微积分曹定华修订版课后题答案第三章习题详解.doc

第三章习题3-11 设s=gt，求解： 2 设f(x)= ，求(x0) (x00)解： 3（1）求曲线上点（2，4）处的切线方程和法线方程；（2）求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程；（3）求上点（2，）处的切线方程和法线方程；（4）求过点（2，0）且与相切的直线方程。解：略。4 下列各题中均假定f(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：(1) =A; (2) f(x0)=0, A；(3) =A解：(1) (2) (3) 5 求下列函数的导数：(1) y=；(2) y=；(3) y= 解：(1) (2) (3) 6 讨论函数y=在x=0点处的连续性和可导性 解： 函数在点处连续但不可导。7 试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f(x)是偶（奇）函数。 证：为偶函数 ，即 故8 求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：(1) y； (2) y=解：(1) 函数在处不可导。 (2) 函数在处不可导。9 设函数f(x)= 为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值? 解：为使在处连续，必须， ， (1) 为了使在处可导，必须 ，代入（1）式得 当，时在处连续且可导。10 证明： 双曲线xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2 证：设是双曲线上任一点，则，该双曲线在 处切线的斜率 该双曲线在处切线的方程为： 令得该切线在轴上的截距为， 令得该切线在轴上的截距为，于是，它与两坐标轴构成的三角形的面积。11 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)10tgt(m)，求：(1) 物体从t=1(s)到t=12(s)的平均速度；(2) 速度函数v(t)；(3) 物体何时到达最高点解：(1) (2) (3)当时，物体到达最高点。 由即得 即上抛时物体到达最高点。12 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内，转过角度，从而转角是t的函数；(t)如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度? 解：设从时刻到间转过的角度为，则 物体在时刻的角速度为。13已知f(x)在x=x点可导，证明： =()f(x0) 证：当，时， 习题3-21 求下列函数的导数：(1) s=3lnt+sin； (2) y=lnx;(3) y=(1-x)sinx(1-sinx);(4) y=； (5) y=tanx+e；(6) y=-3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x;(8) y=解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 求下列函数在给定点处的导数：(1) y=xsinx+cosx，求；(2) f(x)= +,求f(0)和f(2);(3) f(x)= 求f(1) 解：(1) (2) (3) 3 设p(x)=f1(x)f2(x)fn(x)0,且所有的函数都可导，证明 证： .4 求下列函数的导数：(1) y=; (2) y=arctanx2；(3) y= (4) y=(1+x2)ln(x+);(5) y=x2sin; (6) y=cos2ax3(a为常数)；(7) y=arccos; (8) y=(arcsin)2;(9) y=; (10) y=sinnxcosnx;(11) y=； (12) y=arcsin；(13) y=lncosarctan(shx); (14) y=arcsin（a0为常数）解：(1); (2); (3) ; (4) ; (5) (6) ; (7) (8); (9); (10) ; (11) ; (12) ; (13) (14) ;5 y=arccos，求 解： 6 试求曲线y=在点(0，1)及点(-1，0)处的切线方程和法线方程 解： 故曲线在(0,1)点的切线斜率 曲线在(0,1)点的切线方程为 即 法线方程为 即 又 此时，曲线具有垂直于x轴的切线 x=-1,其法线为 y=0. 7 设f(x)可导，求下列函数y的导数：(1) y=f(x2)；(2) y=f(sin2x)+f(cos2x) 解：(1) (2) 8 求下列隐函数的导数：(1) x3+y3-3axy=0; (2) x=yln(xy);(3) xey+yex=10； (4) ln(x2+y2)=2arctan;(5) xy=解：(1)方程两边对x求导，得： 解得 (2) 方程两边对x求导，得： 即 即 (3) 方程两边对x求导，得： 解得 (4) 方程两边对x求导，得： 即即 即 (5) 方程两边对x求导，得： 解得 9 用对数求导法求下列函数的导数：(1) y=； (2) y=;(3) y=解：(1)两边取得对数，得： 上式两边对x求导，得： 所以 (2) 两边取得对数，得： 上式两边对x求导，得： 即 所以 (3) 两边取得对数，得： 上式两边对x求导，得： 10 求下列参数方程所确定的函数的导数(1) （a,b为常数）；(2) 解：(1) (2) 11 已知求当t=时的值 解： 习题 3-31 设f(x)=ln(1+x),求f(n)(x) 解：， ， 设 则 由数学归纳法知 .2 设y=,a0，求y(n)，并由此求f(x)= 的n阶导数f(n)(x) 解： 设 则 由数学归纳法知 . 由上述结论有 而 3 求下列函数在指定点的高阶导数：(1) f(x)，求f(0)；(2) f(x)，求f(0)，f(3)(0)；(3) f(x)=(x+10)6,求f(5)(0),f(6)(0)解：(1) (2), , (3) 4 求下列方程所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数：(1) b2x2+a2y2=a2b2; (2) y=1+xey;(3) y=tan(x+y); (4) y2+2lny=x4解：(1)方程两边对x求导，得： (*) 由此得 ， (*)式两边再对x求导，得： ，将，并注意到 得 (2) 方程两边对x求导，得： (*) 解得 (*)式两边再对x求导，得： 得：； (3) 方程两边对x求导，得： ,可解得： ； (4) 方程两边对x求导，得： ,可解得 5 求下列由参数方程所确定函数的二阶导数：(1) a0为常数；(2) 其中f(t)存在且非 解：(1) 得到参数方程 故； (2) 得到参数方程 故6 已知f(x)存在，求：(1) y=f(x2)；(2) y=lnf(x),f(x)解：(1) (2) 7 试用数学归纳法证明莱布尼茨高阶导数公式： 若u=u(x)和vv(x)在点x处有n阶导数，则(uv)(n)，其中u(0)=u,v(0)=v, 证：当时，由知公式成立， 设当时公式成立，即 两边求导，得 即时公式也成立，由数学归纳法知，对于一切自然数公式都成立， 即 习题 3-41 在括号内填入适当的函数，使等式成立：(1) d( )costdt; (2) d( )sinxdx;(3) d( )dx; (4) d( )dx；(5) d( )dx; (6) d( )secxdx;(7) d( )lnxdx; (8) d( )dx解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2 根据下面所给的值，求函数y=x的y,dy及y-dy：(1) 当x=1,x=01时； (2) 当x=1,x=001时 解： (1)当时， (2)当时， 3 求下列函数的微分：(1) y=xex; (2) y=;(3) y=cos； (4) y=；(5) y=lntan； (6) y=8xx-6；(7) y=解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 4 求由下列方程确定的隐函数y=y(x)的微分dy：(1) y=1+xey； (2) ；(3) y=x+siny； (4) y2x=arccosy解：(1)方程两边微分，得： ，即 (2) 方程两边微分，得： (3) 方程两边微分，得： 即： (4) 方程两边微分，得： 即 5 利用微分求下列各数的近似值：(1) ；(2) ln0.99；(3) arctan1.02 解(1)设，则 令， 则 (2)设，则 令， 则 (3)设，则 令， 则 6 试利用结论“若f(x)可导，则当x很小时，有f(x)f(0)+f(0)x”，证明下列近似公式(1) 当x很小时，sinxx；(2) 当x很小时，ex1+x；(3) 设a0且b与an相比是很小的量，则a+证：(1)设，则 当很小时，由有 即 (2)设,则 当很小时，由有 即 (3) 与相比是很小的量，很小 设，则 当很小时，由有 即 上式中取，且很小，于是有： 所以 即 习题3-51 设总收入和总成本分别由以下两式给出：R(q)=5q-0003q2，C(q)=300+11q其中q为产量，0q1000，求(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量盈亏平衡 解：(1)边际成本函数 (2)利润函数 当时，最大 即获得最大利润时的产量为650. (3)当时，盈亏平衡. 由得 即 解得或（此时，舍去） 所以，当产量为时，盈亏平衡.2 设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出C(q)=001q3-06q2+13q(1) 设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少?(2) 当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高元时少卖出2件，问是否应该提高价格?如果是，价格应该提高多少? 解：(1)利润函数 令 得 当时，利润最大，将代入利润函数 可求最大利润 . (2)设价格提交元，则利润函数 令 得且当时，利用 若不提价，利润为 故提价利润大些，且应提价5元.3 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1) y=ax+b; (2) y=aebx； (3) y=xa其中a,bR,a0 解：(1) (2) (3) .4 设某种商品的需求弹性为08，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化? 解：设需求量为，价格为，由已知得，. 而.即 当价格提高时，即时， 当价格提高时，即时， 即当价格分别提高，时，需求量分别提高和.5 国民收入的年增长率为71%，若人口的增长率为12%，则人均收入年增长率为多少? 解：由已知国民收入的增长率，人口的增长率，而人均收入为，由例知 即人均收入年增长率为.下午13：0017：00度。全体员工都必须自觉遵守工作时间，实行不定时工作制的员工不必打卡。3.1.2.2打卡次数：一日两次，即早上上班打卡一次，下午下班打卡一次。3.1.2.3打卡时间：打卡时间为上班到岗时间和下班离岗时间； 3.1.2.4因公外出不能打卡：因公外出不能打卡应填写外勤登记表,注明外出日期、事由、外勤起止时间。因公外出需事先申请，如因特殊情况不能事先申请，应在事毕到岗当日完成申请、审批手续，否则按旷工处理。因停电、卡钟（工卡）故障未打卡的员工，上班前、下班后要及时到部门考勤员处填写未打卡补签申请表，由直接主管签字证明当日的出勤状况，报部门经理、人力资源部批准后，月底由部门考勤员据此上报考勤。上述情况考勤由各部门或分公司和项目文员协助人力资源部进行管理。3.1.2.5手工考勤制度3.1.2.6手工考勤制申请：由于工作性质，员工无法正常打卡（如外围人员、出差），可由各部门提出人员名单，经主管副总批准后，报人力资源部审批备案。3.1.2.7参与手工考勤的员工，需由其主管部门的部门考勤员(文员)或部门指定人员进行考勤管理，并于每月26日前向人力资源部递交考勤报表。3.1.2.8参与手工考勤的员工如有请假情况发生，应遵守相关请、休假制度，如实填报相关表单。3.1.2.9 外派员工在外派工作期间的考勤,需在外派公司打卡记录;如遇中途出差,持出差证明,出差期间的考勤在出差地所在公司打卡记录;3.2加班管理3.2.1定义加班是指员工在节假日或公司规定的休息日仍照常工作的情况。A现场管理人员和劳务人员的加班应严格控制，各部门应按月工时标准，合理安排工作班次。部门经理要严格审批员工排班表，保证员工有效工时达到要求。凡是达到月工时标准的，应扣减员工本人的存休或工资；对超出月工时标准的，应说明理由，报主管副总和人力资源部审批。 B因员工月薪工资中的补贴已包括延时工作补贴，所以延时工作在4小时（不含）以下的，不再另计加班工资。因工作需要，一般员工延时工作4小时至8小时可申报加班半天，超过8小时可申报加班1天。对主管(含)以上管理人员，一般情况下延时工作不计加班，因特殊情况经总经理以上领导批准的延时工作，可按以上标准计加班。3.2.2.2员工加班应提前申请，事先填写加班申请表，因无法确定加班工时的，应在本次加班完成后3个工作日内补填加班申请表。加班申请表经部门经理同意，主管副总经理审核报总经理批准后有效。加班申请表必须事前当月内上报有效，如遇特殊情况，也必须在一周内上报至总经理批准。如未履行上述程序，视为乙方自愿加班。3.2.2.3员工加班，也应按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认；有打卡记录但无公司总经理批准的加班，公司不予承认加班。3.2.2.4原则上，参加公司组织的各种培训、集体活动不计加班。3.2.2.5加班工资的补偿：员工在排班休息日的加班，可以以倒休形式安排补休。原则上，员工加班以倒休形式补休的，公司将根据工作需要统一安排在春节前后补休。加班可按1：1的比例冲抵病、事假。3.2.3加班的申请、审批、确认流程3.2.3.1加班申请表在各部门文员处领取，加班统计周期为上月26日至本月25日。3.2.3.2员工加班也要按规定打卡，没有打卡记录的加班，公司不予承认。