【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第二章 函数2．6对数与对数函数教学案 理 新人教A版

1 2 62 6 对数与对数函数对数与对数函数 考考纲纲要要求求 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数 了解对数在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念 理解对数函数的单调性 掌握对数函数图象通过的特殊点 3 知道对数函数是一类重要的函数模型 4 了解指数函数y ax与对数函数y logax a 0 且a 1 互为反函数 1 对数的概念与性质 对数的 定义 如果 那么数b叫做以a为底N的对数 记作 其中 叫做对数的底数 叫做真数 对数的 性质 1 没有对数 2 loga1 a 0 且a 1 3 logaa a 0 且a 1 4 N a 0 且a 1 N 0 loga a 2 几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数底数为a a 0 且a 1 常用对数底数为 自然对数底数为 3 对数的运算 1 对数的运算性质 如果a 0 且a 1 M 0 N 0 那么 loga M N loga M N logaMn n R R 2 换底公式 logab 4 对数函数的图象和性质 1 对数函数的定义 一般地 我们把函数y 叫做对数函数 其中x是自变量 函数的定义域 是 0 2 对数函数y logax a 0 且a 1 的图象和性质 a 10 a 1 图象 定义域 值域 过定点 即x 1 时 y 单调性 在 0 上是 单调性 在 0 上是 性 质 当 0 x 1 时 y 当 x 1 时 y 当 0 x 1 时 y 当 x 1 时 y 5 指数函数与对数函数的关系 2 函数y ax a 0 且a 1 与函数 互为反函数 1 若a 0 a 1 x y 0 n N N 则下列各式 logax n nlogax logax n logaxn logax loga 1 x logax n logax 1 n loga logax n n x loga loga x y x y x y x y 其中正确的有 A 2 个 B 3 个C 4 个 D 5 个 2 函数y 的定义域是 2 x lg x A x 0 x 2 B x 0 x 1 或 1 x 2 C x 0 x 2 D x 0 x 1 或 1 x 2 3 已知 0 loga2 logb2 则a b的关系是 A 0 a b 1B 0 b a 1 C b a 1D a b 1 4 2012 安徽高考 log29 log34 A B C 2 D 4 1 4 1 2 5 函数y loga x 1 2 a 0 且a 1 的图象恒过一定点是 一 对数式的化简与求值 例 1 1 若xlog32 1 则 4x 4 x 例 1 2 2012 北京高考 已知函数f x lg x 若f ab 1 则f a2 f b2 方法提炼方法提炼 对数式化简求值的基本思路 1 利用换底公式及Nn logaN尽量地转化为同底的和 差 积 商的运算 log m a n m 2 利用对数的运算法则 将对数的和 差 倍数运算 转化为对数真数的积 商 幂 再运算 3 利用约分 合并同类项 尽量地求出具体值 请做演练巩固提升 1 二 对数函数的图象与性质 例 2 1 已知函数y f x x R R 满足f x 1 f x 1 且x 1 1 时 f x x2 则函数y f x 与y log5x的图象的交点个数为 例 2 2 已知f x loga ax 1 a 0 且a 1 1 求f x 的定义域 2 讨论函数f x 的单调性 方法提炼方法提炼 1 利用复合函数 只限由两个函数复合而成的 判断函数单调性的方法 1 找出已知函数是由哪两个函数复合而成的 2 当外函数为对数函数时 找出内函数的定义域 3 3 分别求出两函数的单调区间 4 按照 同增异减 确定函数的单调区间 提醒 提醒 研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行 2 图中各函数的底数a b c d与 1 的大小关系可按下列规律进行记忆 图中直线y 1 与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数 0 c d 1 a b 在x轴上方由左到右底数逐渐增大 在x轴下方由左到右底数逐渐 减小 请做演练巩固提升 2 三 对数函数性质的综合应用 例 3 1 2012 上海高考改编 已知f x lg x 1 1 若 0 f 1 2x f x 1 求x的取值范围 2 若g x 是以 2 为周期的偶函数 且当 0 x 1 时 有g x f x 求函数y g x x 1 2 的解析式 例 3 2 已知函数f x x log2 1 x 1 x 1 求f f的值 1 2 014 1 2 014 2 当x a a 其中a 0 1 a是常数时 函数f x 是否存在最小值 若存在 求出f x 的最小值 若不存在 请说明理由 方法提炼方法提炼 1 求f a f a 的值 常常联想到函数的奇偶性 因此 解此类问题一般先判断 奇偶性 再求值 2 求形如f 2 014 f 2 013 的值往往与函数的周期有关 求此类函数值一般先研 究函数的周期性 3 已知函数的最值或求函数的最值 往往探究函数的单调性 请做演练巩固提升 5 幂值 对数值大小比较问题不能准确作出图象而致误 典例 已知a b c 则 2 log 3 4 5 4 log 3 6 5 3 log 0 3 1 5 A a b c B b a c C a c b D c a b 解析 解析 c log2 3 4 log2 2 1 log4 3 6 log4 3 log 0 3 1 5 3 log 0 3 5 310 log 3 5 4 1 log3 log3 3 1 10 3 4 又 log2 3 4 log2 log3 10 3 10 3 log2 3 4 log3 log4 3 6 10 3 又 y 5x是增函数 a c b 答案 答案 C 答题指导 答题指导 通过高考阅卷的数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示及备考建议 1 本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较问题的命题思路 而是将幂值与对数值 大小比较问题揉合在一起考查 易错误区有 1 不能准确地作出图象 利用图象进行大小比较 2 找不到比较大小的中介值而影响大小的比较 2 通过对该题的解答过程来看 我们在备考中要注意 1 加强对指数 对数知识交汇处试题的训练 2 重视指数函数 对数函数图象 性质的学习 提高图象 性质的应用能力 3 强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法 即引入中间量分组比 较法的训练 1 2012 重庆高考 已知a log23 log2 b log29 log2 c log32 则 33 a b c的大小关系是 A a b c B a b c C a b c D a b c 2 函数f x 的图象大致是 2 log 2 x 3 已知函数f x alog2x blog3x 2 且f 4 则f 2 014 的值为 1 2 014 4 已知 lg x lg y 2lg 2x 3y 则的值为 3 2 log x y 5 已知函数f x loga x 1 loga 1 x a 0 且a 1 1 求f x 的定义域 2 判断f x 的奇偶性 并予以证明 3 当a 1 时 求使f x 0 的x的取值范围 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 ab N a 0 且a 1 b logaN a N 1 负数和零 2 0 3 1 4 N 2 logaN 10 lg N e ln N 3 1 logaM logaN logaM logaN nlogaM 2 a 0 且a 1 c 0 且c 1 b 0 logcb logca 4 1 logax a 0 且a 1 2 0 R R 1 0 0 增函数 减函数 0 0 0 0 5 y logax a 0 且a 1 基础自测基础自测 1 B 解析 解析 由对数运算性质可知 正确 2 D 解析 解析 由Error 得 0 x 1 或 1 x 2 3 D 解析 解析 由 0 loga2 logb2 知 a b均大于 1 又 log2a log2b a b a b 1 4 D 解析 解析 原式 log232 log322 4 log23 log32 4 4 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 5 2 2 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 解析 解析 由xlog32 1 得x log23 82 9 4x 4 x 9 2 log 3 4 2 log 3 4 1 9 82 9 例 1 2 2 解析 解析 由已知可得 lg ab 1 f a2 f b2 lg a2 lg b2 lg a2b2 2lg ab 2 1 2 例 2 1 4 解析 解析 由f x 1 f x 1 得f x f x 2 则函数f x 是以 2 为周期的函数 作出函数y f x 与y log5x的图象 如图 可知函数y f x 与 y log5x的图象的交点个数为 4 例 2 2 解 1 由ax 1 0 得ax 1 当a 1 时 x 0 当 0 a 1 时 x 0 当a 1 时 f x 的定义域为 0 当 0 a 1 时 f x 的定义域为 0 2 当a 1 时 设 0 x1 x2 则 1 故 0 1 1 1 x a 2 x a 1 x a 2 x a loga 1 loga 1 1 x a 2 x a f x1 f x2 故当a 1 时 f x 在 0 上是增函数 类似地 当 0 a 1 时 f x 在 0 上为增函数 例 3 1 解 1 由Error 得 1 x 1 由 0 lg 2 2x lg x 1 lg 1 得 1 10 2 2x x 1 2 2x x 1 6 因为x 1 0 所以x 1 2 2x 10 x 10 x 2 3 1 3 由Error 得 x 2 3 1 3 2 当x 1 2 时 2 x 0 1 因此y g x g x 2 g 2 x f 2 x lg 3 x 例 3 2 解 1 f x 的定义域是 1 1 f x x log2 1 x 1 x f x x log2 1 x 1 x x log2 1 1 x 1 x f x x log2 1 x 1 x 即f x f x 0 所以f f 0 1 2 014 1 2 014 2 令t 1 在 1 1 内单调递减 y log2t在t 0 上单调递增 1 x 1 x 2 1 x 所以f x x log2在 1 1 内单调递减 1 x 1 x 所以当x a a 其中a 0 1 函数f x 存在最小值f a a log2 1 a 1 a 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 解析 解析 a log23 log2 log23 b log29 log2 log23 因此a b 3333 而 log23 log22 1 log32 log33 1 所以a b c 故选 B 3 2 C 解析 解析 f x 2 log 2 x Error 选 C 3 0 解析 解析 f f 2 014 alog2 blog3 2 alog22 1 2 014 1 2 014 1 2 014 014 blog32 014 2 4 f 2 014 0 4 2 解析 解析 依题意 可得 lg xy lg 2x 3y 2 即xy 4x2 12xy 9y2 整理得 4 2 13 9 0 x y x y 解得 1 或 x y x y 9 4 x 0 y 0 2x 3y 0 2 x y 9 4 3 2 l