概率论与数理统计知识总结之第一章

第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 确定性现象 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象 随机现象 随机现象 在个别试验中其结果呈现出不确定性 在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性的现象 随机试验 随机试验 具有下述三个特点的试验 1 可以在相同的条件下重复地进行 2 每次试验的可能结果不止一个 且能事先明确试验的所有可能结果 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 样本空间 样本空间 将随机试验 E 的所有可能出现的结果组成的集合称为 E 的样本空间 记为 S 样本点 样本点 样本空间的元素 即 E 的每个结果 称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的 随机事件 随机事件 一般 我们称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件 简称事件 在每次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 称这一事件发生 基本事件 基本事件 由一个样本点组成的单点集 称为基本事件 必然事件 必然事件 样本空间 S 包含所有的样本点 它是 S 自身的子集 在每次试验中它总是发生 的 称为必然事件 不可能事件 不可能事件 空集不包含任何样本点 它也作为样本空间的子集 在每次试验中 称为不 可能事件 事件间的关系与运算 事件间的关系与运算 设试验 E 的样本空间为 S 而 A B k 1 2 是 S 的子集 k A 1 若 则称事件 B 包含事件 A 这指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生 BA 若且 即 A B 则称事件 A 与事件 B 相等 BA AB 2 事件 或称为事件 A 与事件 B 的和事件 当且仅当 A B xBA Ax Bx 中至少有一个发生时 事件发生 BA 类似地 称为事件 的和事件 称为可列个事 n k U 1 k A 21 AA n A k k AU 1 件 的和事件 21 AA 3 事件 且称为事件 A 与事件 B 的积事件 当且仅当 A BBA x Ax Bx 同时发生时 事件发生 记作 AB BA BA 类似地 称为 n 个事件 的积事件 称为可列个事件 I n k k A 1 21 AA n A I 1k k A 的积事件 21 AA 4 事件 且称为事件 A 与事件 B 的差事件 当且仅当 AxBA Ax Bx 发生 B 不发生时事件发生 BA 5 若 则称事件 A 与 B 是互不相容的 或互斥的 这指的是事件 A 与 BA 事件 B 不能同时发生 基本事件是两两互不相容的 6 若且 则称事件 A 与事件 B 互为逆事件 又称事件 A 与事SBA BA 件 B 互为对立事件 这指的是对每次试验而言 事件 A B 中必有一个发生 A 的对立事件 AA AS 设为事件 则有CBA 交换律 ABBAABBA 结合律 CBACBA CBACBA 分配律 CABACBA CABACBA 德 摩根律 BABA BABA 频率与概率频率与概率 频率频率 在相同的条件下 进行了 n 次试验 在这 n 次试验中 事件 A 发生的次数 A n 称为事件 A 发生的频数 比值 n 称为事件 A 发生的频率 并记成 A n Afn 频率的基本性质 1 0 1 Afn 2 1 Sfn 3 若 是两两互不相容的事件 则 21 AA k A n f 21 AA k A n f 1 A n f k A 概率 概率 设 E 是随机试验 S 是它的样本空间 对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数 记 为 P A 称为事件 A 的概率 如果集合函数 P 满足下列条件 1 非负性 2 规范性 对于必然事件 S 有 P S 1 3 可列可加性 P P P 21 AA 1 A 2 A 概率的性质 1 P 0 2 有限可加性 若 是两两互不相容的事件 则有 1 A 2 A n A P P P P 21 AA n A 1 A 2 A n A 3 设 A B 是两个事件 若 则有BA P B A P B P A P B P A 4 对于任一事件 A P A 1 5 对于任一事件 A 有 1 P A AP 6 对于任意两事件 A B 有 P P A P B P AB BA 一般地 对于任意 n 个事件 可以用归纳法得出 21 AA n A P 21 AA n A 1 n i i AP 1 j nji iA AP kj nkji i AAA 1 1 21 1 n n AAAP 等可能概型 古典概型 等可能概型 古典概型 定义 具有以下两个特点的试验称为等可能概型 1 试验的样本空间只包含有限个元素 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同 事件概率计算公式 若事件 A 包含 k 个基本事件 即 A j iii eee 21 P A A 包含的基本事件数 S 中基本事件的总数 1 k j ij eP n k 实际推断原理 实际推断原理 人们在长期的实践中总结得到 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不 发生的 条件概率条件概率 事件 A 已发生的条件下事件 B 发生的概率 设 A B 是两个事件 且 P A 0 称 P B A P AB P A 为在事件 A 发生的条件 下事件 B 发生的条件概率 条件概率 P A 的性质 1 非负性 P B A 0 2 规范性 对于必然事件 S 有 P S A 1 3 可列可加性 设 是两两互不相容的事件 则有 21 BB i i BP 1 U 1 i i BPA A 对于任意事件 B C 有 P B C A P B A P C A P BC A 乘法定理 乘法定理 设 P A 0 则有 P AB P B A P A 一般 设 为 n 个事件 n 2 且 0 则有 21 AA n A 121 n AAAP nn APAAAP 21 1121 nn APAAA 2221 APAAA n 11 APA 划分 划分 设 S 为试验 E 的样本空间 为 E 的一组事件 若 n BBB 21 1 njijiBB ji 2 1 2 SBBB n 21 则称为样本空间 S 的一个划分 n BBB 21 全概率公式 全概率公式 设试验 E 的样本空间为 S A 为 E 的事件 为 S 的一个划分 且 n BBB 21 则 2 1 0 niBP i APAP APBPB 11 APBPB 22 nn BPB 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设试验 E 的样本空间为 S A 为 E 的事件 为 S 的一个划分 且 P A n BBB 21 0 则 2 1 0 niBP i i BP AAP ii BPB n j AP 1 jj BPB 先验概率 先验概率 根据以往数据分析得到的概率 后验概率 后验概率 在得到信息之后再重新加以修正的概率 独立性 独立性 设 A B 是两事件 如果满足等式 P AB P A P B 则称事件 A B 相互独立 简 称 A B 独立 定理一 定理一 设 A B 是两事件 且 P A 0 若 A B 相互独立 则 P B A P B 反之亦然 定理二 定理二 若事件 A 与 B 相互独立 则下列各对事件也相互独立 A 与 与 B 与BAAB 设 A B C 是三个事件 如果满足等式 CPBPAPABCP CPBPBCP CPAPACP BPAPABP 则称事件 A B C 相互独立 一般 设 是 n n 2 个事件 如果对于其中任意 2 个 任意 3 个 21 AA n A 任意 n 个事件的积事件的概率 都等于各事件概率之积 则称事件 相互独立 21 AA n A 推论 推论 1 若事件 n 2 相互独立 则其中任意 k 2 k n 个事件也是相 21 AA n A 互独立 2 若 n 个事件 n 2 相互独立 则将 中任意多个事件 21 AA n A 21 AA n A 换成它们的对立事件 所得的 n 各事件仍相互独立 1 排 列组合公 式 nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数 nmn m C n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数 2 加 法和乘法 原理 加法原理 两种方法均能完成此事 加法原理 两种方法均能完成此事 m nm n 某件事由两种方法来完成 第一种方法可由 m 种方法完成 第二种 方法可由 n 种方法来完成 则这件事可由 m n 种方法来完成 乘法原理 两个步骤分别不能完成这件事 乘法原理 两个步骤分别不能完成这件事 m nm n 某件事由两个步骤来完成 第一个步骤可由 m 种方法完成 第二个 步骤可由 n 种方法来完成 则这件事可由 m n 种方法来完成 3 一 些常见排 列 重复排列和非重复排列 有序 对立事件 至少有一个 顺序问题 4 随 机试验和 随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行 而每次试验的可能结果 不止一个 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果 则 称这种试验为随机试验 试验的可能结果称为随机事件 5 基 本事件 样本空间 和事件 在一个试验下 不管事件有多少个 总可以从其中找出这样一组事 件 它具有如下性质 每进行一次试验 必须发生且只能发生这一组中的一个事件 任何事件 都是由这一组中的部分事件组成的 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件 用 来表示 基本事件的全体 称为试验的样本空间 用 表示 一个事件就是由 中的部分点 基本事件 组成的集合 通常用 大写字母A B C 表示事件 它们是 的子集 为必然事件 为不可能事件 不可能事件 的概率为零 而概率为零的事件不一定是不可能 事件 同理 必然事件 的概率为 1 而概率为 1 的事件也不 一定是必然事件 6 事 件的关系 与运算 关系 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分 A发生必有事件 B发生 BA 如果同时有BA AB 则称事件A与事件B等价 或称A 等于B A B A B中至少有一个发生的事件 A B 或者A B 属于A而不属于B的部分所构成的事件 称为A 与 B的差 记为 A B 也可表示为A AB或者BA 它表示A发生而B不发生的事 件 A B同时发生 A B 或者AB A B 则表示 A 与 B 不可能 同时发生 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥 基本事件是互 不相容的 A 称为事件 A 的逆事件 或称 A 的对立事件 记为A 它表示 A 不发生的事件 互斥未必对立 运算 结合率 A BC AB C A B C A B C 分配率 AB C A C B C A B C AC BC 德摩根率 11i i i iAA BABA BABA 7 概 率的公理 化定义 设 为样本空间 A为事件 对每一个事件A都有一个实数 P A 若满足下列三个条件 1 0 P A 1 2 P 1 3 对于两两互不相容的事件1A 2A 有 11 i i i iAPAP 常称为可列 完全 可加性 则称 P A 为事件A的概率 8 古 典概型 1 n 21 2 n PPP n 1 21 设任一事件A 它是由 m 21 组成的 则有 P A 21m 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A 9 几 何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述 则称此随机试验为几何概型 对任一事件 A L AL AP 其中 L 为几何度量 长度 面积 体积 10 加 法公式 P A B P A P B P AB 当 P AB 0 时 P A B P A P B 11 减 法公式 P A B P A P AB 当 B A 时 P A B P A P B 当 A 时 P B 1 P B 12 条 件概率 定义 设 A B 是两个事件 且 P A 0 则称 AP ABP 为事件 A 发生 条件下 事件 B 发生的条件概率 记为 ABP AP ABP 条件概率是概率的一种 所有概率的性质都适合于条件概率 例如 P B 1 P B A 1 P B A 13 乘 法公式 乘法公式 ABPAPABP 更一般地 对事件 A1 A2 An 若 P A1A2 An 1 0 则有 21 AAP nA 213121AAAPAAPAP 21 AAAPn 1 nA 14 独 立性 两个事件的独立性两个事件的独立性 设事件A B满足 BPAPABP 则称事件A B是相互 独立的 若事件A B相互独立 且 0 AP 则有 BP AP BPAP AP ABP ABP 若事件A B相互独立 则可得到A与B A与B A与B也 都相互独立 必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立 与任何事件都互斥 多个事件的独立性多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件 如果满足两两独立的条件 P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A 并且同时满足 P ABC P A P B P C 那么 A B C 相互独立 对于 n 个事件类似 15 全 概公式 设事件 nBBB 21 满足 1 nBBB 21 两两互不相容 2 1 0 niBPi 2 n i iBA 1 分类讨论的 则有 2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 16 贝 叶斯公式 设事件1B 2B nB及A满足 1 1B 2B nB两两互不相容 BiP 0 i 1 2 n 2 n i iBA 1 0 AP 已经知道结果 求原因 则 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 i 1 2 n 此公式即为贝叶斯公式 i BP 1