1建立一元二次方程模型

1 2 12 1 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型 第第 1 1 课时课时 学习目标 学习目标 1 在具体情境中理解一元二次方程的概念及一般形式 2 能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 并能写出二次项系数 一次 项系数和常数项 学习重点 学习重点 能建立一元二次方程模型 把一元二次方程整理成一般形式 学习难点 学习难点 把实际问题转化为一元二次方程的模型 学习过程 学习过程 问题导入 问题 1 什么是整式方程 一元一次方程的意义及一般形式是什 么 试举例说明 要求 让学生思考后回答 重点强调一元一次方程的未知数的个数与次数 问题 2 某工人师傅要用一块长 80cm 宽 60cm 的铁皮 在四个角上截去四 个相等的小正方形 做成底面积为 1500cm2的没有盖长方体盒子 如图所示 想一想 应该怎样求出截去小正方形的边长 要求 先让学生独立思考解决 再小组交流 然后教师讲评 探索 若设小正方形的边长为 xcm 那么这个盒子底部的长和宽分别为 80 2x cm 和 60 2x cm 根据题意 可得方程为 80 2x 60 2x 1500 所得 的方程与我们前面学过的方程有什么不同 一 一元二次方程的概念及一般形式一 一元二次方程的概念及一般形式 请同学们带着以下问题用 5 分钟的时间自学教材 P26 P23 的内容 并完 成下面的自学检测题中的练习 1 自学思考题 2 1 能把课本 P 23 动脑筋 问题一 问题二中的方程 化成右边为 0 而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗 让学生展开讨论 并引 导学生把 化成下列形式 4x2 140 x 325 0 x2 2500 0 25x2 70 x 11 0 以上三个方程有哪些共同点 学生分组讨论 然后各组选配代表展示交流 成果 最终得出结论 3 一元二次方程的定义及一般形式是什么 4 分别指出方程 中的二次项系数 一次项系数和常数项 2 自学检测 1 下列方程中是一元二次方程的是 A x2 2x y 1 B x2 3 C x 2 2 1 x2 3 D x 1 3 22xx 2 x 若方程 k 1 x2 4x 2 0 是一元二次方程 则 k 3 自学点拨 判断一个方程是否为一元二次方程 必须先整理成为一般形式 再观察是否 具备三点 只含有一个未知数 未知数的最高次数是 2 方程是整式 方程 一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 中特别注意 a b c 是常数 二次项 系数 a 不能等于 0 二 实践交流 二 实践交流 1 把方程 3x 1 x 10 2 x 2 化成一般形式 并指出它的二次项系数 一 次项系数和常数项 学生解答 交流汇报 教师点拨规范解答 解 去括号 得 3x2 5x 12 x2 4x 4 化简 得 2x2 x 16 0 二次项系数是 2 一次项系数是 1 常数项是 16 3 思路点拨 一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 具有两个特征 一 是方程的右边为 0 二是左边二次项系数不能为 0 此外要使学生认识到 二次 项系数 一次项系数和常数项都是包括符号的 2 下列方程 哪些是一元一次方程 哪些是一元二次方程 2x 3 5x 2 4x2 81 x 1 x 2 x2 6 x 2 3x 1 x 1 2 mx2 3x 2 0 m 为常数 5x2 x 2 7 3 k 为何值时 关于 x 的一元二次方程 k2 1 x2 k 1 x 3 0 1 是一元 一次方程 2 是一元二次方程 1 学生解答 2 交流汇报 3 教师点拨规范解答 思路点拨 通过一元一次方程与一元二次方程的比较 使学生深刻理解一 元二次方程的意义 要判断一个方程是否为一元二次方程 先看它是否为整式方程 若是 再对它进行整理 如果能整理为 ax2 bx c 0 a 0 的形式 则这个方程就为 一元二次方程 5 应用新知 课本 P28 练习第 1 2 题 三 课堂小结三 课堂小结 1 一元二次方程的显著特征是 只有一个未知数 并且未知数的最高次数 是 2 2 一元二次方程的一般形式为 ax2 bx c 0 a 0 一元二次方程的二次 项系数 一次项系数 常数项都是根据一般形式确定的 3 在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中 体会学习一元二次方 程的必要性和重要性 四 达标检测四 达标检测 必做题 1 下列方程是一元二次方程的是 4 A 3 x 1 2 2 x 1 B C ax2 bx c 0 D 2 5 y 3x 05 1 2 1 xx x 2 1 2 把方程 3x 2 2 4 x 3 2化成一元二次方程的一般形式为 二次项系数 一次项系数 常数项 3 若关于 x 的方程 kx2 x 2x2 1 是一元二次方程 则 k 的取值范围是 4 若关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 25x m2 1 0 的常数项为 0 则 m 的值是 选做题 1 关于 X 的方程 2m2 3 x2 5x 13 一定是一元二次方程吗 为什么 2 关于x的方程是 m2 1 x2 m 1 x 2 0 那么当m 时 方程为一 元二次方程 当m 时 方程为一元一次方程 3 试判断 关于 x 的方程 2a 4 x2 2bx a 0 1 何时为一元二次方程 2 何时为一元一次方程 五 课外作业五 课外作业 课本习题 2 2 中 A 组第 1 2 3 题 B 组 2 链接中考 1 2012年甘肃兰州 某学校准备建一个面积为200平方米的矩形花 圃 它的长比宽多10米 设花圃的宽为 x 米 则可列方程为 A x x 10 200 B 2x 2 x 10 200 C x x 10 200 D 2x 2 x 10 200 2 2012年无锡市 关于 x 的一元二次方程 a 1 x2 ax a2 1 0的一个根为0 则 a 的值是 5 2 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第第 1 课时课时 学习目标 学习目标 1 掌握用直接开方法对形如 a a 0 ax n 2 d a n d 为常数 d 0 形 2 x 式的一元二次方程进行求解 2 体会一元二次方程中的转化与降次思想 学习重点学习重点 掌握用直接开平方法解形如 ax n 2 d a n d 为常数 d 0 的方 程 学习难点 学习难点 通过直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程 学习过程学习过程 问题导入 1 平方根的意义是什么 正数有 个平方根 关系是 零的平方根是 负数没有平方根 2 给出 2 1 节问题一中的方程 x2 2500 0 如何解 1 1 直接开平方法解一元二次方程 直接开平方法解一元二次方程 请同学们带着以下问题用 10 分钟的时间自学完教材 P30 P31 练习的内容 并完成下面的自学检测中的练习 1 自学思考题 1 通过预习 P30 探究 你感觉到要解一元二次方程关键是什么 2 若 x2 a a 0 则 x 叫做 a 的平方根 表示为 x 这种解一元二 次方程的方法叫做 通常用x1 x2来表示未知数为x的一元二 次方程的两个实数解 2 自学检测 1 若 a 是一元二次方程 2x2 x 3 0 的一个根 则 2a a 2 关于 x 的一元二次方程 x2 x a 1 0 的一个根是 0 则实数 a 3 若 x 1 是一元二次方程 x2 mx n 0 的一个根 则 m n 4 一元二次方程 x2 81 0 的两个根x1 x2 5 若 x2 4 则x1 x2 若 5 则 x 2 x 6 6 方程的解为 49 1 2 x 3 自学点拨 用直接开平方法解一元二次方程时 关键是把方程化为 ax n 2 d a n d 为常数 d 0 4 实践交流 例 1 解下列方程 1 4x2 25 0 2 2x i 2 2 3 1 2x 2 3 0 学生解答 交流汇报 教师点拨规范解答 思路点拨 用直接开平方法解一元二次方程时 把方程左边化为一个代数式的 平方 右边是一个非负常数 1 例 2 解方程 4 2x 1 2 25 x 1 2 0 学生解答 交流汇报 教师点拨规范解答 思路点拨 三 课堂小结 三 课堂小结 1 本节课你有何收获 2 直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程 四 达标检测 四 达标检测 必做题 1 如果代数式 3x2 6 的值是 21 则 x 的值为 2 方程 x x 2 0 的解是 3 方程 x 1 2 4 是 4 已知 x 1 是关于 x 的方程 a 5 x2 4x 1 0 的一个根 则 a 5 解下列方程 04991 2 x 0362 2 x 7 016 3 3 2 x03 21 4 2 x 选做题 1 解下列方程 0 9 1 3 2 1 2 x 09 1 4 2 2 x 其中 m n 为常数 0 3 22 nmx 2 已知 x2 y2 1 2 4 求 x2 y2 5 的值 3 已知 x2 9 0 求代数式 x2 x 1 x x2 1 x 7 的值 五 课外作业 1 课本习题 2 2 中 A 组第 1 题和第 2 题 链接中考 1 2011 柳州 方程 x2 4 0 的解是 A x 2 B x 2 C x 2D x 4 2 2011 四川达州 已知关于x的方程x2 mx n 0 的两个根是 0 和 3 则m n 3 2011 江苏淮安 一元二次方程x2 4 0 的解是 4 2012 广西梧州 方程x2 9 0 的解是 x 8 2 2 1 配方法 配方法 2 学习目标 学习目标 1 能熟练地运用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 2 理解 配方 是一种常用的数学方法 进一步体会化归的思想方 法 学习重点 学习重点 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 学习难点学习难点 用配方法将一元二次方程变形为可用直接开平方法解得方程 学习过程 学习过程 一 问题导入 1 知识回忆 1 写出完全平方公式 a b a b 2 解方程 x 3 2 5 0 2 情境导入 小聪说 无论 x 为何实数 代数式 x2 4x 0 2 9 的值恒大于零 你知道这是为什么吗 2 2 探究新知探究新知 请同学们带着以下问题用 10 分钟的时间自学教材 P32 P33 例 3 前的内 容 并完成下面的自学检测题中的练习 1 自学思考题 1 配方的概念是什么 2 用配方法解一元二次方程的关键是什么 3 用配方法解一元二次方程的步骤 2 自学检测 1 把完全平方公式从右到左地使用 填上适当的数 使下列等式成立 x 6x x x 6x x x 6x 4 x 6x 4 x 思考并归纳 你完成这题的方法是 解一元二次方程 x 6x 4 0 由前面受到启发 把方程 写成 x 0 的形式 完成这步 的关键是 这种做法叫做 配方后可 9 以用 方法解方程 完成解方程 的过程 3 自学点拨 对于二次项系数是 1 的一元二次方程 配方的关键在于方程两边同时加上一次 项系数一半的平方 配方后可以用直接开平方法解方程 4 实践交流 例 教材 33 例 3 解 1 x2 10 x 3 观察二次项系数是否为 l x2 2x 12 12 3 在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方 再减去 这个数 使它与原式相等 x 1 2 4 使含未知数的项在一个完全平方式里 说明 用同样的方法讲解 2 让学生熟悉上述过程 进一步明确 配方 的意义 例 引导学生完成 P 33 例 1 补例 解方程 x 2x 3 0 2 学生解答 交流汇报 教师点拨规范解答 解 配方 x 2x 3 0 222 1 即 0 4 1 2 x 把方程左边分解因式 得 x 1 2 x 1 2 0 即 x 1 x 3 0 由此得出 x 1 0 或 x 3 0 解得 3 1 21 xx 补例 完成情境导入中的问题 思路点拨 用配方法将形如 x px q 的二次多项式配方成 x k 2 0h h 0 2 的形式 补例 如图 在 Rt ACB 中 C 90 AC 8m CB 6m 点 P Q 同时 由 A B 两点出发分别沿 AC BC 方向向点 C 匀速移动 它们的速度都是 10 1m s 几秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 B C A Q P 分析 设 x 秒后 PCQ 的面积为 Rt ABC 面积的一半 PCQ 也是直角三角 形 根据已知列出等式 解 设 x 秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 根据题意 得 8 x 6 x 8 6 1 2 1 2 1 2 整理 得 x2 14x 24 0 x 7 2 25 即 x1 12 x2 2 x1 12 x2 2 都是原方程的根 但 x1 12 不合题意 舍去 所以 2 秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 三 应用新知三 应用新知 1 课本 P 33 练习 2 学生相互交流解题经验 四 课堂小结四 课堂小结 1 怎样将二次项系数为 1 的一元二次方程配方 2 用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么 五 达标检测 五 达标检测 必做题 一 选择题 1 一元二次方程 x2 2x 2 0 用配方法解该方程 配方后的方程为 A x 1 2 2 B x 1 2 3 C x 1 2 5 D x 1 2 1 2 把方程 x2 3 4x 配方得 A x 2 2 7 B x 2 2 21 C x 2 2 1 D x 2 2 2 11 3 用配方法解方程 x2 4x 10 的根为 4 若 x2 10 x m2是一个完全平方式 则 m 的值是 A 5 B 5 C 5 D 以上都不对 5 用配方法将二次三项式 a2 4a 5 变形 结果是 A a 2 2 1 B a 2 2 1 C a 2 2 1 D a 2 2 1 二 填空题二 填空题 1 方程 x2 4x 5 0 的解是 2 代数式的值为 0 则 x 的值为 2 2 2 1 xx x 3 已知 x y x y 2 8 0 求 x y 的值 若设 x y z 则原方程可变 为 所以求出 z 的值即为 x y 的值 所以 x y 的值为 2 解下列方程 1 x2 4x 12 0 2 x2 10 x 9 0 3 x2 4x 3 0 4 x2 6x 1 0 三 解答题 1 试说明代数式 x 6x 12 的值不小于 3 2 2 已知 a2 b2 2a 4b 5 0 求 ab的值 选做题 一 选择题 1 将二次三项式 x2 4x 1 配方后得 A x 2 2 3 B x 2 2 3 C x 2 2 3 D x 2 2 3 2 已知 x2 8x 15 0 左边化成含有 x 的完全平方形式 其中正确的是 A x2 8x 4 2 31 B x2 8x 4 2 1 C x2 8x 42 1 D x2 4x 4 11 3 如果 mx2 2 3 2m x 3m 2 0 m 0 的左边是一个关于 x 的完全平方 12 式 则 m 等于 A 1 B 1 C 1 或 9 D 1 或 9 二 解答题 1 求证无论 x 为何实数 代数式 x 4x 4 5 的值恒大于 0 2 2 如果 x2 4x y2 6y 13 0 求 xy z的值 2z 3 代数式 A 2 237mm 代数式 B 2 55mm 试比较代数式 A 与 B 的大小 4 已知 15 2 x x 求 2 2 1 x x 的值 中考链接 1 2012 湖北荆州 3 3 分 将代数式 x2 4x 1 化成 x p 2 q 的形式 A x 2 2 3 B x 2 2 4 C x 2 2 5 D x 2 2 4 2 2011 辽宁本溪 4 3 分 一元二次方程的根 2 1 0 4 xx A B C D 12 11 22 xx 12 2 2xx 12 1 2 xx 12 1 2 xx 4 2012 甘肃兰州 10 4 分 用配方法解方程时 原方程应变 2 250 xx 形为 A B C D 2 1 6x 2 2 9x 2 1 6x 2 2 9x 5 2012 北京 若等式 x2 4x a x 2 2 1 成立 则 a 的值为 A 5 B 4 C 3 D 2 6 2012 台州 如果 2 60 xxp 可以配方成 2 5xq 的形式 那么 A p 3 q 3 B p 9 q 3 C p 9 q 3 D p 4 q 3 13 2 2 1 配方法 3 学习目标 1 使学生知道解完全的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 可以转化 为因式分解法或直接开平方法来解 2 记住配方的关键是 添加的常数项等于一次项系数一半的平方 学习重点 掌握用配方法配一元二次方程 学习难点 凑配成完全平方的方法与技巧 学习过程 一 新课导入 1 知识回忆 用配方法解一元二次方程的步骤是什么 用配方法解方程 x2 6x 4 0 x2 4x 2 学生练习 教师巡回指导 点评学生完成情况 2 情景导入 新实验大楼前有一块长为 16 米 宽为 12 米的矩形荒 地 要建造一个学生实验植物园 要求植物园所占面积为荒地 面积的 一半 下面分是小明设计方案 如图所示 设植物园四 周小路的 宽度均为 x 米 请列出方程 16 2x 12 2x 16 12 整理得 4x2 56x 96 0 提出问题 这样的一元二次方程如何用配方法来解 14 二 探究新知 请同学们带着以下问题用 10 分钟的时间自学教材 P34 P35 的内容 并完 成下面的自学检测题中的练习 1 怎样把方程 2x2 4x 6 0 的二次项系数变为 1 变为 1 后 请求出这个方程 的解 2 怎样把方程 3x2 9x 0 的二次项系数变为 1 变形后 如何把左边配方 3 4 三 例题讲解 1 解方程 2x2 4x 126 0 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题的思路和方法 教师点拨规范解答 思路点拨 用配方法解一元二次方程的基本步骤 首先将方程化为二 次项系数是 1 的一般形式 其次加上一次项系数的一半的平方 再减去这个数 使得含未知数的项在一个完全平方式里 最后将配方后的一元二次方程用直接 开平方法来解 2 引导学生完成课本 P35 议一议 3 补例 1 解下列方程 1 2x2 2 6x 2 2x2 12x 10 0 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题的思路和方法 教师点拨规范解答 思路点拨 用配方法解一元二次方程也可以转化成为适合于直接开平 方法的形式 x m 2 n 解 1 移项 得 2x2 6x 2 二次项系数化为 1 得 x2 3x 1 配方 x2 3x 2 1 2 3 2 3 2 x 2 3 24 13 x 3 22 13 15 x1 x2 2 133 2 133 4 补例 试用配方法证明 代数式 3x2 6x 5 的值不小于 2 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题的思路和方法 教师点拨规范解答 思路点拨 二次三项式的配方的前提是保证代数式的值不变 因此当 二次项系数为 1 时 先直接加上一次项系数一半的平方 再减去这个数 当二 次项系数不为 1 时 应先提取二次项系数将其转化成 1 再配方 通过配方使 代数式出现完全平方式的形式 然后利用完全平方式的特点 使问题得到解决 证明 3x2 6x 5 3 x2 2x 5 3 x2 2x 12 12 5 3 x2 2x 12 5 3 x 1 2 2 因为 x 1 2 0 所以 3 x 1 2 2 2 即代数式 3x2 6x 5 的值不小于 2 实践应用 课本 P35 练习 课堂小结 1 本节课你有哪些收获 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤 学生总结 老师点评 16 达标检测 必做题 1 将二次三项式进行配方 正确的结果应为 76 2 xx A B C D 2 3 2 x2 3 2 x2 3 2 x2 3 2 x 2 用配方法解下列方程时 配方有错误的是 A x2 2x 99 0 化为 x 1 2 100 B x2 8x 9 0 化为 x 4 2 25 C 2x2 7x 4 0 化为 x 2 D 3x2 4x 2 0 化为 x 2 4 7 16 81 3 2 9 10 3 将二次三项式 3x2 8x 3 配方 结果为 A 3 x 2 B 3 x 2 3 C 3 x 2 D 3 x 3 4 3 55 3 4 3 4 3 25 3 4 2 19 4 把方程 3x2 12x 1 0 进行配方 配方正确的是 A 3 x 2 2 5 B 3x 2 2 13 C x 2 2 D 3 x 2 2 13 3 13 5 把方程x2 x 3 0 配方后得到的方程式 2 1 A x 2 7 B x 1 2 7 C x 2 3 D x 2 3 2 1 2 1 4 1 6 用配方法解方程 2x2 3 6x 正确的是 A x 2 x B x 2 x 2 3 4 15 2 3 2 15 2 3 4 15 2 3 2 15 C x 2 原方程无解 D x 2 x 2 3 4 15 2 3 4 7 2 3 2 7 7 把一元二次方程化成的形式是 0323 2 xxnmx 2 3 8 用配方法把方程 3x2 6x 2 化成 x a 2 b 的形式 其中 a b 9 用配方法解下列方程 2x2 3x 2 0 3x2 2x 4 0 3x2 4x 1 0 选做题 1 已知方程可以配方成的形式 那么06x 2 qx7 2 px 17 可以配方成下列的 26x 2 qx A B C D 5 2 px9 2 px9 2 2 px5 2 2 px 2 配方法解方程 2x2 x 2 0 应把它先变形为 3 4 A x 2 B x 2 0 C x 2 D x 2 3 1 9 8 3 2 3 1 9 8 3 1 9 10 3 已知 x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 则 x y z 的值是 A 1 B 2 C 1 D 2 4 方程 左边配成一个完全平方式后 所得到的方程是 0623 2 xx A B C D 18 37 6 2 2 x 18 37 6 2 2 x 18 35 6 2 2 x 18 1 6 6 2 2 x 5 二次三项式的值 74 2 xx A 可以等于 0B 既可以为正也可以为负C 大于 3D 不小于 3 6 方程 左边配成一个完全平方式后 所得到的方程是 0623 2 xx A B C D 18 37 6 2 2 x 18 37 6 2 2 x 18 35 6 2 2 x 18 1 6 6 2 2 x 二 填空题 1 配方 6 415124 22 xx 22 3 2 2 22 xxx 2 如果关于 x 的方程左边可以写成一个完全平方式 则 m02 3 2 2 xmx 的值为 3 无论 x y 取任何实数 多项式 x2 y2 2x 4y 16 的值总是 数 4 如果 16 x y 2 40 x y 25 0 那么 x 与 y 的关系是 三 解答题 1 用配方法解方程 1 9y2 18y 4 0 2 2x2 10 x 52 0 3 2 1 2 4xx 18 2 已知 x2 4x y2 6y 13 0 求 22 2xy xy 的值 3 用配方法说明 无论 x 取何实数 代数式的值不小于 10 1882 2 xx 中考链接 1 2009 呼和浩特 用配方法解方程 则方程可变形为 2 3610 xx A B C D 2 1 3 3 x 2 1 3 1 3 x 2 31 1x 2 2 1 3 x 2 2009 年兰州 用配方法解一元二次方程则方程可变形为 2 213xx A x 2 B 3 x 2 C x 2 D 3x 2 4 3 16 1 4 3 16 1 4 3 16 1 4 3 16 1 3 2011 山西省太原市 用配方法解方程时 原方程应变形为 2 250 xx A B C D 2 16x 2 16x 2 29x 2 29x 4 2012 枣庄市 已知代数式 2 346xx 的值为 9 则 2 4 6 3 xx 的值为 A 18 B 12 C 9 D 7 5 2012 湛江 用配方法解方程时 下面配方错误的是 A x2 2x 99 0 化为 x 1 2 0 B t2 7t 4 0 化为 2 765 24 t C x2 8x 9 0 化为 x 4 2 25 D 3x2 4x 2 0 化为 2 210 39 x 6 2011年 杭州 已知关于 x 的方程 2 x2 b x c 0的两个根是 1 3 则二次三项式2 x2 b x c 因式分解的结果为 A x 1 x 3 B x 1 x 3 C 2 x 1 x 3 D 2 x 1 x 3 19 2 2 22 2 2 公式法公式法 学习目标 1 理解一元二次方程求根公式的推导过程 了解公式法的概念 2 会熟练应用公式法解一元二次方程 学习重点 求根公式的推导和公式法的应用 学习难点 一元二次方程求根公式法的推导 学习过程 一 问题引入 1 知识回忆 学生活动 用配方法解下列方程 1 6x2 7x 1 0 2 4x2 3x 52 2 情境导入 用配方法解一元二次方程 计算比较麻烦 能否研究出一种 更好的方法 迅速求得一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的实数根呢 请 同学独立完成下面这个问题 问题问题 已知 ax2 bx c 0 a 0 且 b2 4ac 0 试推导它的两个根 x1 x2 2 4 2 bbac a 2 4 2 bbac a 二 探究新知 请同学们带着以下问题用 10 分钟的时间自学完教材 P35 P37 动脑筋前的内 容 并完成下面的自学检测中的练习 1 自学思考题 20 如何用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 配方时需要哪几个步骤 方程 x 2 一定有实数根吗 a b 2 a acb 4 42 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由什么决定 求根公式的意义是 什么 为什么在得出求根公式时有限制条件 b2 4ac 0 学生尝试 分组讨论交流 分析公式的特点 记忆公式 2 自学检测 用公式法解方程 2x2 7x 3 时 其中 a b c 的值分别为 一元二次方程 x2 2 3x 则 b2 4ac x1 x2 方程 x2 5x 6 0 的两根为 x1 x2 用公式法解方程 3x2 4 x 时 其中 a b c b2 4ac 方程的根 x1 2 x2 在一元二次方程 2x2 3x 2 0 中 b2 4ac 此方程 实数解 3 自学点拨 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根由方程的系数 a b c 而定 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b 4ac 0 时 将 a b c 代入式子就得到方程的 04 2 4 2 2 acb a acbb x 根 4 实践交流 补例 1 用公式法解下列方程 1 2x2 4x 1 0 2 5x 2 3x2 3 x 2 3x 5 0 4 4x2 3x 1 0 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题的思路和方法 教师点拨规范解答 思路点拨 用公式法解一元二次方程 首先应把它化为一般形式 然后代入 公式即可 21 求根公式是在时求方程的根 如果 0 时 04 2 acbacb4 2 则方程在实数范围内无解 解 3 将方程化为一般形式 3x2 11x 9 0 a 3 b 11 c 9 b2 4ac 11 2 4 3 9 13 0 x 11 131113 2 36 x1 1113 6 x2 1113 6 4 a 4 b 3 c 1 b2 4ac 3 2 4 4 1 70 时 方程的根是什么 它们有怎样的关系 当 b2 4ac0 时 关于 x 的方程 c x2 m b x2 m 2ax 0 有两个相等的实数根 求证 ABC 为 Rt 课外作业 课本习题 2 3 中 A 组第 1 2 题 选做 B 组第 3 4 题 中考链接 1 1 2011 福建福州 一元二次方程x x 2 0 根的情况是 A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根 C 只有一个实数根 D 没有实数根 2 2009 安徽 方程 x2 3x 1 0 的根的情况是 A 只有一个实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 没有实数根 3 2010 年 长沙 下列一元二次方程有实数根的是 A x2 x 1 0 B x2 2x 3 0 C x2 x 1 0 D x2 4 0 4 2012 年 北京 关于 x 的方程 x2 2x m 0 有两个相等的实数根 则 m 的值为 5 2010 贵州 已知关于 x 的一元二次方程 x2 x n 0 有两个相等的实数m 33 根 那么 m n 6 2010 上海 若关于 x 的方程 mx2 3m 1 x 2m 1 0 的根的判别式等于 1 求 m 的值及该方程的根 一元二次方程的解法综合练习课一元二次方程的解法综合练习课 学习目标 1 了解一元二次方程的各种解法 会选择适当的方法解一元二次方程 2 能根据判别式准确判断一元二次方程根的情况 34 学习重点 能正确地选择适当的方法解一元二次方程 学习难点 熟练解出一元二次方程的解 学习过程 一 自主思考题 思考下列问题 1 一元二次方程的解法有哪几种 其基本思想是什么 它们之间有什么区别和 联系 2 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么 配方的关键是什么 3 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么 求根公式是怎样推导出来的 4 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么 5 如何利用 b2 4ac 来判断一元二次方程根的情况 都是有哪几种情况 6 求取的方程的解都符合题意吗 有什么判断依据 思路点拨 师生共同思考以上几个问题 在解一元二次方程时 往往首先把方程转化成一 般形式 然后再去观察到底使用那种方法 注意配方法的关键是方程两边同时 加上一次项系数一半的平方 二次项系数为 1 时 求根公式不要死记 要掌握 推导过程 b2 4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点 要灵活掌握 二 自学检测 1 一元二次方程 x2 ax 6 0 配方后为 x 3 2 3 则 a 2 已知关于 x 的方程 a2 1 x2 1 a x a 2 0 下列结论正确的是 A 当 a 1 时 原方程是一元二次方程 B 当 a 1 时 原方程是一元二次方程 C 当 a 1 时 原方程是一元二次方程 D 原方程是一元二次方程 3 请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程 4 下列方程是一元二次方程的是 A B x x 1 x2 3 C 3x2 y 1 0 D 2 21 3 x 05 1 2 x x 31 5 x 35 5 方程 x2 8x 5 0 的左边配成完全平方式后所得的方程是 A x 6 2 11 B x 4 2 11 C x 4 2 21 D 以上答案都不 对 6 关于 x 的一元二次方程 m 2 x2 2m 1 x m2 4 0 的一个根是 0 则 m 的值是 A 2 B 2 C 2 或者 2 D 1 2 7 要使代数式 2 2 23 1 xx x 的值等于 0 则 x 等于 A 1 B 1 C 3 D 3 或 1 8 三角形两边长分别是 6 和 8 第三边长是 x2 16x 60 0 的一个实数根 求该 三角形的第三条边长 三 例题讲解 例 1 选择适当的方法解下列方程 1 2 3 5 12 2 x0910 2 xx0243 2 xx 4 5 0582 2 xx363 2 xx 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题的思路和方法 教师点拨规范解答 思路点拨 1 教师可以选择其中一题示范三种方法 最终选择最好的方法 当 然 学生可以自主选择方法 学生板演 教师点评 2 解一元二次方程一般有以下四种方法 直接开平方法 因式分解法 配方法 求根公式法 1 当方程形如 x a 2 b b 0 时 可用直接开平方法 2 当方程左边可以直接简单因式分解时 可选用因式分解法 3 配方 法是一种重要的解法 尤其要熟悉配方法的整个过程 但解一般方程不选用这 种解法 4 公式法是一元二次方程最重要的 最常用的解法 任何一元二 次方程都可以选用这种解法 我们有时也称它为万能公式 例 2 关于 x 的一元二次方程032 1 2 xxm 1 当 m 取何值时 此方程有两个不相等的实数根 36 2 当 m 取何值时 此方程有两个相等的实数根 3 当 m 取何值时 此方程没有实数根 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题的思路和方法 教师点拨规范解答 思路点拨 解题时 注意 再结合 b2 4ac 来判断 01 m1 m 四 课堂小结 可由学生自己完成 教师作适当补充 1 解一元二次方程时 首先把方程转化成一般形式观察 首先考虑因式分解法 若不行再选择其它 方法 2 解方程时要细心 注意符号运算及每一步细节 3 遇实际问题时 方 程的解要符合实际意义 4 b2 4ac 来判断一元二次方程根的情况 同时能根据根的情况来判断某些字母 系数的取值范围 达标检测 1 解方程较简便的方法是 05 3 5 2 xx A 直接开平方法 B 因式分解法 C 配方法 D 公式法 2 解下来方程 3x2 27 0 4x2 4x 1 0 12x2 12 25x 3 4x 1 2 4 4x 1 较简便的方法是 A 依次为 因式分解法 公式法 配方法 因式分解法 B 依次为 因式分解法 配方法 公式法 因式分解法 C 用因式分解法 用公式法 D 用因式分解法 用公式法 3 判断下列方程是不是一元二次方程 1 4x x 3 0 2 3x y 1 0 3 ax x c 0 4 x2 0 2 1 x 1 37 4 2007 安徽 已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数 2 2xmx 根 则m的取值范围是 A m 1 B m 2 C m 0 D m 0 5 已知关于 x 的方程 m 1 x m 1 x 2m 1 0 当 m 时是一元二次 方程 当 m 时是一元一次方程 当 m 时 x 0 6 如果二次三项式是完全平方式 那么 m 9 1 2 4 mxx 7 关于 y 的一元二次方程 2y y 3 4 的一般形式是 它的二次项 系数是 一次项是 常数项是 8 已知一元二次方程 3x2 2x a 0 有两个不相等的实数根 则 a 的取值范围是 9 用适当的方法解方程 1 2 3 xxx 4 4 0132 2 xx 22 1 3 4 xx 4 80 2 2 5 4 x 选做题 1 求证 方程对于任何实数 m 永远有两个不074 1 32 22 mmxmx 相等的实数根 2 2007 宁波 已知关于 x 的方程0 1 2 22 mxmx 1 当 m 取何值时 方程有两个实数根 2 为 m 选一个合适的整数 使方程有两个不相等实数根 并求出这两个根 3 阅读材料 解答问题 为了解方程 y 1 3 y 1 2 0 我们将 y 1 视为一个整体 解 设 y 1 a 则 y 1 a 原方程可化为 a 3a 2 0 1 解得 a1 1 a2 2 当 a 1 时 y 1 1 解得 y1 y2 当 a 2 时 y 1 2 解得 y3 y4 38 解答问题 1 在由原方程得到方程 1 的过程中 利用了 法达到了降次的目的 体现了 的数学思想 2 请利用上述方法解方程 x2 x 2 2x2 2x 3 0 2 42 4 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 第 1 课时 学习目标 1 掌握一元二次方程根与系数的关系 2 能运用根与系数的关系求 已知方程的一个根 求方程的另一 个根及待定系数 根据方程求代数式的值 学习重点 一元二次方程根与系数的关系 学习难点 运用根与系数的关系解决问题 学习过程 新课导入 1 知识回忆 你能说说一元二次方程的求根公式吗 一元二次方程根的判别式有何意义 与它的根有什 么关系 问题 前面我们已经学会了一元二次方程的解法 求根公式揭示了两根与 系数间的直接关系 那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢 自主探究一 1 请大家完成下面的表格 方程 x1x2 21 xx 21x x x 032 2 x x2 5x 6 0 2 观擦上面的规律 运用你发现的规律填空 1 已知方程 x的根是 x 和 x 则 2 074 x 1221 xx 21x x 2 已知方程 x 3x 5 0 的根是 x 和 x 则 2 1221 xx 21x x 3 如果方程的根是 x 和 x 则 0 x 2 nmx 1221 xx 21x x 交流展示 39 探究点拨 1 关于 x 的方程的两根 与系数 2 0px q x x1x2 p q 的关系是 p xx 21 q xx 21 2 根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零 自主探究二 1 请大家完成下面的表格 方程 x1x2 21 xx 21x x 2 观擦上面的规律 运用你发现的规律填空 1 已知方程 2x 4x 1 0 的根是 x 和 x 则 2 1221 xx 21x x 2 已知方程 6x 3x 2 0 的根是 x 和 x 则 2 1221 xx 21x x 3 如果方程的根是 x 和 x 那么 0 0 2 acbxax 1221 xx 21x x 交流展示 探究点拨 1 形如的方程 可以先将二次项系数化为 0 0 2 acbx ax 1 再利用探究一的结论 即 对于方程 0 0 2 acbx ax 0 a 0 2 a c x a b x a b xx 21 a c xx 21 2 也可以利用求根公式给出证明 3 这就是一元二次方程根与系数的关系 它是由法国的数学家韦达发现 0169 2 x x 0143 2 x x 40 的 所以我们又称之为韦达定理 4 掌握一元二次方程根与系数的关系 不解方程 运用根与系数的关系由 已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数 能够求一元二次方程两个 根的倒数和与平方数 两根之差 实践应用 例 1 1 已知方程的一个根是 3 求方程的另一个根及 02 2 cxx c 的值 2 已知方程 2x2 kx 9 0 的一个根是 3 求另一根及 k 的值 例 2 已知方程的根是 x 和 x 求下列式子的值 065 2 xx 12 1 2 3 x x 4 x 2 x 2 2 2 2 1 xx 21x x 1 2 2 1 x x x x 1212 x x 2 6 12 21 11 xx 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题思路与方法 教师点拨规范解答 思路点拨 1 运用根与系数的关系 求某些代数式的值 关键是将所求的代数 式恒等变形为用 x1 x2和 x1x2表示的代数式 2 步骤 求出 x1 x2 x1x2的值 将所求代数式用 x1 x2 x1x2的代数式表示 将 x1 x2 x1x2的值代入求值 课堂小结 1 本节课你有何收获 2 根与系数关系使用的前提是 1 是一元二次方程 2 判别式大于等于零 达标检测 必做题 1 已知方程的两个根分别是 x 和 x 则 043 2 xx 1221 xx 21x x 2 2 如果方程 2的两个根分别是 x 和 x 则 054 2 xx 1221 xx 21x x 3 已知方程的两个根分别是 2 与 3 则 0 2 baxx a b 41 4 已知 3 是方程 x2 mx 7 0 则方程的另一根是 m 2 5 已知方程 2的两个根分别是 x 和 x 求下列式子的值 054 2 xx 12 1 x 2 x 2 2 12 2 221 2 1 xxxx 选做题 1 已知关于 x 的方程 x2 mx n 0 的两根分别是 2 和 2 则 m n 33 2 已知关于 x 的方程 x2 6x k 0 的两根分别是 m 和 n 且 3m 2n 0 则 k 3 以 2 3 为根的一元二次方程是 4 设 x x 是方程 2x2 6x 3 0 的两根 则 2 2 12 1x2x 5 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个实数根 求这个直角三角形的斜边长 链接中考 1 2011 年 昆明 设 x x 是方程 2x2 7x 4 0 的两根 则与的 12 21 xx 21x x 值分别为 A 2 B 2 C 2 D 2 2 7 2 7 2 7 2 7 2 2011 年 武汉 设 x x 是方程 x2 4x 3 0 的两个根 则的值是 12 21x x A 4 B 3 C 4 D 3 3 2011 年 南通 已知 3 是关于 x 的方程的 x2 5x c 0 一个根 此方程的另一 个根为 A 2 B 2 C 5 D 6 4 2012 年 烟台 设 a b 是关于 x 的方程的 x2 x 2012 0 两个根 则 a2 2a b 的值为 A 2009 B 2010 C 2011 D 2012 5 2009 年 包头 关于 x 的一元二次方程的 x2 mx 2m 1 0 的两个实数根分别 是 x x 且 2 2 7 则 x x 2 的值为 12 1x2x 12 A 1 B 12 C 13 D 25 42 6 2011 年 苏州 已知 a b 是方程 x2 2x 1 0 的两个根 则代数式 a b a b 2 ab 的值是 7 2011 年 德州 已知关于 x 的一元二次方程的 x2 mx 6 0 的一个根是 2 则 m 另一个根为 8 2011 年 深圳 已知 x x 是方程 x2 2x a 0 的两个实数根 且 12 x 2x 3 12 2 求 x x 及 a 的值 12 求 3 32 2x x 的值 1x1x 12 2 4 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 第 2 课时 学习目标 1 熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系 2 灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题 学习重点 一元二次方程根与系数关系的灵活运用 学习难点 与根的判别式的综合运用 学习过程 新课导入 1 知识回忆 一元二次方程的根与系数的关系 结论 如果 ax2 bx c 0 a 0 的两个根是 x1 x2 那么 a c xx a b xx 2121 结论 如果方程 x2 px q 0 的两个根是 x1 x2 那么 x1 x2 p x1 x2 q 2 已知 x1 x2 是方程 2x2 3x 1 0 的两个根 不解方程 求下 列 代数式的值 1 2 2 2 1x2x 21 11 xx 3 2 2 4 1x2x1x2x 1 2 2 1 x x x x 一元二次方程根与系数的关系充分刻画了两根和与两根积和方程系数的关 43 系 它的应用不仅在验根 已知一根求另一根及待定系数 k 的值 还在其它数 学问题中有广泛而又简明的应用 例题讲解 例 1 已知关于 x 的方程 x2 2x m 9 没有实数根 求证 关于 y 的方程 y2 my 2m 5 0 一定有两个不相等的实数根 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题思路与方法 教师点拨规范解答 思路点拨 已知中由根的判别式的逆用可以确定 m0 故关于 y 的方程一定有两个不相等的实 数根 例 2 已知实数 a b 满足 a2 3a 1 0 b2 3b 1 0 且 a b 求的值 b a a b 学习步骤 尝试解答 交流汇报 学生汇报解题思路与方法 教师点拨规范解答 思路点拨 如果根据求根公式求出 a b 的值 再代入计算 显然运算量较大 但注意到关于 a b 的两个等式除字母外 系数完全一样 由 a b 根据根的 定义 a b 是方程 x2 3x 1 0 的两个根 由根与系数的关系使问题得到解决 例 3 已知关于 x 的方程 x2 2k 1 x k2