苏州市2015-2016年中考数学试卷含答案(定值问题)

1 苏州市 2015年 初三数学定值问题 专 题复习 课前演练： 一、选择题 1 (2015潍坊 )如图 ， 直线 l 是一条河 ， A， B 两地相距 5 A， B 两地到 l 的距离分别为3 6 欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站 ， 向 A， B 两地供水 ， 现有如下四种铺设方案 ， 图中实 线表示铺设的管道 ， 则铺设的管道最短的是 ( ) 2.(2015甘肃 )如图 ， A， B 两个电话机离电话线 l 的距离分别是 3 米 ， 5 米 ， 6 米 ， 若由 l 上一点分别向 A， B 连线 ， 最短为 ( ) A 11 米 B 10 米 C 9 米 D 8 米 （ 第 2 题图 ) （ 第 3 题图 ) 3 如图 ， C， 连接 点 D 是 的动点 ， 6， 8， 10， 则点 C 到点 D 的最短距离是 ( ) A 6 B 8 （ 第 4 题图 ) ,第 5 题图 ) ,第 6 题图 ) 4 (2015贵阳模拟 )如图 ， 4， D 为 中点 ， 在 上存在一点E， 连接 则 长的最小值为 ( ) A 2 5 B 2 3 C 2 5 2 D 2 3 2 二、填空题 5 如图 ， 从直线外一点 A 到 这条直线的所有线段中 ， 线段 _ _最短 6 如图 ， 想在河堤两岸搭建一座桥 ， 图中搭建方 式中 ， 最短的是 理由是 _ _ _ 7 如图 ， 在等腰三角形 ， 120 ， P 是底边 的一个动点 ， M， N 分别是 中点 ， 若 最小值是 2， 则 周长是 _ _ ,第 7 题图 ) ,第 8 题图 ) 8 如图 ， 在菱形 ， 60 ， 点 M 是 中点 ， P 是对角线 的一个动点 ， 若 最小值是 9， 则 长是 _ _ 9 如果 P 是边长为 2 的正方形 边 任意一点且 垂足分别为 E， F， 则 _ _ 2 ,第 9 题图 ) ,第 10 题图 ) 10 如图 ， 45 ， 4 2， 分 点 D， M， N 分别是 的动点 (M 与 B， D 两点不重合 ， N 与 B， C 两点不重合 )， 则 最小值是 _ _ 典型例题： 例 1 小虎家新建一间房子 ， 要在屋外的 A 处安装水表 ， 从大路边到 A 处怎样接水管最近？把最短的线 段画出来 ， 并简要说明道理 例 2 等边 边长是 8， E 是 中点 ， M， N 分别是 的动点 ， 求 最 小值 例 3 如图 ， 45 ， P 是 一 定点 ， 10， Q， R 分别是 的动点 ， 求 长的最小值 (要求画出示意图 ， 写出解题过程 ) 例 4 如图 ， 在菱形 ， 4， A 135 ， 点 P， M， N 分别为对角线 边的动点 ， 求 最小值 例 5 如图 ， 正方形 边长为 4， 平分 线交 点 E， 若点 P， Q 分别是 的动点 ， 求 最小值 巩固练习： 一、填空题 1 在半 O 中 ， 点 C 是半圆弧 中点 ， D 是弧 距离点 B 较近的一个三等分点 ，点 P 是直径 的动点 ， 若 10， 则 最小值是 _ _. 3 （ 第 1 题图 ) （ 第 2 题图 ) （第 3 题图） 2 (2015株洲 )如图 ， O 的一条弦 ， 点 C 是 O 上一动点 ， 且 30 ， 点 E，F 分别是 中点 ， 直线 O 交于 G， H 两点 ， 若 O 的半径为 7， 则 _ _ 3 (2015莆田 )如图 ， 在反比例函数 y 6(3， 2)， B(6， 1)， 在直线 y x 上有一动点 P， 当 P 点的坐标为 _ _时 ， 最小值 二、解答题 4 已知点 M(3， 2)， N(1， 1)， 点 P 在 y 轴上 ， 求使得 周长最小 的点 P 的坐标 5 (2015宁德 )如图 ， O 的直径 ， 8， 点 M 在 O 上 ， 20 ， N 是弧中点 ， P 是直径 上的一动点 若 1， 则 长的最小值为多少 6 (2015永州模拟 )如图 ， 已知抛物线 y c 经过 A( 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点 ， 其顶点为 D， 对称轴与 x 轴交于点 H. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是该抛物线的对称轴上的一个动点 ， 求 长的最小值 7 小明在学习轴对称的时候 ， 老师留了一道思考题：如图 1， 若点 A， B 在直线 m 的同侧 ，在直线 m 上找一点 P， 使得 值最小 ， 小明通过独立思考 ， 很快得出了解决这个问题的正确方法 ， 他的做法是这样的： (a)作点 B 关于直线 m 的对称点 B， (b)连接 直线 m 交于点 P， 则点 P 为所求 请你参考小明的做法解决下列问题： (1)如图 2， 在等边 ， 2， 点 E 是 中点 ， 高 ， 在 找一点P(尺规作图 ， 保留作图痕迹 ， 不写作法 )， 使得 值最小 ， 并求出最小值； (2)如图 3， 在矩形 ， 4， 6， G 为边 的中点 ， 若 E， F 为 点 E 在点 F 的左侧 ， 且 1， 当四边形 周长最小时 ， 请你在图 3 中确定点 E， F 的位置 (尺规作图 ， 保留作图痕迹 ， 不写作法 )， 并求出四边形 周长的最小值 4 8 (2015大庆 )如图 ， 抛物线 y 4x 5 与 x 轴交于 A， B 两点 ， 与 y 轴交于点 ， 1)， E(a， 0)， F(a 1， 0)， 点 P 是第一象限内的抛物线上的动点 以 底的等腰三角形 (1)求点 P 的坐标； (2)当 a 为多少时 ， 四边形 长最小 . 拓展提高： 1 （ 2012 年苏州 ） 如图，已知半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C， O 交于点 D，连接 长为 x（ 2 x 4） （ 1）当 x= 时，求弦 长度； （ 2）当 x 为何值时， D 的值最大？最大值是多少？ 2（ 2012 年苏州 ） 如图，正方形 边 矩形 边 合，将正方形 cm/s 的速度沿 向移动，移动开始前点 A 与点 F 重合，在移动过程中，边 终与边 合，连接 点 A 作 平行线交线段 点 P，连接 知正方形边长为 1形 边 长分别为 43正方形移动时间为 x（ s），线段 长为 y（ 其中 0x （ 1）试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 y=3 时相应 x 的值； （ 2）记 面积为 面积为 说明 常数； （ 3）当线段 在直线与正方形 对角线 直时，求线段 长 中午作业： （分类练习） 一、定值问题解 1、 如图，在平面直角坐标系 x ，矩形 顶点 0,4），现有两动点 P、Q，点 出发沿线段 包括端点 O， C）以每秒 2个单位长度的速度，匀速向点 C 5 运动，点 出发沿线段 包括端点 C， D）以每秒 1个单位长度的速度匀速向点点 P， 时停止，设运动时间为 t=2秒时 52 . （ 1）求点 直接写出 （ 2）连接 延长交 x 轴于点 E,把 折交 长线于点 F,连接 A 是否随 t 的变化而变化？若变化，求出 S 与 t 的函数关系式；若不变化，求出 （ 3）在（ 2）的条件下， 边形 （第 1题图） 2、 如图所示，在菱形 ， 20 ， 正三角形，点 E、 C E、 C （ 1）证明不论 E、 C 有 F； （ 2）当点 E、 C 别探讨四边形 面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 （ 2题图） （ 3题图） 二、 由运动产生的线段和差问题 （最值问题） 3、 如图所示，已知 ,y)2 ， B 2(2,y ) 为反比例函数 1y x 图像上的两点，动 点 P(x,0) 在 线段 线段 】 A. 1( ,0)2B. (1,0) C. 3( ,0)2D. 5( ,0)24、 如图，抛物线 l交 （ 3， 0）、 B（ 1， 0），交 （ 0， 3）将抛物线l沿 抛物线 （ 1）求 （ 2）在 ，使点 的对称点 两点的距离差最大，并说出理由； 6 5、 如图，已知抛物线 y= x2+bx+（ 1， 0）， C（ 2， 3）两点，与 其顶点为 D （ 1）抛物线及直线 函数关系式； （ 2）设点 M（ 3， m），求使 （ 3）若抛物线的对称轴与直线 交于点 B， E 为直线 的任意一点，过点 F，以 B， D， E， 能，求点 不能，请说明理由； （ 4）若 C 上方的一个动点，求 面积的最大值 回家作业： （压轴题训练） 1、 如图，已知抛物线 2y a x b x c 经过 A（ 4， 0）， B（ 2， 3）， C（ 0， 3）三点 （ 1）求抛物线的解析式及对称轴 （ 2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使得 B 的值最小，并求出点 （ 3）在抛物线上是否存在一点 P，使得以点 A、 B、 C、 存在，请求出点 不存在，请说明理由 2. （ 2012 四川 自贡 12 分） 如图所示，在菱形 ， ， 20， 正三角形，点 E、 F 分别在菱形的边 滑动，且 E、 F 不与 B C D 重合 7 （ 1）证明不论 E、 F 在 如何滑动，总有 F； （ 2）当点 E、 F 在 滑动时，分别探讨四边形 面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值 3. （ 2015常州 10 分） 如图，一次函数 y= x+4 的图象与 x 轴、 y 轴分别相交于点 A、 B，过点 A 作 x 轴的垂线 l，点 P 为直线 l 上的动点，点 Q 为直线 接圆的交点，点 P、 Q 与点 A 都不重合 （ 1）写出点 A 的坐标； （ 2）当点 P 在直线 l 上运动时，是否存在点 P 使得 等？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 （ 3）若点 M 在直线 l 上，且 0，记 接圆和 接圆的面积分别是 的值 8 参考答案： 课前演练： 1. B； 2. B； 4. C； 5. 6. 垂线段最短 ； 7. 4 2 3； 8. 6 3； 9. 2； 10. 4； 2. 典型例题： 例 图所示： 沿 段接水管最近 ， 因为直线外一点与直线的所有连接线段中 ， 垂直线段最短 （例 1 答图） （例 2 答图） （例 3 答图） 例 2. 解：作点 E 关于 对称点 H， 过点 H 作 G， 则 最小值是 ， 解得 ， 3 3 。 例 3. 解：分别作点 P 关于 对称点 M， N， 连接 B 于点 Q， R， 连接 此时 长的最小值等于 10， 2 2 45 90 ， 在 ， 10 2， 即 长的最小值等于 10 2。 例 4. 解：过点 M 作关于 对称点 连接 点 P， 连接 则 N 的最小值就是 过点 C 作 点 H, 则 A 135 ， 45 ， 四边形 菱形 ， 4， 由三角函数的定义有 ， 22 解得 ， 2 2， 即 最小值为 2 2 。 （例 4 答图） （例 5 答图） 例 D 关于 对称点 D， 再过 D作 DP P， ， D D 是 D 关于 对称点 ， 4， D P 即为 最小值 ， 四边形 正方形 ， 45 ， P D ， 在 D 中 ， P D 2 ， 16， P D， 2P D 2 ， 即 2PD2 16， P D 2 2， 即 2 巩固练习： 1. _5 3； 2. 212 _； 3. (43， 43)_点拨：设 A 点关于直线 y x 的对称点为 A， 连接 AB，交直线 y x 为 P 点 ， 此时 最小值 ， A 点关于直线 y x 的对称点为 A，A(3， 2)， A ( 2， 3)， 设直线 Ay b， 3 2k b，1 6k b， 解得 9 k 12， b 2， 直线 Ay 12x 2， 联立y 12x 2，y x，解得 x 43， y 43， 即 43， 43)， 故答案为 (43， 43)。 4. 解：作出 M 关于 y 轴的对称点 M， 连接 与 y 轴相交于点 P， 则 P 点即为所求 ，设过 点的直线解析式为 y b(k 0)， 则 2 3k b， 1 k b， 解得 k34， b14， 故此一次函数的解析式为 y 34x 14， 因为 b 14， 所以 P 点坐标为 (0， 14)。 5. 解：作 N 关于 对称点 N， 连接 ， ， N 关于对称点 N， 与 交点 P即为 周长最小时的点 ， N 是弧 ， A 20 ， 60 ， 为等边三角形 ， 4, 长的最小值为 4 1 5 （ 5 题答图） （ 6 题答图） （ 7 题答图） 6. 解： (1)把 A( 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点坐标代入 y c 中 ，a b c 0，9a 3b c 0，c 3，解得a 1，b 2，c 3，即抛物线的解析式是 y 2x 3 (2)如图 ， 周长 定值 ， 当 小时 ， A， B 两点关于对称轴对称 ， 连接 交对称轴于点 P， 点 P 即为所求 ， 最小周长 A( 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)， 3 2， 10， 最小周长 3 2 10。 7. 解： (1)如图 2， 作点 E 关于 对称点 F， 交 点 F， 连接 交 于点P， 连接 点 P 即为所求 . 在等边 ， 2， 点 E 是 的中点 ， F 是 中点 ， 点 F, 最小值 22 12 3 (2)如图 3， 作点 G 关于 对称点 M， 在 截取 1， 连接 交 点 E， 在截取 1， 连接 则 E， F 为所求 ， 4， 6, G 为边 的中点 ， 3， 39， ， 在 ， 分别由勾股定理解得 ， 12 32 10 10， 22 62 2 10， 5, 四边形 周长的最小值 10 1 2 10 5 6 3 10 8. 解： (1) y 4x 5 与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为 (0， 5)又 M(0， 1)， 为顶点的等腰三角形 ， 点 P 的纵坐标为 3， 令 y 4x 5 3， 解得 x 2 6， 点 P 在第一象限 ， P(2 6， 3) (2)四边形 四条边中 ， 度固定 ， 因此只要 小 ， 则 将点 M 向右平移 1 个单位长度 (长度 )， 得 ， 1)， 作点 x 轴的对称点 则 ， 1)， 连接 与 x 轴交于 F 点 ， 此时 设直线 解析式为 y n， 将 P(2 6， 3)， ， 1)代入得：（ 2 6） m n 3m n 1 ， 解得： m 4 6 45n 4 6 15， y 4 6 45 x 4 6 15 ， 当 y 0 时 ， 解得x 6 54 . F( 6 54 ， 0)， F(a 1， 0)， a 6 14 ， a 6 14 时 ， 四边形 长最小 （ 8 题答图） （拓展 1 答图） （拓展 2 答图） 拓展提高： 1. 解：（ 1） O 与直线 l 相切于点 A，且 O 的直径， l， 又 l， O 的直径， 0，又 l， 0， = ，即 C ， ， = ， ， ， ，由勾股定理得： = ； （ 2）过 O 作 足为 E， O 的弦， D， 又 0， 四边形 矩形， A=2，又 PC=x， D=CE=x 2， C PD=x 2（ x 2） =4 x， D=2（ x 2） （ 4 x） = 22x 16= 2（ x 3） 2+2， 2 x 4， 当 x=3 时， D 的值最大，最大值是 2 2. 解：（ 1） = ， ， A=1， AF=x， 11 x， x， = ，即 y= ， y 关于 x 的函数关系式为 y= ，当 y=3 时， =3，解得 x=检验的 x=分式方程的根故 x 的值为 （ 2） D= （ 3 x） = ， D= （ 3 x） 1= ， = 即为常数； （ 3）延长 点 Q 正方形 ， 对角线， 5， 5， 5 等腰直角三角形，则 P， 3 x= ，化简得： 5x+5=0解得： x= ， 0x x= ，在 ， = （ 3 x） = 中午作业： 1.【答案】 解：（ 1）由题意可知，当 t=2（秒）时， ， ，在 ，由 勾股定理得： 22 2 2P Q C Q 2 5 2 =4， P+P C=4+4=8。又 矩形 A（ 0， 4），D （ 8， 4）。 0 t 4。 （ 2）结论： 面积 矩形， E ， Q，即 CE t ，解得 8 由翻折变换的性质可知： Q=4 t，则 D+ t。 S=S 梯 形 S S12（ F） 2E 12E=124（ 8 t） 8+ 12（ 8 t） 8 124 （ 8 8。 化简得 ： S=32 为定值。所以 面积 S 不变化，S=32。 （ 3）若四边形 梯形，因为 平行，所以只有 F 。由 F 可得： Q： 8 2t： 8= t： 4 t，化简得 12t 16=0， 解得： +2 5 ， 2 5 。 由（ 1）可知， 0 t 4， t 1=6+2 5 不符合题意，舍去。 当 t=6 2 5 秒时，四边形 2. 【答案】 解：（ 1）证明：如图，连接 四边形 20 ， 12 0 ， 0 ， 20 ， 0 。 等边三角形。 0 ， B。 在 ， C， F 。 （ 2）四边形 变， 面积发生变化。理由如下： 由（ 1）得 则 SS S 四边形 SSSS是定值。 作 C 于 ， 22A E C F A B C 11S S B C A H B C A B B H 4 322 四 形边 。 由 “ 垂线段最短 ” 可知：当正三角形 故 面积会随着 当 三角形 又 SS 四边形 S则此时 面积就会 最大 S S 四边形 S 2214 3 2 3 2 3 3 32 。 面积的最大值是 3 。 3.【答案】 D。 【考点】 反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。 【分析】 把 ,y)2 ， B 2(2,y ) 分别代入反比例函数 1y x 得： ， 2 ， A （ 12， 2）， B（ 2， 12）。 在 ，由三角形的三边关系定理得： | 延长 ，当 点时， B， 即此时线段 设直线 y=kx+b，把 A、 12= k+2k+，解得： k= 15b=2。 直线 。当 y=0时， x= 52，即 P（ 52， 0）。故选 D。 4.【答案】 解：（ 1）如图 1，设经翻折后，点 A 1、 依题意，由翻折变换的性质可知 3， 0）， 1， 0）， 13 抛物线 1（ 3， 0）， 1， 0）， C（ 0， 3）三点， 设抛物线 为 y=bx+c，则 9a+3b+c=0a b+c=0c= 3 ，解得 a=1b= 2c= 3 。 抛物线 y=2x 3。 （ 2）抛物线 x= =12a 2， 如图 2，连接 对称轴 x=1交于点 P，则点 此时， | 设 P 为对称轴 x=1上不同于点 则有： |PA PC|=|PB 1 PC| 角 形两边之差小于第三边）， |PA PC| |即 |大。 设直线 y=kx+b，则 k+b=0b= 3， 解得 k=b= 3。 直线 y= 3x 3。令 x=1，得 y= 6。 P （ 1， 6）。 5. 【答案】 解：（ 1）由抛物线 y= x2+bx+（ 1， 0）及 C（ 2， 3）得， 1 b+c=04+2b+c=3，解得 b=2c=3。 抛物线的函数关系 式为 2y x 2 x 3 。 设直线 y=kx+n，由直线 点 A（ 1， 0）及 C（ 2， 3）得 ： k+n=02k+n=3，解得 k=1n=1。 直线 y=x+1。 （ 2）作 x=3的对称点 N ， 令 x=0，得 y=3，即 N（ 0， 3）。 N （ 6， 3） 由 22y x 2 x 3 = x 1 + 4 得 ： D（ 1， 4）。 设直线 的函数关系 式为 y=sx+t，则 ： 6s+t=3s+t=4，解得1s=521t=5 。 14 故直线 的函数关系式为 1 21 。 根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当 M（ 3， m）在直线 上时， D 的值最小， 1 2 1 1 8m 3 =5 5 5 。 使 85。 （ 3）由（ 1）、（ 2）得 D（ 1， 4）， B（ 1， 2）， 当 B、 C、 D、 边形 时，点 重合，即 E（ 2， 3）。 当 点 设 E（ x， x+1），则 F（ x， 2x 2x 3 ）。又 ， 若四边形 F。 2x 2 x 3 x 1 = 2 ，即 2x x 2 = 2 。若 2x x 2=2 ， 解得， x=0或 x=1（舍去）， E （ 0， 1）。 若 2x x 2 = 2 ， 解得， 1 17x=2， E 1 + 1 7 3 + 1 722 ，或 E 1 1 7 3 1 722 ，。 综上，满足条件的点 2， 3）、（ 0， 1）、 1 + 1 7 3 + 1 722 ，、 1 1 7 3 1 722 ，。 （ 4）如图，过点 Qx 轴交 点 Q；过 点 Gx 轴于点 G， 设 Q（ x， x+1），则 P（ x， x+3）。 22P Q x 2 x 3 x 1 x x 2 （ ） （ ）。 A P C A P Q C P Q 1S S + S P Q A 221 3 1 2 7x x 2 3 2 8 （ ） （ ）。 3 02， 当 1x=2时， 面积取得最大值，最大值为 278。 回家作业： （压轴题训练） 1. 【答案】 解：（ 1） 抛物线 2y a x b x c 经过 A （ 4，0）， B（ 2， 3）， C（ 0， 3）三点， 1 6 a 4 b c 04 a 2 b c 3c 3 ，解得3。 抛物线的解析式为： 233y x x 384 ，其对称轴为： 。 15 （ 2）由 B（ 2， 3）， C（ 0， 3），且对称轴为 x=1，可知点 B、 x=1的对称点。 如图 1所示，连接 交对称轴 x=1于点 M，连接 A C，根据两点之间线段最短可知此时 直线 y=b， A （ 4， 0）， C（ 0， 3）， 4k b 0b 3，解得 3。 直线 y= 34x 3。 令 x=1，得 y=94。 M 点坐标为（ 1， 94）。 （ 3）结论：存在。 如图 2所示，在抛物线上有两个点 若 P 1，此时梯形为 由 B（ 2， 3）， C（ 0， 3），可知 BCx 轴， 则 1即为所求。 在 233y x x 384 中令 y=0，解得 2， 。 P 1（ 2， 0）。 P 1A=6， ， P 1A 四边形 若 P 2，此时梯形为 ， BCx 轴， P 2， 四边形C=2 。 N （ 2，