2019中考数学压轴题.doc

.2019中考数学压轴题64（2017山东省潍坊市，第25题，13分）如图1，抛物线经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）t=时，PEF的面积最大，最大值的立方根为；（3）t的值为1或【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PHx轴，交直线l于点M，作FNPH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有PAE=90或APE=90两种情况，当PAE=90时，作PGy轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当APE=90时，作PKx轴，AQPK，则可证得PKEAQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值【解析】（1）由题意可得：，解得：，抛物线解析式为；（2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得：，解得：，直线l的解析式为，联立直线l和抛物线解析式可得：，解得：或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，作FNPH，P点横坐标为t，P（t，），M（t，），PM=（）=，SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）=（）（3+）=，当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为 =；（3）由图可知PEA90，只能有PAE=90或APE=90：当PAE=90时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45，PAG=APG=45，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去）；当APE=90时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+PAQ=90，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，即，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去）综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数示的应用，在（2）中用t表示出PEF的面积是解题的关键，在（3）中分两种情况，分别利用等腰直角三角形和相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；存在型；分类讨论；压轴题65（2017山东省烟台市，第25题，13分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）l=，l的最大值为；（3）M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2）【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知PGH=45，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得MFNAOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标【解析】（1）矩形OBDC的边CD=1，OB=1，AB=4，OA=3，A（3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线解析式为；（2）在中，令y=2可得2=，解得x=0或x=2，E（2，2），直线OE解析式为y=x，由题意可得P（m，），PGy轴，G（m，m），P在直线OE的上方，PG=（m）=，直线OE解析式为y=x，PGH=COE=45，l=PG= =，当m=时，l有最大值，最大值为；（3）当AC为平行四边形的边时，则有MNAC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则ALF=ACO=FNM，在MFN和AOC中，MFN=AOC，FNM=ACO，MN=AC，MFNAOC（AAS），MF=AO=3，点M到对称轴的距离为3，又，抛物线对称轴为x=1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=4，当x=2时，y=，当x=4时，y=，M点坐标为（2，）或（4，）；当AC为对角线时，设AC的中点为K，A（3，0），C（0，2），K（，1），点N在对称轴上，点N的横坐标为1，设M点横坐标为x，x+（1）=2（）=3，解得x=2，此时y=2，M（2，2）；综上可知点M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2）点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG与l的关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；存在型；分类讨论；动点型；压轴题66（2017山东省聊城市，第25题，12分）如图，已知抛物线与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得PAB=75，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？【答案】（1），顶点坐标为（2，8）；（2）P点坐标为（，）；（3）S=，当t=4时，S有最大值24【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；（2）过P作PCy轴于点C，由条件可求得PAC=60，可设AC=m，在RtPAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PEx轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出PAB的面积，利用S四边形PAMB=SPAB+SAMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值（3）当两个支点移动t秒时，则P（t，t2+2t+6），M（0，6t），如图2，作PEx轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6t，F（t，6t），FP=t2+2t+6（6t）=t2+3t，点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，SPAB=FPOE+FPBE=FP（OE+BE）=FPOB=（t2+3t）6=t2+9t，且SAMB=AMOB=t6=3t，S=S四边形PAMB=SPAB+SAMB=，当t=4时，S有最大值，最大值为24点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造RtPAC是解题的关键，在（3）中用t表示出P、M的坐标，表示出PF的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；压轴题67（2016广西贵港市）如图，已知一次函数y=x+b的图象与反比例函数（x0）的图象交于点A（1，2）和点B，点C在y轴上（1）当ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当时，请直接写出x的取值范围【答案】（1）C（0，）；（2）x4或1x0【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A，连接AB交y轴于点C，此时点C即是所求由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A与点A关于y轴对称，求出点A的坐标，设出直线AB的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，令直线AB解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集【解析】（1）作点A关于y轴的对称点A，连接AB交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示反比例函数（x0）的图象过点A（1，2），k=12=2，反比例函数解析式为（x0）；一次函数y=x+b的图象过点A（1，2），2=+b，解得：b=，一次函数解析式为联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，点A的坐标为（1，2）、点B的坐标为（4，）点A与点A关于y轴对称，点A的坐标为（1，2），设直线AB的解析式为y=mx+n，则有，解得：，直线AB的解析式为令中x=0，则y=，点C的坐标为（0，）（2）观察函数图象，发现：当x4或1x0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，当时，x的取值范围为x4或1x0点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、轴对称中的最短线路问题、利用待定系数法求函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）求出直线AB的解析式；（2）找出交点坐标本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题68（2016广西贺州市）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线经过O、A、E三点（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD的周长最小时，求点P的坐标【答案】（1）；（2）5；（3）【分析】（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在RtBDE中，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得AD的长；（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标【解析】（1）四边形ABCD是矩形，B（10，8），A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，设抛物线解析式为，把E（6，8）代入可得：，解得：，即，抛物线的解析式为；（2）由题意可知：AD=DE，BE=106=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=ABAD=8x，在RtBDE中，由勾股定理可知，即，解得x=5，AD=5；（3），其对称轴为x=5，A、O两点关于对称轴对称，PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时PAD的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，直线OD解析式为，令x=5，可得y=，P点坐标为（5，）点睛：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；综合题69（2016广西钦州市）如图1，在平面直径坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0）B（1，0），与y轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC为半径的O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出PDE的面积关于x的函数关系式，并写出PDE面积的最大值【答案】（1）；（2）；（3）SPDE=（x0），且PDE面积的最大值为【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C的坐标，根据点A、B的坐标即可求出其中点M的坐标，由此即可得出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90即可得出COMCDE，根据相似三角形的性质即可得出，代入数据即可求出DC的长度；（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标，由此即可得出点P横坐标的范围，再过点P作PPy轴于点P，过点D作DDy轴于点D，通过分割图形求面积法找出SPDE关于x的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出PDE面积的最大值【解析】（1）将点A（3，0）、B（1，0）代入中，得：，解得：，抛物线的函数解析式为（2）令中x=0，则y=2，C（0，2），OC=2，CE=4A（3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，M（1，0），CM=CE为O的直径，CDE=90，COMCDE，DC=（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为=，令中y=0，即，解得：=，=点P在第三象限，x0过点P作PPy轴于点P，过点D作DDy轴于点D，如图所示在RtCDE中，CD=，CE=4，DE=，sinDCE=，在RtCDD中，CD=，CDD=90，DD=CDsinDCE=，CD=，OD=CDOC=，D（，），D（0，），P（x，），P（0，），SPDE=SDDE+S梯形DDPPSEPP=DDED+（DD+PP）DPPPEP=（x0），SPDE=，0，当x=时，SPDE取最大值，最大值为故：PDE的面积关于x的函数关系式为SPDE=（x0），且PDE面积的最大值为点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系；（3）利用分割图形求面积法找出SPDE关于x的函数关系式本题属于中档题，难度不大，但数据稍显繁琐，本题巧妙的利用了分割图形法求不规则的图形面积，给解题带来了极大的方便考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；二次函数图象与几何变换；压轴题70（2016云南省昆明市）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）6；（3）Q（，0）【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的Q点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角OCQ和直角CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍【解析】（1）由对称性得：A（1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x2），把C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（x+1）（x2），抛物线的解析式为：；（2）如图1，设点P（m，），过P作PDx轴，垂足为D，S=S梯形+SPDB=，S=，20，S有最大值，则S大=6；（3）如图2，存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形，理由是：设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直线BC的解析式为：y=2x+4，设M（a，2a+4），过A作AEBC，垂足为E，则AE的解析式为：，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（x，0）（x0），AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：，由得：=4（舍），=，当a=时，x=，Q（，0）点睛：本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；存在型；压轴题71（2016云南省曲靖市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tanOAC=（1）求抛物线的解析式；（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HNx轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）M（4，0）或（，）或（，）或（2，0）【分析】（1）由点C的坐标以及tanOAC=可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（4x0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；（3）过点M作MKy轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出MCKMEG（AAS），进而得出MG=CK设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标【解析】（1）C（0，3），OC=3，tanOAC=，OA=4，A（4，0）把A（4，0）、C（0，3）代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，得：，解得：，直线AC的解析式为设N（x，0）（4x0），则H（x，），P（x，），PH= =，0，PH有最大值，当x=2时，PH取最大值，最大值为（3）过点M作MKy轴于点K，交对称轴于点G，则MGE=MKC=90，MEG+EMG=90，四边形CMEF是正方形，EM=MC，MEC=90，EMG+CMK=90，MEG=CMK在MCK和MEG中，MEG=CMK，MGE=CKM，EM=MC，MCKMEG（AAS），MG=CK由抛物线的对称轴为x=1，设M（x，），则G（1，），K（0，），MG=|x+1|，CK=|=| |=|，|x+1|=|，=（x+1），解得：x1=4，x2=，x3=，x4=2，代入抛物线解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，点M的坐标是（4，0），（，），（，）或（2，0）点睛：本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据正方形的性质得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程求出点的横坐标是关键考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；存在型；压轴题72（2016内蒙古呼和浩特市）已知二次函数（a0）的最大值为4，且抛物线过点（，），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；（2）求|PCPD|的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数的图象只有一个公共点，求t的取值【答案】（1），D（1，4）；（2），P（3，0）；（3）t的取值是t3或t=或t3【分析】（1）先利用对称轴公式x=计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PCPD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；线段PQ与当函数（x0）时有一个公共点时，求t的值；当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，线段PQ与当函数（x0）时也有一个公共点，则当t3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值【解析】（1）的对称轴为：x=1，抛物线过（1，4）和（，）两点，代入解析式得：，解得：a=1，c=3，二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为（1，4）；（2）C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PCPD|CD|，P、C、D三点共线时|PCPD|取得最大值，此时最大值为，|CD|=，由于CD所在的直线解析式为y=x+3，将P（t，0）代入得t=3，此时对应的点P为（3，0）；将y=2x+2t代入（x0）得：，令=164（1）（32t）=0，t=0，所以当t=时，线段PQ与也有一个公共点；当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，线段PQ只与（x0）有一个公共点，此时t=3，所以当t3时，线段PQ与也有一个公共点，综上所述，t的取值是t3或t=或t3点睛：本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；分类讨论；压轴题73（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图所示，抛物线经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作ACx轴，交直线y=2x2于点C，且直线y=2x2与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y=2x2的对称点A的坐标，并判断点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值【答案】（1），C（6，10），D（1，0）；（2）A（2，4），A在抛物线上；（3）l=，（2x6），l的最大值为【分析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标（2）过点A作AFx轴于点F，求出AF、FO即可解决问题（3）设点P（x，），先求出直线AC的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题【解析】（1）把点O（0，0），A（6，0）代入，得：，解得：，抛物线解析式为当x=6时，y=262=10，当y=0时，2x2=0，解得x=1，点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）；（2）过点A作AFx轴于点F，点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在RtACD中，CD=，点A与点A关于直线y=2x2对称，AED=90，SADC=AE=510，解得AE=，AA=2AE=，DE=，AED=AFA=90，DAE=AAF，ADEAAF，解得AF=4，AF=8，OF=86=2，点A坐标为（2，4），当x=2时，y=，A在抛物线上（3）点P在抛物线上，则点P（x，），设直线AC的解析式为y=kx+b，直线A经过A（2，4），C（6，10）两点，解得：，直线AC的解析式为，点Q在直线AC上，PQAC，点Q的坐标为（x，），PQAC，又点Q在点P上方，l=（）（）=，l与x的函数关系式为l=，（2x6），l=，当x=时，l的最大值为点睛：本题考查二次函数的综合题、待定系数法，最值问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的性质，学会构建二次函数解决问题最值问题，属于中考压轴题考点：二次函数综合题；二次函数的最值；最值问题；动点型；压轴题74（2016四川省乐山市）在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（1，0），将ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的BCD（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；（3）现将ABO、BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO与BCD重叠部分面积的最大值【答案】（1）；（2）P（，）或P（，）；（3）【分析】（1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出BEFBAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；（3）先由平移得到A1B1的解析式为y=2x+2t，A1B1与x轴交点坐标为（，0）C1B2的解析式为，C1B2与y轴交点坐标为（0，），再分两种情况进行计算即可【解析】（1）A（0，2）、B（1，0），将ABO经过旋转、平移变化得到BCD，BD=OA=2，CD=OB=1，BDC=AOB=90，C（1，1）设经过A、B、C三点的抛物线解析式，则有，抛物线解析式为；（2）如图1所示，设直线PC与AB交于点E直线PC将ABC的面积分成1：3两部分，或，过E作EFOB于点F，则EFOA，BEFBAO，当时，EF=，BF=，E（，），直线PC解析式为，（舍去），P（，）；当时，同理可得，P（，）（3）设ABO平移的距离为t，A1B1O1与B2C1D1重叠部分的面积为S由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2t，A1B1与x轴交点坐标为（，0）C1B2的解析式为，C1B2与y轴交点坐标为（0，）如图2所示，当时，A1B1O1与B2C1D1重叠部分为四边形设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ由由，得，Q（，），=，S的最大值为如图3所示，当时，A1B1O1与B2C1D1重叠部分为直角三角形设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G，G（12t，45t），D1H=，D1G=45t，S=D1HD1G=，当时，S的最大值为综上所述，在此运动过程中ABO与BCD重叠部分面积的最大值为点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形相似的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是分类计算，也是本题的难点考点：二次函数综合题；几何变换综合题；动点型；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；压轴题75（2016江苏省盐城市）如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线过A、B两点，且与x轴交于另一点C（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为ACG内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接QR求证：PG=RQ；求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标【答案】（1）b=2，c=3；（2）M（，）；（3）证明见解析；PA+PC+PG的最小值为，此时点P的坐标（，）【分析】（1）把A（3，0），B（0，3）代入抛物线即可解决问题（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M（3）欲证明PG=QR，只要证明QARGAP即可当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QNOA于N，AMQC于M，PKOA于K，由sinACM=求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题【解析】（1）一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（3，0），B（0，3），抛物线过A、B两点，解得：，b=2，c=3（2），对于抛物线，令y=0，则，解得x=3或1，点C坐标（1，0），AD=DC=2，点D坐标（1，0），BE=2ED，点E坐标（，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到：，解得：，直线CE为，由，解得或，点M坐标（，）（3）AGQ，APR是等边三角形，AP=AR，AQ=AG，QAC=RAP=60，QAR=GAP，在QAR和GAP中，AQ=AG，QAR=GAP，AR=AP，QARGAP，QR=PG如图3中，PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QNOA于N，AMQC于M，PKOA于KGAO=60，AO=3，AG=QG=AQ=6，AGO=30，QGA=60，QGO=90，点Q坐标（6，），在RTQCN中，QN=，CN=7，QNC=90，QC=，sinACM=，AM=，APR是等边三角形，APM=60，PM=PR，cos30=，AP=，PM=RM=，MC=，PC=CMPM=，CK=，PK=，OK=CKCO=，点P坐标（，），PA+PC+PG的最小值为，此时点P的坐标（，）点睛：本题考查二次函数综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题.76（2016陕西省）问题提出（1）如图，已知ABC，请画出ABC关于直线AC对称的三角形问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是