金融的数学模型与方法试题A评分标准

试卷第 1 页 共 6 页 莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准 2010 2011 学年 第 1 学期 A 卷 卷 课程名称 金融的数学模型与方法 适用年级 专业 08 金融 试卷类别试卷类别 开卷 开卷 闭卷 闭卷 学历层次 学历层次 本科本科 考试用时 考试用时 120120 分钟分钟 考生注意 答案要全部抄到答题纸上 做在试卷上不给分 一 填空题 每小题 3 分 共 12 分 1 一张在确定时间 按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约 2 r T t ttt cKepS 3 在相反方向交易份额的原生资产 使得构成的投资组合 S VS 4 其中为正常数 表示标准的 drbar dtdBdBdBdt a b B t Brown 运动 为风险的市场价格 二 计算题 30 分 1 15 分 分 设今日为 1 月 1 日 现股价为 70 元 无风险利率为 4 若在三个月 期间 每一个月股价有两种可能 或上升 5 或下降 5 若购买一张 3 月 31 日到期的 敲定价为 70 元的看跌期权 如按合约规定 第 2 个月月底持有人有权提前实施期权 问期权金为多少 解 依题意得 1 1 5 1 05 1 5 0 95 11 0033 12 udtr t 年 0 70 70SK 0 53 10 47 du pp udud 令 5 分 0 03 0 nnnn n SS udVV Stnn 试卷第 2 页 共 6 页 33 2332 1 122 1 011 001 3 03 1 max 1 2 02 1 1 1 01 1 1 VKSn VpVp VKSn VpVp Vn VpVp V 经计算可得 10 分 0 0 2 35V 2 15 分 分 若随机过程分别适合随机微分方程 tt X Y 1122 tttt dXdtdWdYdtdW 其中 表示相应的期望回报率 表示相应的波动率 表示标准的 Brown 12 12 t dW 运动 求 t t X d Y 解 由公式可得 Ito 8 分 2 223 11 ttt ttttt ttttt XXX ddXdYdX dYdY YYYYY 7 分 2 212 223 2 212 23 1 tt tt tttt tttttt tt XX dXdYdtdt YYYY YdXX dYXY dt YY 三 证明题 共 30 分 1 15 分 分 证明欧式看跌期权的价格是敲定价格的凸函数 即设 t p KK 则有 12 KK 12 1 01 KKK 12 1 ttt p Kp Kp K 证 在时刻构造两个投资组合 t tT 1122 1 p Kp Kp K 试卷第 3 页 共 6 页 在期权的到期日 tT 1122 1 TTTTT VKSKSVKS 当时 1T SK 12 0 TT VV 当时 8 分 1T KSK 112 0 TTT VKSV 当时 2T KSK 11212 1 TTTTTT VKSVKSKSKS 即 12 TT VV 当时 2T SK 1122 1 TTTTT VKSKSKSV 因此在 tT 12 TT VV 而 1221 prob prob0 TTT VVKSK 由无套利原理立得 7 分 12 tt VV 2 15 分 分 设是利率为 红利率为 敲定价为的欧式看涨期权 N h cr q K rqK 价格 这里 0 0 0 N hN h tNhthNSSS udNh 证明 当时 12 rr 12 N hN h cr q Kcr q K 证 记 1122 1122 1122 1 1 1 1 r trt dudu pppp udududud 当时 0h 12 NN cr q Kcr q K 当时 1h 试卷第 4 页 共 6 页 1 111111 1 12112 1 11 212 1 1 1 1 11 NNN NN NN cr q Kp cr q Kp cr q K p cr q Kp cr q K du cr q Kcr q K udud 11 12 212 21 1111 1111 21 111 111 NN NN NNNN cr q Kcr q K dcr q Kucr q K ud cSKdcSKu ud 由于 则 又根据看涨期权关于敲定价格递减 可知 12 rr 21 11 0 即 10 分 1111 1111 0 NNNN cSKdcSKu 11 12 NN cr q Kcr q K 假设当时 成立 则当时 hm 12 N mN m cr q Kcr q K 1hm 1 111111 1 12112 1 11 1212 1 1 1 1 11 N mN mN m N mN m N mN m cr q Kp cr q Kp cr q K p cr q Kp cr q K du cr q Kcr q K udud 11 12 212 21 1111 1111 21 111 111 0 N mN m N mN m N mN mN mN m cr q Kcr q K dcr q Kucr q K ud cSKdcSKu ud 即由归纳法 可证命题成立 5 分 试卷第 5 页 共 6 页 四 综合题 共 28 分 1 12 分 分 若股票不付红利 对于美式看跌股票期权 试说明股价下跌到S 一定程度 提前实施是必要的原因 答 答 若在时刻 那么持有人必须提前实施 4 分t 1 r T t t SKe 因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过 但若在 时刻Kt 提前实施 当时获益把这个收益存入银行 1 r T tr T t t KSKKeKe 它在的总收入将超过 因此此时提前实施是必要的 8 分K 2 16 分 分 叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点 并建立认股权证 的数学模型 答 答 认股权证的定义 持有人在确定的时间 按确定的价格按规定的股数买入一 特定公司的股票 与欧式看涨期权的异同点 共同点 两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票 不同点 1 认股权证所买入的股票是上市公司所发行的新股票 而欧式看涨期权所 购买的股票不一定是新发行的 2 认股权证有效期一般为几年 而看涨期权有效期一般为几个月 6 分 认股权证的数学模型 基本假定 1 假定公司有股普通股股票和份已发行的认股权证 W Nn 2 认股权证的有效期为 且每份认股权证授权持有者以元购买一股股TE 票 3 假定公司资产价值过程演化服从几何 Brown 运动 t V 试卷第 6 页 共 6 页 tttt dVVdtVdB 这里 表示期望收益率表示波动率 为标准的 Brown 运动过程0 0 t B 认股权证数学模型 0 0 W V tVtT 1 当时 由于执行认股权证 公司总价值为 股票的数量为 tT VnE Nn 每份股票的价值为 因此当时 而当 VnE Nn VnE E Nn VnE W V TE Nn 时 即当时 VnE E Nn 0W V T tT VnE W V TE Nn 2 当时 0 0VtT 在 时刻 构造投资组合 选取适当的使得在内 是无风tWV t tdt