高中数学《圆锥曲线-曲线上一点处的切线》学案1 苏教版选修1-1

用心 爱心 专心 1 高中数学高中数学 圆锥曲线圆锥曲线 曲线上一点处的切线曲线上一点处的切线 学案学案 1 1 苏教版选修苏教版选修 1 11 1 课课 题题曲线上一点处的切线课课 型型新授时时 间间 学习目标学习目标 1 理解曲线在一点处的切线的概念 2 理解并掌握曲线在一点处切线的斜率的概念 求法及切线方程的求 法 3 掌握 局部以直代曲 和 用割线的逼近切线 的思想方法 学习重点学习重点 理解曲线在一点处的切线的定义 以及曲线在一点处切线的斜率的定义 掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法 一 自主学习一 自主学习 一 点 一 点附近的曲线附近的曲线P 1 平均变化率 函数在区间上的平均变化率为 f x 12 xx 即曲线上两点的连线 割线 的斜率 显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势 2 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 点附近的曲线的研P 究 从直线上某点的变化趋势的研究谈起 结合 天圆地方 的故事带来 宏 观上曲 微观上直 曲绝对 直相对 的初步感受 后提出 放大图形 的朴素方法 1 观察 点附近的曲线 随着图形放大 你看到了怎样的现象 P 2 这种现象下 这么一条特殊位置的直线从其趋势看几乎成了 这种思维方式就叫做 逼近思想逼近思想 从上面的学习过程来看 1 曲线在点附近看上去几乎成了直线P 2 继续放大 曲线在点附近将逼近一条确定的直线 这条直线是过点Pl 的所有直线中最逼近曲线的一条直线P 3 点附近可以用这条直线 代替曲线Pl 这样 我们就可以用直线 的斜率来刻画曲线经过点时的变化趋势lP 练习 见课本 文 P62 理 P10 第 3 题 3 怎样找到经过曲线上一点怎样找到经过曲线上一点 P 处最逼近曲线的直线处最逼近曲线的直线 呢 如图呢 如图l 1 试判断哪条直线在点附近更加逼近曲线 P 2 在点附近能作出比更加逼近曲线的直线 么 Pmn l 学习反思 学习反思 放大 P 放大 P P 放大 P 放大 P P 用心 爱心 专心 2 3 在点附近能作出比 Pmn 更加逼近曲线的直线么 l l 说明 随着点沿曲线向点运动 QP 直线在点附近越来越逼近曲PQP 线 二 曲线上点 二 曲线上点 P 处的切线及其斜率处的切线及其斜率 1 割线逼近切线 为曲线上不同于点的一点 这时 直线称为曲线的割线割线 QPPQ 随着点沿曲线向点运动 割线在点附近越来越逼近曲线 当点QPPQP 无限逼近点时 直线最终成为点处最逼近曲线的直线 这条直QPPQPl 线 也称为曲线在点处的切线切线 lP 2 割线斜率逼近切线斜率 切线的概念提供了求切线斜率的方法 问题 问题 对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学 模型 在这里平均变化率表示为什么 又用怎样数学模型来刻画曲线上点P 处的变化趋势呢 为了更好地反映点沿曲线向点运动 我们选择了一个变量 QPx 不妨设 点的横坐标为 则点的横坐标为 P xf x Qxx Q 则割线的斜率为 PQ PQ k 当点沿着曲线向点无限靠近时 割线的斜率就会无限逼近点处QPPQP 切线斜率 即当无限趋近于 0 时 无限趋近点x f xxf x x 处切线斜率 即为取 0 时的值 P xf x x PQ k 练习 练习 见课本 文 P62 理 P10 第 1 2 题 在课本上作出答案 二 问题探究与合作交流二 问题探究与合作交流 学习反思 学习反思 学习反思 学习反思 yf x y O x P Q y x M yf x y O x P Q y x M 2 4 6 8 12 14 16 P D E m Q l 用心 爱心 专心 3 例题 已知 求曲线在处的切线斜率和切线方 2 f xx yf x 2x 程 变 1 已知 求曲线在处的切线斜率和切线方 2 f xx yf x 1x 程 变 2 已知 求曲线在处的切线斜率和切线方 1 f xx yf x 1x 程 变 3 已知 求曲线在处的切线斜率是多少 2 1f xx