热力学与统计物理-试题及答案-2

中中 国国 海海 洋洋 大大 学学 试试 题题 答案答案 学年第学年第 2 2 学期学期 试题名称试题名称 热力学与统计物理热力学与统计物理 A A 共共 2 页页 第第 1 页页 专业专业年年级 级 学号学号 姓名姓名 授课教师名授课教师名 杨爱玲杨爱玲 分数分数 一 一 填空题 共填空题 共 40 分 分 1 N 个全同近独立粒子构成的热力学系统 如果每个粒子的自由度为 r 系统的自由度为 Nr 系统的状态可以用 2Nr 维 空间 中的一个代表点表示 2 对于处于平衡态的孤立系统 如果系统所有可能的微观状态数为 则每一微观状态出现的概率为 1 系统的熵为 kln 3 玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从 泡利不相容原理 原理 其中 费米 系统的分布必须满足 0 fs 1 4 玻色系统和费米系统在满足 经典极限条件 或 e 1 条件时 可以使用玻尔兹曼统计 5 给出内能变化的两个原因 其中 项描述传热 项描述做功 l ll l ll dadadU ll l da ll l a d 6 对粒子数守恒的玻色系统 温度下降会使粒子的化学势 升高 如果温度足够低 则会发生 玻色 爱因斯坦凝聚 这时系统 的能量 U0 0 压强 p0 0 熵 S0 0 7 已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布 其能量表达式为 粒子的平均能量为 2kT b2 4a bxaxppp m zyx 2 222 2 1 8 当温度 很低 或粒子数密度 很大 时 玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强 9 如果系统的分布函数为 s 系统在量子态 s 的能量为 Es 用 s和 Es表示 系统的平均能量为 能量涨落为 ss s EE 如写成也得分 2 ss s EE 22 EE 10 与宏观平衡态对应的是稳定系综 稳定系综的分布函数 s具有特点 d s dt 0 或与时间无关等同样的意思也得分 同时 s也满 足归一化条件 二 计算证明题 每题 10 分 共 60 分 1 假定某种类型分子 设粒子可以分辨 的许可能及为 0 2 3 而且都是非简并的 如果系统含有 6 个分子 问 1 与总能量 3 相联系的分布是什么样的分布 分布需要满足的条件是什么 2 根据公式计算每种分布的微观态数 l a l l l l N a a 3 确定各种分布的概率 解 能级 1 2 3 4 能量值 0 2 3 简并度 1 1 1 1 分布数 a1 a2 a3 a4 分布要满足的条件为 l a6 l l aN 3 ll l aE 满足上述条件的分布有 A 5 0 0 1 0 l a B 4 1 1 0 0 l a C 3 3 0 0 0 l a 各分布对应的微观态数为 6 16 5 1 6 130 4 1 1 6 120 3 3 A B C 所有分布总的微观态数为 6302056 ABC 各分布对应的概率为 6 560 107 30 560 536 20 560 357 AA BB CC p p p 2 表面活性物质的分子在液面 面积为 A 上做二维自由运动 可以看作二维理想气体 设粒子的质量为 m 总粒子数为 N 1 求单粒子的配分函数 Z1 2 在平衡态 按玻尔兹曼分布率 写出位置在 x 到 x dx y 到 y dy 内 动量在 px到 px dpx py到 py dpy内的分子数 dN 3 写出分子按速度的分布 4 写出分子按速率的分布 解 1 单粒子的配分函数 22 2 1 22 1 2 pp xy m xy A zedxdydp dpmkT hh 2 22 1 xyxy dxdydp dpdxdydp dp N dNee hZh 3 将 1 代入 2 并对 dxdy 积分 得分子按速度的分布为 2 22 2 m kT vxyxy m dNNevvdv dv kT 4 有 3 可得分子按速率的分布为 22 22 2 2 mvmv kTkT mm NevdvNevdv kTkT 3 定域系含有 N 个近独立粒子 每个粒子有两个非简并能级 1 0 2 0 其中 0大于零且为外参量 y 的函数 求 1 温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比 并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点 2 系统的内能和热容量 3 极端高温和极端低温时系统的熵 解 1 单粒子的配分函数为 0012 1 l l Zeeeee 处于基态的粒子数为 01 00 1 1 Nee NN Zee 处于激发态的粒子数为 0 2 00 2 1 Ne NeN Zee 温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为 0 0 00 2 1 kT kT Nee Ne e 极端高温时 0 kT 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同 2 1 1 N N 极端低温时 0 kT 即粒子几乎全部处于基态 2 1 0 N N 2 系统的内能 00 00 00 1 0 ln ln Zee UNNeeN ee 热容量 00 00 2 2 0 22 1 1 VVV NUUee C TkTkTee 3 极端高温时系统的熵 lnln2ln2 N SkkNk 极端低温时系统的熵 S 0 4 对弱简并的非相对论费米气体 求 1 粒子数分布的零级近似 f0 与一级修正项 f1 2 证明 与零级近似相比 粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于 e 解 费米气体分布函数为 1 1 f e 1 22 1 1 1 feeeee e 0 fe 22 1 fe 2 1 2 DdCVd 22 1 2 1 1 20 f DdeCVd N e Nf Dd eCVd 1 0 fDd U e UfDd 5 金属中的电子可以视为自由电子气体 电子数密度 n 1 简述 T 0K 时电子气体分布的特点 并说明此时化学势 0的意义 2 证明 T 0K 时电子的平均能量 简并压强 00 5 3 00 2 5 pn 3 近似计算 在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比 1 0表示 T 0K 时电子的最能量 电子从 0 的能级开始 先占据低能级 然后占据高能级 遵 从泡利不相容原理 f 1 0 2 000 0 00 13 22 000 0011 22 0 00 0000 3 5 2222 32 3333 55 fDdCVdd U N fDd CVdd UU N pnnn VN V f 1 0 T 0K 0 3 T 0K 时 111 222 fff T 0K 时 只有在 附近 kT 量级范围内的电子可跃迁到高能级 对 CV有贡献 设这部分电子的数目为 Neff 则 每一电子对 eff kT NN CV的贡献为 3kT 2 则金属中自由电子对 Cv 的贡献为 33333 22222 e Vef f ff kkTNk kTNkkTNkT CkNN kTT 晶格的热容量为 Cv 3Nk 45 1 0 1010 2 e V f Vf CT T CT 6 固体的热运动可以视为 3N 个独立简正振动 每个振动具有各自的简正频率 i 内能的表达式为 式中的求 i kT i e UU 1 0 和遍及所有的振动模式 实际计算时需要知道固体振动的频谱 1 写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱 并加以简单说明 2 用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量 3 用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于 T3 解 1 爱因斯坦模型 N 个分子的振动简化为 3N 同频率 的简谐振动 每个振子的能级为 1 2 nn 德拜模型 N 个分子的振动简化为 3N 个简正振动 每个振子的频率不同 且有上限 D 2 DdBd 2 爱因斯坦模型 1 2 2 1 1 l n l ln e Zee e 1 2 2 33 3ln 21 3 1 kT VV kT NN UNZ e Ue CNk TkTe 高温时 1 1