高中数学导数及其应用知识点

1 导数知识点归纳及其应用导数知识点归纳及其应用 知识点归纳知识点归纳 一 相关概念一 相关概念 1 1 导数的概念 导数的概念 函数 y f x 如果自变量 x 在 x 处有增量 那么函数 y 相应地有增量 0 x f x f x 比值叫做函数 y f x 在 x 到 x 之间的平均变化y 0 x 0 x y 00 x 率 即 如果当时 有极限 我们就说函数 y f x x y x xfxxf 00 0 x x y 在点 x 处可导 并把这个极限叫做 f x 在点 x 处的导数 记作 f x 或 y 000 0 xx 即 f x 0 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf 00 说明 说明 1 1 函数 f x 在点 x 处可导 是指时 有极限 如果不存在极限 0 0 x x y x y 就说函数在点 x 处不可导 或说无导数 0 2 2 是自变量 x 在 x 处的改变量 时 而是函数值的改变量 可以是零 x 0 0 xy 由导数的定义可知 求函数 y f x 在点 x 处的导数的步骤 0 求函数的增量 f x f x y 0 x 0 求平均变化率 x y x xfxxf 00 取极限 得导数 f x 0 x y x 0 lim 例 例 设 f x x x 则 f 0 解析解析 f 0 0 lim lim lim 0 0 lim 0000 x x xx x xf x fxf xxxx 0 2 2 导数的几何意义 导数的几何意义 函数 y f x 在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y f x 在点 p x f x 处的切 000 线的斜率 也就是说 曲线 y f x 在点 p x f x 处的切线的斜率是 f x 000 2 相应地 切线方程为 y y f x x x 000 例 例 在函数的图象上 其切线的倾斜角小于的点中 坐标为整数的点的个xxy8 3 4 数是 A 3B 2C 1D 0 解析解析 切线的斜率为83 2 xyk 又切线的倾斜角小于 即 4 10 k 故1830 2 x 解得 3 3 8 3 8 3 xx或 故没有坐标为整数的点 3 3 导数的物理意义导数的物理意义 如果物体运动的规律是 s s t 那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v t s 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v v t 则该物体在时刻 t 的加速度 a v t 例 例 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的行 驶路程看作时间 的函数 其图像可能是 st s tO A s tO s tO s tO B C D 答 A 练习 练习 已知质点 M 按规律做直线运动 位移单位 cm 时间单位 s 32 2 ts 1 当 t 2 时 求 01 0 t t s 2 当 t 2 时 求 001 0 t t s 3 求质点 M 在 t 2 时的瞬时速度 答案 答案 1 8 02 2 8 002 3 8 s cm s cm s cm 二 导数的运算二 导数的运算 1 1 基本函数的导数公式 基本函数的导数公式 C 为常数 0 C 3 1 nn xnx sin cosxx cos sinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 l glog aa oxe x 例例 1 下列求导运算正确的是 A x B log2x 2 1 1 1 xx 2ln 1 x C 3x 3xlog3e D x2cosx 2xsinx 例例 2 2 设f0 x sinx f1 x f0 x f2 x f1 x fn 1 x fn x n N 则f2005 x A sinx B sinx C cosx D cosx 2 2 导数的运算法则 导数的运算法则 法则法则 1 1 两个函数的和 或差 的导数 等于这两个函数的导数的和 或差 即 vuvu 法则法则 2 2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个 函数乘以第二个函数的导数 即 uvvuuv 若 C 为常数 则 即常数与函数的积的导数等于常数乘 0 CuCuCuuCCu 以函数的导数 CuCu 法则法则 3 3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 v0 v u 2 v uvvu 例例 设 f x g x 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当 x 0 时 0 且 g 3 0 则不等式 f x g x 0 的解集是 xgxfxgxf 4 A 3 0 3 B 3 0 0 3 C 3 3 D 3 0 3 解析解析 当 x 0 时 0 即 xgxfxgxf 0 xgxf 当 x 0 时 f x g x 为增函数 又 g x 是偶函数且 g 3 0 g 3 0 f 3 g 3 0 故当时 f x g x 0 又 f x g x 是奇函数 3 x 当 x 0 时 f x g x 为增函数 且 f 3 g 3 0 故当时 f x g x 030 x 故选 D 3 3 复合函数的导数复合函数的导数 形如 y f的函数称为复合函数 复合函数求导步骤 x 分解 求导 回代 法则 y y u 或者 XUX fxfx 练习 练习 求下列各函数的导数 1 2 sin 2 5 x xxx y 3 2 1 xxxy 3 4 4 cos21 2 sin 2 xx y 1 1 1 1 xx y 三 导数的应用三 导数的应用 1 1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数 1 设函数在某个区间 a b 可导 如果如果 则 则在此区间上为在此区间上为 xfy f x0 xf 增函数 如果增函数 如果 则 则在此区间上为减函数 在此区间上为减函数 f0 x xf 2 如果在某区间内恒有恒有 则为常数为常数 f0 x xf 例 例 函数是减函数的区间为 13 23 xxxf A B C D 0 2 2 2 0 2 2 极点与极值 极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0 极值点处的导数为 0 曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 例 例 函数已知时取得极值 则 93 23 xaxxxf3 xxf在a A 2 B 3 C 4 D 5 5 3 3 最值 最值 在区间 a b 上连续的函数 f在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间 a b 内 x 连续函数 f x 不一定有最大值 例如 3 1 1 f xxx 求最值步骤求最值步骤 求函数 在 a b 内的极值 求函数 在区间端点的值 a b x x 将函数 的各极值与 a b 比较 其中最大的是最大值 其中最小的 x 是最小值 说明 说明 1 函数的最大值和最小值是一个整体性的概念 最大值必须是整个区间上所有 函数值中的最大值 最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的 函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在区 间内取得 最值则可以在端点取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值可 能成为最值 最值只要不在端点处必定是极值 例 例 函数在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 13 3 xxxf 经典例题选讲经典例题选讲 例例 1 1 已知函数的图象如图所示 其中 是函数的导函数 下面 xf xy x f xf 四个图象中的图象大致是 xfy 6 例例 2 2 设恰有三个单调区间 试确定 a 的取值范围 并求其单调区间 xaxxf 3 例例 3 3 已知函数的图象过点 P 0 2 且在点 M处的dxbxxxf c 23 1 1 f 切线方程为 076 yx 求函数的解析式 xfy 求函数的单调区间 xfy 例例 4 4 设函数 已知是奇函数 32 f xxbxcx xR g xf xfx 求 的值 求的单调区间与极值 bc g x 例例 5 5 已知 f x 在 x 1 x 时 都取得极值 cbxaxx 23 3 2 1 求 a b 的值 2 若对 都有恒成立 求 c 的取值范围 2 1 x c xf 1 例例 6 6 已知是函数的一个极值点 其中1x 32 3 1 1f xmxmxnx 0m nR m I 求与的关系式 mn II 求的单调区间 f x III 当时 函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 求 1 1x yf x m 的取值范围 m 例例 7 2009 天津理天津理 20 已知函数其中 22 23 x f xxaxaa exR aR 7 1 当时 求曲线处的切线的斜率 w w w k s 5 u c o m 0a 1 1 yf xf 在点 2 当时 求函数的单调区间与极值 w w w k s 5 u c o m 2 3 a f x 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值等基础 知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 参考答案 参考答案 例例 1 解析解析 由函数的图象可知 xf xy 当时 0 此时增1 x x f x x f xf 当时 0 0 此时减01 x x f x x f xf 当时 0 0 0 此时增 故选 C1 x x f x x f xf 例例 2 解 解 13 2 axxf 若 对恒成立 此时只有一个单调区间 矛盾0 a0 x f x xf 若 也只有一个单调区间 矛盾0 a01 x f x xf 若 此时恰有三个单调区间0 a 3 1 3 1 3 a x a xaxf xf 且单调减区间为和 单调增区间为0 a 3 1 a 3 1 a 3 1 3 1 aa 例例 3 3 解 解 由的图象经过 P 0 2 知 d 2 xf 所以 2 23 cxbxxxf 8 23 2 cbxxxf 由在处的切线方程是 知 1 1 fM076 yx 6 1 1 1 07 1 6 fff即 3 0 32 1 21 623 cb cb cb cb cb 解得即 故所求的解析式是 2 33 23 xxxxf 012 0363 3 63 222 xxxxxxxf即令 解得 当 21 21 21 xx 0 21 21 xfxx时或 当 0 2121 xfx时 故内是增函数 21 233 23 在xxxxf 在内是减函数 在内是增函数 21 21 21 例例 4 4 解解 从而 32 f xxbxcx 2 32fxxbxc 是 322 32 g xf xfxxbxcxxbxc 32 3 2 xbxcb xc 一个奇函数 所以得 由奇函数定义得 0 0g 0c 3b 由 知 从而 由此可知 3 6g xxx 2 36g xx 和是函数是单调递增区间 是函数是单 2 2 g x 2 2 g x 调递减区间 在时 取得极大值 极大值为 g x2x 4 2 在时 取得极小值 极小值为 g x2x 4 2 例例 5 5 解 解 1 由题意 f x 的两个根分别为 1 和baxx 23 2 3 2 由韦达定理 得 1 3 2 3 2a 3 2 1 3 b 则 2 1 a2 b 2 由 1 有 f x f x cxxx 2 2 1 23 23 2 xx 当时 当时 当时 3 2 1 x0 xf 1 3 2 x0 xf 2 1 x 0 xf 9 当时 有极大值 3 2 x xfc 27 22 cfcf 2 2 2 1 1 当 的最大值为 2 1 x xfcf 2 2 对 都有恒成立 2 1 x c xf 1 c c 1 2 解得或 120 c 12 c 例例 6 解解 I 因为是函数的一个极值点 2 36 1 fxmxmxn 1x f x 所以 即 所以 1 0 f 36 1 0mmn 36nm II 由 I 知 2 36 1 36fxmxmxm 2 3 1 1m xx m 当时 有 当变化时 与的变化如下表 0m 2 11 m x f x fx x 2 1 m 2 1 m 2 1 1 m 1 1 fx 0 0 0 0 0 f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减 故有上表知 当时 在单调递减 0m f x 2 1 m 在单调递增 在上单调递减 2 1 1 m 1 III 由已知得 即 3fxm 2 2 1 20mxmx 又所以即 0m 2 22 1 0 xmx mm 2 22 1 0 1 1xmxx mm 设 其函数开口向上 由题意知 式恒成立 2 12 2 1 g xxx mm 所以解之得 又 22 1 0120 1 0 10 g mm g 4 3 m 0m 所以 即的取值范围为 4 0 3 m m 4 0 3 例例 7 10 解解 I 3 1 2 0 22 efexxxfexxfa xx 故 时 当 3 1 1 efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 II w w w k s 5 u c o m 42 2 22x eaaxaxxf 2 2 3 2 2 20 aaaaxaxxf知 由 或 解得令 以下分两种情况讨论 1 则 当变化时 的变化情况如下表 a若 3 2 a2 2 ax xfxf x a2