高中数学 《余弦定理》教案4 苏教版必修5

1 余弦定理余弦定理 一 教学目标一 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 并会运用余弦 定理解决两类基本的解三角形问题 2 2 过程与方法过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论 并通过实践演算掌握运用余弦定 理解决两类基本的解三角形问题 3 3 情态与价值 情态与价值 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 通过三角函数 余弦定理 向量的数量积等知识间的关系 来理解事物之间的普遍联系与辩证统一 二 教学重 难点二 教学重 难点 重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用 三 学法与教学用具三 学法与教学用具 学法 首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化 也就是研究如何从 已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题 利用向量的数量积比较 容易地证明了余弦定理 从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形 的角 教学用具 直尺 投影仪 计算器 四 教学设想四 教学设想 创设情景创设情景 C 如图 1 在ABC 中 设 BC a AC b AB c 已知 a b 和C 求边 c b a A c B 图 1 探索研究探索研究 联系已经学过的知识和方法 可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求 发现因 A B 均未知 所以较难求边 c 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究这个问题 A 如图 2 设 那么 则 C Ba C A b ABc cab b c C B 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b a 从而 图 2 222 2coscababC 同理可证 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 于是得到以下定理 2 余弦定理余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考 这个式子中有几个量 从方程的角度看已知其中三个量 可以求出第四个量 能否 由三边求出一角 由学生推出 从余弦定理 又可得到以下推论 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 已知三角形的三条边就可以求出其它角 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系 如何看这两个定理之间的关系 由学生总结 若ABC 中 C 则 这时 0 90cos0 C 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 例题分析例题分析 例 1 在ABC 中 已知 求 b 及 A 2 3 a62 c 0 60 B 解 222 2cos bacacB cos 22 2 3 62 2 2 3 62 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 A 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 3 2 32 1 8 3 6 即 ac 0 0A 0 90 0 60 A 评述 解法二应注意确定 A 的取值范围 例 2 在ABC 中 已知 解三角形 134 6 acm87 8 bcm161 7 ccm 解 由余弦定理的推论得 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca