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第五章定积分第一节定积分的概念一 问题的提出二 定积分的定义三 存在定理四 几何意义五 小结思考题 1 实例1 求曲边梯形的面积 一 问题的提出 2 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 3 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播放 4 曲边梯形如图所示 5 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 6 实例2 求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 7 1 分割 2 求和 3 取极限 路程的精确值 8 二 定积分的定义 定义 9 记为 积分上限 积分下限 积分和 10 注意 11 定理1 定理2 三 存在定理 12 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四 定积分的几何意义 13 几何意义 14 例1利用定义计算定积分 解 15 16 例2利用定义计算定积分 解 17 18 证明 利用对数的性质得 19 极限运算与对数运算换序得 20 故 21 五 小结 定积分的实质 特殊和式的极限 定积分的思想和方法 求近似以直 不变 代曲 变 取极限 22 思考题 将和式极限 表示成定积分 23 思考题解答 原式 24 练习题 25 26 练习题答案 27 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 28 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 29 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 30 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 31 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 32 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 33 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 34 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 35 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 36 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 37 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 38 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 39 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 40 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 41 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 42 第二节定积分的性质 中值定理一 基本内容二 小结思考题 43 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 一 基本内容 44 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 45 证 性质2 46 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 47 证 性质4 性质5 48 解 令 于是 49 性质5的推论 证 1 50 证 说明 可积性是显然的 性质5的推论 2 51 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 52 解 53 解 54 55 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7 定积分中值定理 积分中值公式 56 使 即 积分中值公式的几何解释 57 解 由积分中值定理知有 使 58 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 典型问题 估计积分值 不计算定积分比较积分大小 二 小结 59 思考题 60 思考题解答 例 61 练习题 62 63 64 练习题答案 65 66 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 一 基本内容 67 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 68 证 性质2 69 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质3 70 证 性质4 性质5 71 解 令 于是 72 性质5的推论 证 1 73 证 说明 可积性是显然的 性质5的推论 2 74 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 75 解 76 解 77 78 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7 定积分中值定理 积分中值公式 79 使 即 积分中值公式的几何解释 80 解 由积分中值定理知有 使 81 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 典型问题 估计积分值 不计算定积分比较积分大小 二 小结 82 思考题 83 思考题解答 例 84 练习题 85 86 87 练习题答案 88 第三节微积分基本公式一 问题的提出二 积分上限函数及其导数三 牛顿 莱布尼茨公式发四 小结思考题 89 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一 问题的提出 90 考察定积分 记 积分上限函数 二 积分上限函数及其导数 91 积分上限函数的性质 证 92 由积分中值定理得 93 补充 证 94 例1求 解 分析 这是型不定式 应用洛必达法则 95 证 96 97 证 令 98 定理2 原函数存在定理 定理的重要意义 1 肯定了连续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 99 定理3 微积分基本公式 证 三 牛顿 莱布尼茨公式 100 令 令 牛顿 莱布尼茨公式 101 微积分基本公式表明 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题 102 例4求 原式 例5设 求 解 解 103 例6求 解 由图形可知 104 例7求 解 解面积 105 3 微积分基本公式 1 积分上限函数 2 积分上限函数的导数 四 小结 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系 106 思考题 107 思考题解答 108 练习题 109 110 111 112 113 114 练习题答案 115 116 第四节定积分的换元积分法一 换元公式二 小结思考题 117 定理 一 换元公式 118 证 119 120 应用换元公式时应注意 1 2 121 例1计算 解 令 122 例2计算 解 123 例3计算 解 原式 124 例4计算 解 令 原式 125 证 126 127 奇函数 例6计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 128 证 1 设 129 2 设 130 131 几个特殊积分 定积分的几个等式 定积分的换元法 二 小结 132 思考题 解 令 133 思考题解答 计算中第二步是错误的 正确解法是 134 练习题 135 136 137 138 练习题答案 139 第五节定积分的分部积分公式一 分部积分公式二 小结思考题 140 推导 一 分部积分公式 141 例1计算 解 令 则 142 例2计算 解 143 例3计算 解 144 例4设求 解 145 146 例5证明定积分公式 证 设 147 积分关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 148 于是 149 定积分的分部积分公式 二 小结 注意与不定积分分部积分法的区别 150 思考题 151 思考题解答 152 练习题 153 154 练习题答案 155 156 第七节广义积分一 无穷限的广义积分二 无界函数的广义积分三 小结思考题 157 一 无穷限的广义积分 158 159 160 例1计算广义积分 解 161 例2计算广义积分 解 162 证 163 证 164 二 无界函数的广义积分 165 166 定义中C为瑕点 以上积分称为瑕积分 167 例5计算广义积分 解