高中数学《圆的标准方程》学案5 新人教A版必修2

用心 爱心 专心1 5 5 圆的方程 圆的方程 一 内容归纳一 内容归纳 1 知识精讲知识精讲 圆的方程圆的方程 1 标准式 标准式 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中 r 为圆的半径 a b 为圆心 2 一般式 一般式 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 其中圆心为 半径为 2 D 2 E 2 1 FED4 22 3 直径式 直径式 x x1 x x2 y y1 y y2 0 其中点 x1 y1 x2 y2 是圆的一条直径的两 个端点 用向量法证之 4 半圆方程 半圆方程 等 dxbxcybaxry 2 2 2 5 圆系方程 圆系方程 i 过圆 C x2 y2 Dx Ey F 0 和直线 l Ax By C 0 的交点的圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 ii 过两圆 C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 的交点的圆的方程为 x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 1 该方程不包括圆 C2 时为一条直线方程 相交两圆时为公共弦方程 两等圆时则为两圆的对称1 轴方程 6 6 圆的参数方程圆的参数方程 圆心在 0 0 半径为 r 的圆的参数方程为 为参数 sin cos ry rx 圆心在 a b 半径为 r 的圆的参数方程为 为参数 sin cos rby rax 圆的一般方程与二元二次方程圆的一般方程与二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 的关系 的关系 二元二次方程表示圆的充要条件 A C 0 B 0 D2 E2 4AF 0 二 问题讨论二 问题讨论 例例 1 根据下列条件 求圆的方程 1 和圆 x2 y2 4 相外切于点 P 1 且半径为 4 3 2 经过坐标原点和点 P 1 1 并且圆心在直线 2x 3y 1 0 上 3 已知一圆过 P 4 2 Q 1 3 两点 且在 y 轴上截得的线段长为 4 求圆的方3 程 解 解 1 设圆心 Q 的坐标为 a b O 与 Q 相外切于 P O P Q 共线 且 由定比分点公式求得 a 3 b 3 QP OQ 4 6 2 3 3 用心 爱心 专心2 所求圆的方程为 x 3 2 y 3 2 163 2 显然 所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上 OP 的垂直平分线方程为 即 x y 1 0 22 yx 22 1 1 yx 解方程组 x y 1 0 2x 3y 1 0 得圆心 C 的坐标为 4 3 又圆的半径 r OC 5 所求圆的方程为 x 4 2 y 3 2 25 3 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 将 P Q 点的坐标分别代入 得 4D 2E F 20 D 3E F 10 令 x 0 由 得 y2 Ey F 0 由已知 y1 y2 4 其中 y1 y2是方程 的两根 3 y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 E2 4F 48 组成的方程组 得 D 2 D 10 E 0 或 E 8 F 12 F 4 故所求圆的方程为 x2 y2 2x 12 0 或 x2 y2 10 x 8y 4 0 思维点拔思维点拔 无论是圆的标准方程或是圆的一般方程 都有三个待定系数 因此求圆的无论是圆的标准方程或是圆的一般方程 都有三个待定系数 因此求圆的 方程 应有三个条件来求 一般地 已知圆心或半径的条件 选用标准式 否则选用一般方程 应有三个条件来求 一般地 已知圆心或半径的条件 选用标准式 否则选用一般 式 式 例例 2 优化设计 P112 例 1 设为两定点 动点 P 到 A 点的距离 0 0 0 ccBcA 与到 B 点的距离的比为定值 求 P 点的轨迹 0 aa 解 设动点 P 的坐标为 x y 由 a ycx ycx aa PB PA 22 22 0 得 化简得 0 1 1 1 2 1 2222222 yaacxacxa 当 整理得 0 1 1 2 1 22 2 2 2 ycx a ac xa得时 2 2 22 2 2 1 2 1 1 a ac yc a a x 当 a 1 时 化简得 x 0 所以当时 P 点的轨迹是以为圆心 为半径的圆 1 a 0 1 1 2 2 c a a 1 2 2 a ac 当 a 1 时 P 点的轨迹为 y 轴 评述评述 上述解法是直接由题中条件 建立方程关系上述解法是直接由题中条件 建立方程关系 然后化简方程 这种求曲线方程的 然后化简方程 这种求曲线方程的 方法称为直接法 方法称为直接法 例 3 优化设计 P112 例 2 一圆与 y 轴相切 圆心在直线上 且直线截03 yxxy 圆所得的弦长为 求此圆的方程 72 用心 爱心 专心3 解 因圆与 y 轴相切 且圆心在直线上 故设圆方程为03 yx 由于直线截圆所得的弦长为 则有 222 9 3 bbybx xy 72 解得 故所求圆方程为 222 9 7 2 3 b bb 1 b 或9 1 3 22 yx9 1 3 22 yx 评述评述 求圆的弦长方法求圆的弦长方法 1 几何法 用弦心距 半径及半弦构成直角三角形的三边 几何法 用弦心距 半径及半弦构成直角三角形的三边 2 代数法 用弦长公式 代数法 用弦长公式 4 1 21 2 21 2 xxxxk 例 4 已知 O 的半径为 3 直线 与 O 相切 一动圆与 相切 并与 O 相交的公共弦ll 恰为 O 的直径 求动圆圆心的轨迹方程 解 取过 O 点且与 平行的直线为 x 轴 过 O 点且垂直于l 的直线为 y 轴 建立直角坐标系 l O 与 M 的公共弦为 AB M 与 切于点 C 则lMCMA O 的直径 MO 垂直 平分 AB 于 O 由勾股定理得9 22 222 yxAOMOMA 2 22 39 yyx 即 这就是动圆圆心的轨迹方程xy6 2 点评点评 建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单 所求方程的形式较建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单 所求方程的形式较 整齐整齐 备用题 备用题 例例 5 设定点 M 3 4 动点 N 在圆 x2 y2 4 上运动 以 OM ON 为两边作平行四边 形 MONP 求点 P 的轨迹 解 解 本题关键是找出动点 P 与定点 M 及已知动点 N 之间的联系 用平行四边形对角 线互相平分这一定理即可 设 P x y N x0 y0 则线段 OP 的中点坐标为 2 x 2 y 线段 MN 的中点坐标为 2 3 0 x 2 4 0 y 因为平行四边形对角线互相平分 故 2 x 2 3 0 x 2 y 2 4 0 y y B O M A C x 用心 爱心 专心4 从而 x0 x 3 y0 y 4 N x 3 y 4 在圆上 故 x 3 2 y 4 2 4 因此所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 但应除去两点 和 5 9 5 12 5 21 5 28 思维点拔思维点拔 求与圆有关的轨迹问题 充分利用圆的方程和圆的几何性质 找出动点 求与圆有关的轨迹问题 充分利用圆的方程和圆的几何性质 找出动点 与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件 与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件 例例 6 已知圆的方程是 x2 y2 2ax 2 a 2 y 2 0 其中 a 1 且 a R 1 求证 a 取不为 1 的实数时 上述圆恒过定点 2 求与圆相切的直线方程 3 求圆心的轨迹方程 解 将方程 x2 y2 2ax 2 a 2 y 2 0 整理得 x2 y2 4y 2 a 2x 2y 0 令 x2 y2 4y 2 0 x y 0 解之得 x 1 y 1 定点为 1 1 2 易得已知圆的圆心坐标为 a 2 a 半径为 a 1 2 设所求切线方程为 y kx b 即 kx y b 0 则圆心到直线的距离应等于圆的半径 即 a 1 恒成立 1 2 2 k baka 2 整理得 2 1 k 2a2 4 1 k2 a 2 1 k2 k 1 2a2 2 b 2 k 1 a b 2 2恒成立 比较系数可得 2 1 k2 k 1 2 4 1 k2 2 b 2 k 1 2 1 k2 b 2 2 解之得 k 1 b 0 所以 所求的切线方程是 y x 3 圆心坐标为 a a 2 又设圆心坐标为 x y 则有 x a y 2 a 消去参数得 x y 2 为所求的圆心的轨迹方程 思维点拔思维点拔 本题是含参数的圆的方程 与圆的参数方程有本质的区别 当参数取某 本题是含参数的圆的方程 与圆的参数方程有本质的区别 当参数取某 一确定的值时 方程表示一个确定的圆 当一确定的值时 方程表示一个确定的圆 当 a 变动时 方程表示圆的集合 即圆系 解本变动时 方程表示圆的集合 即圆系 解本 题题 1 可用分离系数法求解 可用分离系数法求解 2 可用待定系数法求解 可用待定系数法求解 3 可用配方法求解 可用配方法求解 一般地 过两圆一般地 过两圆 C1 f x y 0 与与 C2 g x y 0 的交点的圆系方程为 的交点的圆系方程为 f x y g x y 0 为参数为参数 三 课堂小结三 课堂小结 1 求圆的方程 主要用待定系数法 有两种求数 一是利用圆的标准方