高中数学 几种常见的数列的通项公式的求法例题解析（两课时）新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 几种常见的数列的通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法 一 一 观察法观察法 例例 1 根据数列的前 4 项 写出它的一个通项公式 1 9 99 999 9999 2 17 16 4 10 9 3 5 4 2 2 1 1 3 5 2 2 1 3 2 1 4 5 4 4 3 3 2 2 1 解 1 变形为 101 1 102 1 103 1 104 1 通项公式为 110 n n a 2 1 2 2 n n nan 3 1 2 n an 4 1 1 1 n n a n n 点评 关键是找出各项与项数 n 的关系 二 公式法二 公式法 例例 2 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列 数列 bn 是公比为 q 的 q R 且 q 1 的等比数列 若函数 f x x 1 2 且 a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 1 求数列 a n 和 b n 的通项公式 解 1 a 1 f d 1 d 2 2 a 3 f d 1 d 2 a3 a1 d2 d 2 2 2d d 2 an a1 n 1 d 2 n 1 又 b1 f q 1 q2 b3 f q 1 q 2 2 2 2 1 3 2 q q b b q2 由 q R 且 q 1 得 q 2 bn b qn 1 4 2 n 1 例例 3 等差数列 n a是递减数列 且 432 aaa 48 432 aaa 12 则数列的通项公式是 A 122 nan B 42 nan C 122 nan D 102 nan 解析解析 设等差数列的公差位 d 由已知 123 48 3 333 a daada 解得 2 4 3 d a 又 n a是递减数列 2 d 8 1 a 2 1 8nan102 n 故选 D 例例 4 已知等比数列 n a的首项1 1 a 公比10 q 设数列 n b的通项为 21 nnn aab 求数列 n b的通项公式 解析解析 由题意 321 nnn aab 又 n a是等比数列 公比为q q aa aa b b nn nn n n 21 321 故数列 n b是等比数列 1 2 11321 qqqaqaaab 1 1 1 qqqqqb nn n 点评 当已知数列为等差或等比数列时 可直接利用等差或等比数列的通项公式 只需求得首项及公差公比 用心 爱心 专心2 三 叠加法叠加法 例例 5 已知数列 6 9 14 21 30 求此数列的一个通项 解 易知 12 1 naa nn 3 12 aa 5 23 aa 7 34 aa 12 1 naa nn 各式相加得 12 753 1 naan 5 2 Nnnan 点评 一般地 对于型如 1 nfaa nn 类的通项公式 只要 2 1 nfff 能进行求和 则宜采 用此方法求解 例例 6 若在数列 n a中 3 1 a naa nn 1 求通项 n a 解析解析 由naa nn 1 得naa nn 1 所以1 1 naa nn 2 21 naa nn 1 12 aa 将以上各式相加得 1 2 1 1 nnaan 又3 1 a所以 n a 3 2 1 nn 四 叠乘法四 叠乘法 例例 7 在数列 n a 中 1 a 1 n 1 1 n a n n a 求 n a的表达式 解 由 n 1 1 n a n n a得 1 1 n n a a n n 1 a an 1 2 a a 2 3 a a 3 4 a a 1 n n a a nn n11 4 3 3 2 2 1 所以 n an 1 例例 8 已知数列 n a中 3 1 1 a 前n项和 n S与 n a的关系是 nn annS 12 试求通项公式 n a 解析 首先由 nn annS 12 易求的递推公式 12 32 32 12 1 1 n n a a anan n n nn 5 1 12 52 1 2 2 1 a a n n a a n n 将上面 n 1 个等式相乘得 12 12 1 12 12 3 57 32 12 12 13 72 52 32 1 nn a nnnnn nnn a a n n 点评 一般地 对于型如 1 n a f n n a类的通项公式 当 2 1 nfff 的值可以求得时 宜采用此方法 五 五 Sn法法利用 1 nnn SSa n 2 例例 9 已知下列两数列 n a的前 n 项和 sn的公式 求 n a的通项公式 1 1 3 nnSn 2 1 2 nsn 解 1 111 11 Sa n a 1 nn SS 1 1 1 1 33 nnnn 323 2 nn 此时 11 2Sa n a 323 2 nn为所求数列的通项公式 2 0 11 sa 当2 n时 12 1 1 1 22 1 nnnssa nnn 由于 1 a不适合于此等式 2 12 1 0 nn n an 点评 要先分 n 1 和2 n两种情况分别进行运算 然后验证能否统一 六 待定系数法 六 待定系数法 用心 爱心 专心3 例例 10 设数列 n c的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和 若 c1 2 c2 4 c3 7 c4 12 求通项公式 cn 解 设 1 1 n n bqdnac 1 3 2 2 1 1 1 2 123 72 4 2 n n nc a b d q bqda bqda bqda ba 例例 11 已知数列 n c中 b b c 1 1 b b cbc nn 1 1 其中 b 是与 n 无关的常数 且1 b 求出用 n 和 b 表示的 an的关系式 解析 递推公式一定可表示为 1 nn cbc的形式 由待定系数法知 b b b 1 1 1 1 1 2 1 22 b b cb b b c b b b nn 故数列 2 1b b cn是首项为 11 2 2 2 1 b b b b c 公比为b的等比数列 故 1 111 2 1 2 1 1 2 2 2 b bb c b b b b b b b c n n n n n 点评 用待定系数法解题时 常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式 一般地 若数列 n a为等差数 列 则cbnan cnbnsn 2 b 为常数 若数列 n a为等比数列 则 1 n n Aqa 1 0 qAqAAqs n n 七 辅助数列法 构造法 七 辅助数列法 构造法 例例 12 已知数 n a的递推关系为12 1 nn aa 且1 1 a求通项 n a 解 12 1 nn aa 1 21 1 nn aa令1 nn ab则辅助数列 n b是公比为 2 的等比数列 1 1 n n qbb即 nn n qaa2 1 1 1 1 12 n n a 例例 13 在数列 n a中 1 1 a 2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 求 n a 解析解析 在 nnn aaa 3 1 3 2 12 两边减去 1 n a 得 3 1 112nnnn aaaa nn aa 1 是以1 12 aa为首项 以 3 1 为公比的等比数列 1 1 3 1 n nn aa 由累加法得 n a 112211 aaaaaaa nnnn 2 3 1 n 3 3 1 n 11 3 1 3 1 1 3 1 1 1 n 1 3 1 1 4 3 1 n 1 3 1 4 3 4 7 n 例例 14 已知数列 n a 中1 1 a且 1 1 n n n a a a Nn 求数列的通