高中物理竞赛教程：1.4《气体分子运动论》

用心 爱心 专心 1 4 1 4 气体分子运动论气体分子运动论 1 1 4 14 1 分子运动论的基本点分子运动论的基本点 1 宏观物体由大量分子组成 分子直径的数量级一般为m 10 10 分子质量 为 kg 27 10 在标准状态下 气体分子的数密度为 325 1069 2 mkTPn 319 1069 2 cm 2 物体内的分子永不停息地作无规则运动 这是根据布朗运动和扩散现象 得出的结论 实验表明扩散的快慢和布朗运动的激烈程度与温度的高低有明显的 关系 由此常把大量子的无规则运动称为热运动 热运动是物质运动的一种基本 形式 热现象是它的宏观表现 气体分子热运动的平均速率与温度的关系为 M RT m kT 88 常温下 12 10 smv 3 分子之间存在的相互作用力 分子之间同时存在引力和斥力 它们都随 距离的增大而减小 其合力具体表现为相吸引还是相排斥 取决于分子间的距离 当 mr 10 0 10 时 合力为零 分子间的距离 0 r 的位置称为平衡位置 当 r 0 r 时 分子力表现引力 当 r 0 r 时 分子力表现为斥力 当 r m 9 10 时 分子力可忽 略不计 分子力是保守力 存在着由分子和分子间相对位置所决定的势能称为分 子力势能 分子力和热运动是决定物体宏观性质的基本因素 分子力作用倾向于使分子 聚集一起 在空间形成某种有序排列 热运动却力图造成混乱存在向外扩散的趋 势 1 1 4 4 2 2 理想气体的微观模型 理想气体的微观模型 先来作个估算 在标准状态下 1mol 气体体积 133 0 104 22 moImV 分子 用心 爱心 专心 数 123 1002 6 moINA 若分子直径md 10 100 2 则分子间的平均间距 mNVL A 93 1 0 1034 3 相邻分子间的平均间距与分子直径相比 17 dL 由此可知 气体分子间的距离比较大 在处理某些问题时 可以把气体分子 视为没有大小的质点 同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外 分子力也忽略不计 分子在空间自由移动 也没有分子势能 因此理想气体是指 分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体 这一微观模型与气体愈稀薄愈 接近于理想气体的宏观概念是一致的 1 1 4 4 3 3 理想气体的压强 理想气体的压强 宏观上测量的气体施给容器壁的压强 是大量气体分子对器壁不断碰撞的结 果 在通常情况下 气体每秒碰撞 2 1cm的器壁的分子数可达 23 10 在数值上 气 体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量 其表达式为 K nP 3 2 式中 n 是分子数密度 2 2 1 m K 是分子的平均平动动能 n 和K 增大 意味着 单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多 分子碰撞器壁一次给予器壁的平均 冲量增大 因而气体的压强增加 1 1 4 4 4 4 温度的微观意义 温度的微观意义 将 nkTP 式代入 K nP 3 2 式后 可以得到气体分子的平均平动动能为 kT K 2 3 这被称为气体温度公式 温度升高 分子热运动的平均 图 1 4 1 用心 爱心 专心 平动动能增大 分子热运动加剧 因此 气体的温度是气体分子平均平动能的标 志 是分子热运动剧烈程度的量度 例 1 质量为1 m 的圆筒水平地放置在真空中 质量2 m 厚度可忽略的活塞将 圆筒分为体积相同的两部分 图 1 4 1 圆筒的封闭部分充有 n 摩尔的单原子理 想气体 气体的摩尔质量为 M 温度为 0 T 突然放开活塞 气体逸出 试问圆筒 的最后速度是多少 设摩擦力 圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略 不计 KT278 0 kgm6 0 1 kgm3 0 2 moIn25 氦的摩尔质量为 moIkg 104 3 KmoIJcV 6 12 3 5 r 解 解 过程的第一阶段是绝热膨胀 膨胀到两倍体积后 图 1 4 2 温度将是 T 根据绝热方程 有 1 0 1 00 2 rr VTVT 因此 1 0 2 r T T 圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失 即 22 2 11 2 22 0 vmvm TTncV 根据动量守恒定律 1122 vmvm 解上述方程 得过程第一阶段结束时的圆筒速度 1 2 2 1 1 0 1 m m m TTnc v V 由此得出结论 在过程第一阶段的最后瞬间 圆筒以速度1 v 向右运动 此时 活塞正好从圆筒冲出 1 v 2 v m1 m2 图 1 4 2 用心 爱心 专心 我们把坐标系设置在圆筒上 所给的是一个在真空中开口的圆筒 筒内贮有 质量为nM 温度为T的气体 显然 气体将向左上方流动 并推动圆筒向右以 速度 x v 运动 气体分子的动能由下式给出 nRT Mnvm 2 3 2 2 式中 m v 是分子的平均速度 注 指均方根速率 它由下述关系给定 M RT vm 3 平衡状态下各有 1 6 的分子在坐标轴方向来回运动 在计算气体逸出时 假 定有 1 6 的分子向圆筒的底部运动 这自然只是一级近似 因此 6 nM 的质量 以速度 m v 向圆筒底部运动 并与筒底弹性碰撞 之后圆筒以速度 x v 气体以速度 g v 运动 对于弹性碰撞 动量守恒定律和机械守恒定律成立 由动量守恒有 xgm vmv nM v nM 1 66 由机械能守恒有 22626 2 1 2 2 x g m vm nMv nMv 解以上方程组 得到气体逸出后的圆筒速度为 M RT nMm nM v nMm nM v mx 3 6 2 6 2 11 气体分子的 1 6 以速度 g v 反弹回来 g v 的绝对值要小于 m v 气体必然有较低的温度 其一部分内能使圆筒的动能增加 速度相加后得圆 筒速度为 x