2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题（七） 理 （广东卷）

用心 爱心 专心 1 绝密绝密 启用前启用前 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 七 理科数学年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 七 理科数学 必修必修 选修选修 II II 第第 I 卷卷 注意事项 1 答第 I 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其他答案标号 不能答在试题卷上 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 参考公式 参考公式 如果事件AB 互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件AB 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP A P B AA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p 那么 3 4 3 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 若 17 2 i abi a bR i i 是虚数单位 则乘积ab的值是 A 15B 3C 3D 5 2 已知函数 xfy 的反函数为 1 log1xy a 1 0 aa且 则函数 xfy 的 图象必过定点 用心 爱心 专心 2 A B 3 已知两点 若点P是圆上的动点 则面积的最小值为 A 6B C 3D 4 已知曲线 1 0 C yx x 及两点 11 0 A x和 22 0 A x 其中 21 0 xx 过 1 A 2 A分别作x轴的垂线 交曲线C于 1 B 2 B两点 直线 12 B B与x轴交于点 33 0 A x 那么 A 3 12 2 x xx成等差数列 B 3 12 2 x xx成等比数列 C 132 x x x成等差数列 D 132 x x x成等比数列 5 若函数在上是减函数 则实数a的取值范围是 A B C D 6 某单位有 7 个连在一起的车位 现有 3 辆不同型号的车需停放 如果要求剩余的 4 个 车位连在一起 则不同的停放方法的种数为 A 16B 18C 24D 32 7 已知函数 xxycossin xxycossin22 则下列结论正确的是 A 两个函数的图象均关于点 0 4 成中心对称 B 两个函数的图象均关于直线 4 x 成中心对称 C 两个函数在区间 4 4 上都是单调递增函数 D 两个函数的最小正周期相同 8 已知圆 22 2410 xyxy 关于直 220axby 41 0 0 ab ab 对称则的最小值是 A 4B 6C 8D 9 9 在平行四边形ABCD中 若将其沿BD折成直二面角A B D C 则三棱锥A BCD的外接球的 表面积为 A B C D 用心 爱心 专心 3 10 已知两点已知两点 1 0 1 3 ABO为坐标原点 点为坐标原点 点C在第二象限 且在第二象限 且 120 AOC 设设2 OCOAOB R 则等于等于 A A 1 B B 1 1 C C D D 2 11 定义在R上的偶函数满足 当时 则 A B C D 12 双曲线的两条渐近线分别为F为其右焦点 过F作交双曲线于点M 交 L1于7V 若 且 则双曲线的离心率的取值范围为 A B C D 第第 卷卷 注意事项 1 用 0 5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答 2 本卷共 10 小题 共 90 分 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 设直线30axy 与圆 22 1 2 4xy 相交于A B两点 且弦AB的长为 2 3 则a 14 在ABC 中 角 A B C 所对应的边分别为 222 a b cbcbca 且 则角 A 的大 小为 15 已知椭圆上一点P到其左准线的距离为10 F是该椭圆的左焦点 若点M满足 其中O为坐标原点 则 16 已知二次项系数为正的二次函数 xf对任意R x 都有 1 1 xfxf 成立 设向量 a sinx 2 b 2sinx 2 1 c cos2x 1 d 1 2 当 x 0 时 不等式 f a b f c d 的解集为 用心 爱心 专心 4 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 如图 P Q 是以原点为圆心的单位圆上的两个动点 若它们同时从点A 1 0 出发 沿逆时针方向作匀角速度运动 其角速度分别为 单位 弧度 秒 M为线段PQ的中点 记经过 x 秒后 其中 I 求的函数解析式 II 将图象上的各点均向右平移2个单位长度 得到的图象 求函数的单调递减区间 18 本小题满分 12 分 已知等差数列的前n项和为 公差d 0 且 I 求数列的通项公式 II 若求数列的前n项和Tn 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为直角梯形 且 ADBC 90ABCPAD 侧面PAD 底面ABCD 若 1 2 PAABBCAD 求证 CD 平面PAC 侧棱PA上是否存在点E 使得 BE平面PCD 若存在 指出点E 的位置并证明 若不存在 请说明理由 求二面角APDC 的余弦值 A B P C D 用心 爱心 专心 5 20 本小题满分 12 分 在某校教师趣味投篮比赛中 比赛规则是 每场投 6 个球 至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖 否则不获奖 已知教师甲投进每个球的概率都是 2 3 记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X 求 X 的分布列及数学期望 求教师甲在一场比赛中获奖的概率 已知教师乙在某场比赛中 6 个球中恰好投进了 4 个球 求教师乙在这场比赛中获奖 的概率 教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗 21 本小题满分 12 分 已知抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 过F的直线交y轴正半轴于点P 交抛 物线于 A B两点 其中点A在第一象限 求证 以线段FA为直径的圆与y轴相切 若 1 FAAP 2 BFFA 1 2 1 1 4 2 求 2 的取值范围 22 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 a x f x x 其中0a 求函数 f x的单调区间 若直线10 xy 是曲线 yf x 的切线 求实数a的值 设 2 ln g xxxx f x 求 g x在区间 1 e 上的最大值 其中e为自然对数的底数 用心 爱心 专心 6 2011 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 七 理科数学理科数学 必修必修 选修选修 II 参考答案参考答案 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 题号123456789101112 答案CABACCCDCBAB 二 填空题 本题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在答题卡的相应位置 13 0 14 15 2 16 4 3 4 xx 三 解答题 本题共 6 小题 总分 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 解 依题意可知 3 POAx 6 QOAx 2 分 1 OQOP coscosOMOQMOQMOQ 36 212 xx MOQx cos 12 OMx 60 x 则 cos 12 f xx 60 x 5 分 依题意可知 cos 2 cos 12126 g xxx 28x 7 分 由22 126 kxk 得2422414kxk 所以函数 yg x 2 8 x 的单调递减区间为 2 8 10 分 18 本小题满分 12 分 解 由公差0d 且 3847 47 24 135 aaaa a a 解得 4 7 9 15 a a 2 分 74 2 3 aa d 4 421 n aandn 5 分 用心 爱心 专心 7 当2n 时 12 2 333 n n n bbb S L 112 1 21 333 n n n bbb S L 得 1 21 3 n nnn n b SSan 21 3n n bn 2n 1n 时 1 1 3 3 b S 1 9b 也符合上式 故 21 3n n bn n N 8 分 121 3 35 321 321 3 nn n Tnn L 231 33 35 321 321 3 nn n Tnn L 得 231 29233321 3 nn n Tn L 10 分 1 9 1 3 92 1 3 n 1 21 3nn 1 23nn 1 3n n Tn 12 分 19 解法一 因为 90PAD 所以PAAD 又因为侧面PAD 底面ABCD 且侧面PAD 底面ABCDAD 所以PA 底面ABCD 而CD 底面ABCD 所以PA CD 在底面ABCD中 因为90ABCBAD 1 2 ABBCAD 所以 2 2 ACCDAD 所以AC CD 又因为PAACA 所以CD 平面PAC 4 分 在PA上存在中点E 使得 BE平面PCD 用心 爱心 专心 8 证明如下 设PD的中点是F 连结BE EF FC 则 EFAD 且 1 2 EFAD 由已知90ABCBAD 所以 BCAD 又 1 2 BCAD 所以 BCEF 且BCEF 所以四边形BEFC为平行四边形 所以 BECF 因为BE 平面PCD CF 平面PCD 所以 BE平面PCD 8 分 设G为AD中点 连结CG 则 CG AD 又因为平面ABCD 平面PAD 所以 CG 平面PAD 过G作GHPD 于H 连结CH 由三垂线定理可知CHPD 所以GHC 是二面角APDC 的平面角 设2AD 则1PAABCGDG 5DP 在PAD 中 GHDG PADP 所以 1 5 GH 所以 tan5 CG GHC GH 6 cos 6 GHC 即二面角APDC 的余弦值为 6 6 12 分 解法二 因为 90PAD 所以PAAD 又因为侧面PAD 底面ABCD 且侧面PAD 底面ABCDAD 所以 PA 底面ABCD 又因为90BAD 所以AB AD AP两两垂直 分别以AB AD AP为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 设2AD 则 0 0 0 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 2 0 D 0 0 1 P E F A B P C D G H A B P C D z y x A B P C D 用心 爱心 专心 9 0 0 1 AP 1 1 0 AC 1 1 0 CD 所以 0AP CD 0AC CD 所以AP CD AC CD 又因为APACA 所以CD 平面PAC 4 分 设侧棱PA的中点是E 则 1 0 0 2 E 1 1 0 2 BE 设平面PCD的一个法向量是 x y z n 则 0 0 CD PD n n 因为 1 1 0 CD 0 2 1 PD 所以 0 20 xy yz 取1x 则 1 1 2 n 所以 1 1 1 2 1 0 0 2 BE n 所以BE n 因为BE 平面PCD 所以BEA平面PCD 8 分 由已知 AB 平面PAD 所以 1 0 0 AB 为平面PAD的一个法向量 由 知 1 1 2 n为平面PCD的一个法向量 设二面角APDC 的大小为 由图可知 为锐角 所以 1 1 2 1 0 0 6 cos 66 1 AB AB n n 即二面角APDC 的余弦值为 6 6 12 分 20 解 X 的所有可能取值为 0 1 2 3 4 5 6 依条件可知 X B 6 2 3 6 6 21 33 kk k P XkC 0 1 2 3 4 5 6k X 的分布列为 X0123456 P 1 729 12 729 60 729 160 729 240 729 192 729 64 729 所以 1 0 1 1 122 603 1604 2405 1926 64 729 EX 2916 4 729 用心 爱心 专心 10 或因为 X B 6 2 3 所以 2 64 3 EX 即 X 的数学期望为 4 5 分 设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A 则 224156 44 1212232 3333381 P ACC 答 教师甲在一场比赛中获奖的概率为 32 81 10 分 设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B 则 24 44 6 6 2 5 A A P B A 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 2 5 显然 23232 58081 所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的 概率不相等 12 分 21 21 解 解 由已知 0 2 p F 设 11 A x y 则 2 11 2ypx 圆心坐标为 11 2 42 xp y 圆心到y轴的距离为 1 2 4 xp 2 分 圆的半径为 1 1 21 2224 FAxpp x 4 分 所以 以线段FA为直径的圆与y轴相切 5 分 解法一 设 022 0 PyB xy 由 1 FAAP 2 BFFA 得 111101 2 p xyx yy 22211 22 pp xyxy 6 分 所以 11 11101 2 p xxyyy 221221 22 pp xxyy 8 分 由 221 yy 得 222 221 yy 又 2 11 2ypx 2 22 2ypx 所以 2 221 xx 10 分 代入 221 22 pp xx 得 2 2121 22 pp xx 2122 1 1 2 p x 整理得 1 2 2 p x 代入 11 1 2 p xx 得 1 22 222 ppp 用心 爱心 专心 11 所以 1 22 1 1 因为 1 2 1 1 4 2 所以 2 的取值范围是 4 2 3 12 分 解法二 解法二 设 2211 yxByxA 2 p AB xmy 将 2 p xmy 代入 2 2ypx 得 22 20ypmyp 所以 2 12 y yp 6 分 由 1 FAAP 2 BFFA 得 111101 2 p xyx yy 22211 22 pp xyxy 7 分 所以 11 11101 2 p xxyyy 221221 22 pp xxyy 8 分 将 122 yy 代入 式 得 2 2 1 2 p y 10 分 所以 2 1 2