选 B 5630 左右后底 SSSSS 名师点睛名师点睛 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 备考提示备考提示 表面积与体积的求解也是高考的热点之一 年年必考 大多以三视图为载 体 在选择与填空题中考查 难度不大 也可能在解答题的一个问号上 练习练习 2 2 2012 2012 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 10 10 个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何 体的体积为 3 m 3 1 36 3 22 3 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 5 考点三考点三 球的组合体球的组合体 例例 3 3 2012 2012 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 11 11 已知三棱锥的所有顶点都在球的求SABC O 面上 是边长为 的正三角形 为球的直径 且 则此棱锥的体积为ABC 1SCO2SC A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 名师点睛名师点睛 本小题考查三棱锥的外接球体积的求解 关键是找出球的半径 备考提示备考提示 球的组合体 在高考中 经常考查球与长方体 正方体 三棱锥 四棱锥 圆锥 圆柱等的组合 熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键 练习练习 3 3 2012 2012 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 16 16 已知正三棱锥ABC 点P A B C都在半径为P 的求面上 若PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 3 6 2 33 3 33 考点四考点四 空间中平行与垂直关系的证明空间中平行与垂直关系的证明 例例 4 4 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 1616 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 分别是棱上的 111 ABCABC 1111 ABAC DE 1 BCCC 点 点D 不同于点C 且为的中点 ADDEF 11 BC 求证 1 平面平面 ADE 11 BCC B 2 直线平面ADE 1 AF 7 名师点睛名师点睛 本题主要考查空间中点 线 面的位置关系 考查线面垂直 面面垂 直的性质与判定 线面平行的判定 解题过程中注意中点这一条件的应用 做题规 律就是 无中点 取中点 相连得到中位线 本题属于中档题 难度不大 考查 基础为主 注意问题的等价转化 备考提示备考提示 熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键 练习练习 4 4 2012 2012 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 18 18 本小题满分 13 分 如图 在长方体 1111 DCBAABCD 中 1 1 ADAA E为CD中点 求证 11 ADEB 在棱 1 AA上是否存在一点P 使得 DP平面AEB1 若存在 求AP的长 若不存在 说明理由 若二面角 11 AEBA 的大小为 0 30 求AB的长 8 2 16 22 242 x x 得 2AB 考点五考点五 空间角与距离的求解空间角与距离的求解 例例 5 5 2012 2012 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 18 18 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB CD DAB 60 FC 平面 ABCD AE BD CB CD CF z x y 9 求证 BD 平面 AED 求二面角 F BD C 的余弦值 二面角 F BD C 的余弦值为 5 5 名师点睛名师点睛 本题主要考查空间点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向 量的应用 同时考查空间想象能力和运算求解能力 10 备考提示备考提示 空间角与距离是高考的一个热点 年年必考 熟练三种角及距离的求法 是 解答本类题目的关键 练习练习 5 5 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 14 14 如图 在正方体中 分 1111 ABCDABC D MN 别是 的中点 则异面直线与所成角的大小是 CD 1 CC 1 AMDN 考题回放考题回放 1 2012 2012 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 6 6 设平面与平面相交于直线 直线在平面内 直 ma 线在平面内 且 则 是 的 b bm ab 充分不必要条件 必要不充分条件 A B 充要条件 即不充分不必要条件 C D 答案 A 解析 如果 则与条件相 bmbba amab bm 同 2 2012 2012 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 5 5 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 则直线与直线夹角的余弦值为 1 2CACCCB 1 BC 1 AB A B C D 5 5 5 3 2 5 5 3 5 11 3 3 2012 2012 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 4 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 10 10 已知矩形ABCD AB 1 BC 2 将 ABD沿矩形的对角 线BD所在的直线进行翻着 在翻着过程中 A 存在某个位置 使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置 使得直线AB与直线CD垂直 C 存在某个位置 使得直线AD与直线BC垂直 D 对任意位置 三直线 AC与BD AB与CD AD与BC 均不垂直 12 高为 2 的圆柱与一圆锥组合而成 所以其体积为 故选 B 23 6 20122012 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 7 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 粗线画出的1 是某几何体的三视图 则此几何体的体积为 A6 B9 C D 答案 B 解析 选由三视图可知 该几何体是三棱锥 底面是俯视图 高为 所以几何体的B3 体积为 选 B 9336 2 1 3 1 V 7 2012 2012 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 3 3 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的俯 视图不可能是 13 另 排除 13 2 36 ABC VSR B C D 9 2012 2012 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 10 10 如右图 已知正四棱锥SABCD 所有棱长都为 1 点 E 是侧棱SC上一动点 过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记 14 01 SExx 截面下面部分的体积为 V x则函数 yV x 的图像大致为 15 16 考点定位 本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用 以及点到面的距离的求解 体现 了转换与化归的思想的运用 以及线面平行的距离 转化为点到面的距离即可 12 2012 2012 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 9 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a 且长 为a的棱与长为2的棱异面 则a的取值范围是 A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 17 BD 故 AC 平面 ABD 因为 SB平面 ABD 所以 AC SB 正确 对于 B 因为 AB CD 所以 AB 平面 SCD 对于 C 设 因为 AC 平面 ABD 所以 SA 和 SC 在平面 SBD 内ACBDO 的射影为 SO 则 ASO 和 CSO 就是 SA 与平面 SBD 所成的角和 SC 与平面 SBD 所成的角 二者相等 正确 故选 D 14 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 11 11 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该三 棱锥的体积等于 cm3 答案 1 解析 观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形 右侧面也是一直角三角形 故体积等于 11 3 1 21 23 15 2012 2012 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 14 14 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的 棱长为 1 E F 分别为线段 AA1 B1C 上的点 则三棱锥 D1 EDF 的 体积为 答案 1 6 解析 6 1 11 2 1 1 3 1 11 DEDFEDFD VV 16 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 14 14 如图 与是四面体中互相垂直的棱 ADBCABCD 若 且 其中 为常数 则四面体2 BCcAD2 aCDACBDAB2 ac 的体积的最大值是 ABCD 答案答案 1 3 2 22 cac 解析解析 据题 也就是说 线段aCDACBDAB2 18 的长度是定值 因为棱与CDACBDAB 与线段AD 棱互相垂直 当时 此时有最大值 此时最大值为 BCABDBC平面 1 3 2 22 cac 17 2012 2012 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 16 16 三棱柱 ABC A1B1C1中 底面边长和侧棱长都相等 BAA1 CAA1 60 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 18 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 15 15 已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球ABCDO 面上 且 则棱锥的体积为 6 2 3ABBC OABCD 答案 38 解析 如图 连接矩形对角线的交点和球心 则 1 OO 四棱锥的高为32 2 1 34 1 ACAOAC j o1 B D C A o 19 所以 体积为2 32 4 22 1 OO382326 3 1 V 19 2012 2012 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 18 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD 点 E 在线段 PC 上 PC 平面 BDE 1 证明 BD 平面 PAC 2 若 PH 1 AD 2 求二面角 B PC A 的正切值 20 2012 2012 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 16 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 I 求证 A1C 平面 BCDE a 2a B DC A p 20 II 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 III 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 3 设线段BC上存在点P 设P点坐标为 00a 则 03a 21 高考冲策演练高考冲策演练 一 选择题 一 选择题 1 1 山东省烟台市莱州一中 山东省烟台市莱州一中 20l320l3 届高三第二次质量检测理 届高三第二次质量检测理 设 b c 表示两条直线 表示两个平面 则下列命题正确的是 A 若B 若 bccb 则 bbcc 则 C 若D 若 cc 则 cc 则 答案 D 解析 A 中 与也有可能异面 B 中也有可能 C 中不一定垂直平面 D cbc c 中根据面面垂直的判定定理可知正确 选 D 2 北京市东城区普通校 北京市东城区普通校 20132013 届高三届高三 1212 月联考理 月联考理 已知 m n是两条不同直线 是 三个不同平面 下列命题中正确的是 A 若则 B mnmn 若则 C mnmn 若则 D mm 若则 答案 B 解析 根据线面垂直的性质可知 B 正确 22 3 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 6 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 答案 C 解析 若两条直线和同一平面所成角相等 这两条直线可能平行 也可能为异面直线 也可能相交 所以 A 错 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 则这 两个平面平行 故 B 错 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 也可以垂直 故 D 错 故选项 C 正确 4 云南省玉溪一中 云南省玉溪一中 20132013 届高三上学期期中考试理 届高三上学期期中考试理 设表示不同的直线 l m n 表示不同的平面 给出下列四个命题 若 且则 若 且 则 ml m l mlm l 若 则 m n lmn l 若且n 则 m mln l 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 正确 中当直线时 不成立 中 还有可能相交一点 不成立 l 正确 所以正确的有 2 个 选 B 5 云南师大附中云南师大附中 20132013 届高三高考适应性月考卷三理科届高三高考适应性月考卷三理科 一个几何体的三视图如图 l 所示 其中正视图是一个正三角形 则该几何体的体积为 23 A 1B C D 3 3 3 2 3 3 答案 B 解析 由三视图可知 此几何体为三棱锥 如图 1 其中正视图为 PAC 是边长为 2 的正三角形 PD ABC 平面 且 3PD 底面 ABC 为等腰直角三角形 2ABBC 所以体积为 113 322 323 V 故选 B 图 1 6 北京市昌平区北京市昌平区 20132013 年年 1 1 月高三上学期期末理月高三上学期期末理 7 7 已知一个空间几何体的三视图如图所示 根据图中标出的尺寸 可得这个几何体的全面积为 A 10 4 34 2 B 10 2 34 2 C D 142 34 2 144 34 2 答案 B 解析 根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形 一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥 其中 ABCD 是直角梯形 AB AD AB AD 2 BC 4 即 PA 平面 ABCD PA 2 且 24 底面梯形的面积为 2 2CD 2 2PD 2 2PB 2 6PC 24 2 6 2 侧面三角形 1 2 22 2 PAB S 1 2 22 2 PAD S 1 2 244 2 2 PBC S 中的高 DPC 22 2 2 6 2DO 所以 所以该几何体的总面积为 1 2 622 3 2 PDC S 选 B 6222 34 2102 34 2 7 北京市丰台区北京市丰台区 20132013 年年 1 1 月高三上学期期末理月高三上学期期末理 4 4 如图 某三棱锥的三视图都是直角边 为的等腰直角三角形 则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 2 A B C 1 D 232 3 8 20118 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 4 4 下列命题中错误的是 A 如果平面 那么平面内一定存在直线平行于平面 平面 B 如果平面不垂直于平面 那么平面内一定不存在直线垂直于平面 25 C 如果平面 平面 那么 平面 平面 l l 平面 D 如果平面 那么平面内所有直线都垂直于平面 平面 答案 D 解析 两个平面垂直 两个平面上的所有直线都不是垂直了 比如 平面垂直 平面 垂线为 AB 直线 CD 属于 与 AB 交与 E 点 角度为 60 不垂直平面 故选 D 9 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 6 6 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 10 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 12 12 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB 则棱锥 S ABC 的体积为 3 30BSCASC A B C D 133323 答案 C 解析 取 SC 的中点 D 则 D 为球心 则 AD BD DS 2 ASC BSC SBD BAD 30 ASC BSC 过A 做 AE SC 与 E 连接 BE 则 BE SC 在 BDE 中 DE BD BE BD coscos601BEDBD sinsin603BEDBD 26 故棱锥 S ABC 的体积等于棱锥 S ABE 和棱锥 C ABE 的体积和 即 2 13 343 34 11 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 7 7 某四面体的三视图如图所示 该四面体四个面的面积中 最大的是 A 8 B C 10 D 6 28 2 答案 C 12 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 9 9 高为的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 点 2 4 S A B C D 均在半径为 1 的同一球面上 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 27 A B 2 4 2 2 C 1 D 2 答案 C 解析 设底面中心为 G 球心为 O 则易得 于是 用一个与 ABCD 2 2 AG 2 2 OG 所在平面距离等于的平面去截球 S 便为其中一个交点 此平面的中心设为 H 则 2 4 故 故 222 244 OH 2 22 27 1 48 SH 2 22 72 1 84 SGSHHG 二 填空题 二 填空题 13 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 8 8 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面 则该圆 2 锥的体积为 14 14 2012 2012 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 13 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 28 15 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 7 7 如图 在长方体中 1111 ABCDABC D 3cmABAD 则四棱锥的体积为 cm3 1 2cmAA DDBBA 11 答案答案 3 6cm O D1 A1 C1 B1 A C D B 解析解析 如图所示 连结交于点 因为 平面 又因为ACBDODDBBABCD 11 所以 所以四棱锥的高为 根据题BDAC DDBBAC 11 平面 DDBBA 11 AO 意 所以 又因为 故矩形3cmABAD 2 23 AO3 2cmBD 1 2cmAA 的面积为 从而四棱锥的体积DDBB 11 2 6 2cmDDBBA 11 D AB C 1 C 1 D 1 A 1 B 29 3 13 2 6 26cm 32 V 16 2012 2012 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 16 16 已知正三棱锥ABC 点P A B C都在半径为的P 3 求面上 若PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 三 解答题 三 解答题 17 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 20 20 本小题满分 15 分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是 边长为2 3的菱形 且 BAD 120 且PA 平面 ABCD PA 2 6 M N分别为PB PD的中点 证明 MN 平面ABCD 过点A作AQ PC 垂足为点Q 求二面角 A MN Q的平面角的余弦值 解析 本题主要考察线面平行的证明方法 建系求二 面角等知识点 如图连接BD M N分别为PB PD的中点 在 PBD中 MN BD 又MN 平面ABCD MN 平面ABCD 30 18 北京市丰台区北京市丰台区 20132013 年年 1 1 月高三上学期期末理月高三上学期期末理 17 17 如图 在三棱锥P ABC中 PA PB AB 2 平面PAB平面ABC D E分别为AB AC中点 3BC 90 ABC 求证 DE 平面PBC 求证 ABPE 求二面角 A PB E 的大小 解析 D E分别为AB AC中点 DE BC E D B C A P E D A BC P 32 33 由图知 12 12 12 1 coscos 2 n n n n nn 所以即二面角的大小为 60 APBE 60 14 分 19 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 19 19 如图 在四棱锥中 底面是矩形 ABCDP ABCD 底面 是的中点 已知 PAABCDEPC2 AB 求 22 AD2 PA 1 三角形的面积 PCD 2 异面直线与所成的角的大小 BCAE 解析解析 1 因为PA 底面ABCD 所以PA CD 又AD CD 所以CD 平面PAD 从而CD PD 3 分 因为PD 32 22 2 22 CD 2 所以三角形PCD的面积为32322 2 1 6 分 2 解法一 如图所示 建立空间