【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第五章 第五节 正弦定理和余弦定理提能精练 理（全国版）

用心 爱心 专心 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 在 ABC 中 三个角 A B C 的对边边长分别为 a 3 b 4 c 6 则 bccosA cacosB abcosC 的值为 A B 25 2 45 2 C D 26 61 2 解析 bccosA cacosB abcosC b2 c2 a2 2 c2 a2 b2 2 a2 b2 c2 2 故选 C a2 b2 c2 2 32 42 62 2 61 2 答案 C 2 2008 年福建高考 在 ABC 中 角 A B C 的对边为 a b c 若 a2 c2 b2 tanB ac 则角 B 的值为 3 A B 6 3 C 或 D 或 6 5 6 3 2 3 解析 由 a2 c2 b2 tanB ac 得 3 tanB a2 c2 b2 2ac 3 2 即 cosB tanB 3 2 sinB B 或 3 2 3 2 3 答案 D 3 2010 年威海模拟 已知圆的半径为 4 a b c 为该圆的内接三角形的三边 若 abc 16 则三角形的面积为 2 A 2 B 8 22 C D 2 2 2 解析 2R 8 a sinA b sinB c sinC sinC c 8 S ABC absinC abc 16 1 2 1 16 1 1622 答案 C 4 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 若 b2 c2 bc a2 且 a b3 则角 C 的值为 A 45 B 60 C 90 D 120 用心 爱心 专心 解析 由 b2 c2 bc a2得 b2 c2 a2 bc cosA A 60 b2 c2 a2 2bc 1 2 又 a b3 sinA sinB3 sinB sinA 3 3 3 3 3 2 1 2 B 30 C 180 A B 90 答案 C 5 在 ABC 中 已知 A 120 且 则 sinC 等于 AC AB 2 3 A B 3 57 38 3 7 14 C D 3 21 14 3 19 38 解析 由 可设 AC 2k AB 3k k 0 AC AB 2 3 由余弦定理可得 BC2 4k2 9k2 2 2k 3k 19k2 1 2 BC k 19 根据正弦定理可得 AB sinC BC sinA sinC AB sinA BC 3 57 38 答案 A 6 2008 年山东高考 已知 a b c 为 ABC 的三个内角 A B C 的对边 向量 m 1 n cosA sinA 若 m n 且 acosB bcosA csinC 则角 A B 的大小分 3 别为 A B 6 3 2 3 6 C D 3 6 3 3 解析 因为 m n 所以 m n 0 所以cosA sinA 0 即 sinA cosA 0 33 所以 2sin A 0 所以 A A 为三角形内角 3 3 又 acosB bcosA csinC 所以 sinAcosB sinBcosA sin2C 所以 sin A B sin2C 所以 sinC sin2C 所以 sinC 1 所以 C 2 因为 A B C 所以 B 6 答案 C 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 2010 年上海春招 在 ABC 中 若 AB 3 ABC 75 ACB 60 则 BC 等于 用心 爱心 专心 解析 根据三角形内角和定理知 BAC 180 75 60 45 根据正弦定理得 BC sin BAC AB sin ACB 即 BC BC sin45 3 sin60 3sin45 sin60 3 2 2 3 26 答案 6 8 2008 年浙江高考 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 b c 3 cosA acosC 则 cosA 解析 由正弦定理 知 由 b c cosA acosC 可得 3 sinB sinC cosA sinAcosC 3 sinBcosA sinAcosC sinCcosA 3 sin A C sinB cosA 3 3 答案 3 3 9 在 ABC 中 给出以下结论 若 a2 b2 c2 则 ABC 为钝角三角形 若 a2 b2 c2 bc 则角 A 为 60 若 a2 b2 c2 则 ABC 为锐角三角形 若 A B C 1 2 3 则 a b c 1 2 3 其中正确结论的序号是 解析 由 a2 b2 c2 得 b2 c2 a2 0 cosA c2 得 cosC 0 a2 b2 c2 2ab C 为锐角 但不能保证 A B 都是锐角 故 错误 由 A B C 1 2 3 得 A 30 B 60 C 90 a b c sinA sinB sinC sin30 sin60 sin90 1 1 2 1 2 3 23 故 错误 答案 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 用心 爱心 专心 10 在 ABC 中 若 试判断 ABC 的形状 bcosC ccosB 1 cos2C 1 cos2B 解析 由已知 1 cos2C 1 cos2B 2cos2C 2cos2B cos2C cos2B bcosC ccosB 所以 cosC cosB b c 方法一 利用正弦定理边化角 由正弦定理 得 所以 b c sinB sinC cosC cosB sinB sinC 即 sinCcosC sinBcosB 即 sin2C sin2B 因为 B C 均为 ABC 的内角 所以 2C 2B 或 2C 2B 180 所以 B C 或 B C 90 所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二 由余弦定理 得 a2 b2 c2 2ab a2 c2 b2 2ac b c 即 a2 b2 c2 c2 b2 a2 c2 b2 所以 a2c2 c4 a2b2 b4 即 a2b2 a2c2 c4 b4 0 所以 a2 b2 c2 c2 b2 c2 b2 0 即 b2 c2 a2 b2 c2 0 所以 b2 c2或 a2 b2 c2 0 即 b c 或 a2 b2 c2 所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形 11 2008 年海南 宁夏高考 如图 ACD 是等边三角形 ABC 是等腰直角三角形 ACB 90 BD 交 AC 于 E AB 2 1 求 cos CBE 的值 2 求 AE 解析 1 因为 BCD 90 60 150 CB AC CD 所以 CBE 15 所以 cos CBE cos 45 30 6 2 4 2 在 ABE 中 AB 2 由正弦定理 AE sin 45 15 2 sin 90 15 故 AE 2sin30 cos15 2 1 2 6 2 462 12 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 已知 a b c 成等比数列 且 a2 c2 ac bc 1 求 A 的值 2 求的值 bsinB c 解析 1 a b c 成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 用心 爱心 专心 cosA A 60 b2