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立体几何 第九章立体几何主讲 邓秋阳 立体几何 立体几何 立体几何 立体几何 立体几何 有的同学会问道 老师 我们现在学习立体几何由有什么用处 完全是为了应付考试的吧 了解它对我们有什么帮助 在生活中我们有运用到它了吗 为什么学习立体几何 立体几何 学习立体几何会让你的立体感增强 以前看不出来的三维图形 现在都能看出来 当你的立体感增强后 在思考问题时 能做到从多个角度立体地看问题 你会发现实际中的应用实在是太多了 在我们生活中是随处可见的 房屋设计图纸 航天轨道 立体几何 几何体的概念 一切物体都占据着空间的一部分 如果我们只考虑物体的形状和大小 而不考虑其它因素 则这个空间部分叫做一个几何体 立体几何 构成空间几何体的基本元素 立体几何 构成空间几何体的基本元素 以长方体为例 长方体由六个矩形 包括内部 围成 9 1平面的基本性质 9 1平面的基本性质 生活中有没有 平面 呢 平面没有大小 厚薄和宽窄 平面在空间是无限延伸的 9 1平面的基本性质 平面的概念 9 1平面的基本性质 平面的概念和性质 平面的定义 几何里的平面的特征 9 1平面的基本性质 平面的画法 1 水平放置的平面 2 垂直放置的平面 通常把表示平面的平行四边形的锐角画成45 且横边长等于其邻边长的2倍 画表示非水平非竖直放置的平面时 只要将锐角画成不等于45 即可 9 1平面的基本性质 平面的画法 3 在画图时 如果图形的一部分被另一部分遮住 可以把遮住部分画成虚线 也可以不画 9 1平面的基本性质 例题 判断下列说法是否正确 1 两个平面比一个平面厚 2 圆和平面多边形都可以表示平面 3 用平行四边形表示平面时 平行四边形的四边是这一平面的边界 4 任何一个平面图形都是一个平面 9 1平面的基本性质 平面的表示方法 平面可以用希腊字母表示 如 等 也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示 如平面ABCD 平面AC或平面BD 9 1平面的基本性质 例题 表示出长方体ABCD A1B1C1D1的6个面 9 1平面的基本性质 点 线 面之间的关系的集合语言 1 空间中最小的元素是 2 我们可以把空间看作的集合 从运动的观点来看 点动成线 线动成面 面动成体 3 直线与平面都可以看成是点的集合 可以用集合语言来描述点 直线和平面之间的关系以及图形的性质 9 1平面的基本性质 点 线 面之间的关系的集合语言 9 1平面的基本性质 点 线 面之间的关系的集合语言 9 1平面的基本性质 平面的基本性质1 观察下图 9 1平面的基本性质 平面的基本性质1 文字表述 如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 图形表述 符号表述 9 1平面的基本性质 平面的基本性质1的作用 2 基本性质1可以用来检验某一个面是否为平面 检验的方法为 把一条直线在面内旋转 固定两个点在面内后 如果其他点也在面内 则该面为平面 PS 将一把直尺置于桌面上 通过是否漏光就能检查桌面是否平整 1 作为判断和证明直线是否在平面内的依据 即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了 9 1平面的基本性质 例题 如图中 ABC 若AB BC在平面 内 判断AC是否在平面 内 解 AB在平面 内 A点一定在平面 内 又BC在平面 内 C点一定在平面 内 点A 点C都在平面 内 直线AC在平面 内 9 1平面的基本性质 平面的基本性质2 观察下图 你能发现到什么 9 1平面的基本性质 平面的基本性质2 文字表述 如果两个平面有一个公共点 那么它们一定还有其他公共点 并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线 即这两个平面相交 符号表述 9 1平面的基本性质 平面的基本性质2的理解 2 从集合的角度看 对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相交的位置关系 交集是一条直线 1 反映了平面与平面的位置关系 只要 两面共一点 就有 两面共一线 且过这一点 线唯一 9 1平面的基本性质 平面的基本性质2的作用 2 可以判定点在直线上 点是某两个平面的公共点 线是这两个平面的公共交线 则这点在线上 因此它还是证明点共线或线共点 并且作为画截面的依据 1 判定两个平面是否相交 9 1平面的基本性质 例题 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3 观察下图 你能发现到什么 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3 文字表述 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 图形表述 符号表述 ABC三点不共线推断出有且只有一个平面 使得A B C 即A B C不共线 A B C确定一平面 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3 1 不在一条直线上 和 三点 是基本性质3的重点字眼 如果没有前者 那么只能说 有一个平面 但不唯一 如果将 三点 改成 四点 那么过四点不一定确定一个平面 由此可见 不在一条直线上的三点 是确定一个平面的恰到好处的条件 2 深刻理解 有且只有 的含义 这里的 有 是说平面存在 只有 是说平面唯一 有且只有 强调平面存在并且唯一这两方面 这就表明这个图形是确定的 所以也可以说成 确定一个 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3推论1 1 直线与这条直线外的一点有且只有一个平面 直线与点A共属于平面 且平面 唯一 1 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3推论2 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 直线a b共面于平面 且平面 唯一 2 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3