浙师大《初等数论》模拟试卷(F)

浙江师范大学浙江师范大学 初等数论初等数论 考试卷 考试卷 F 卷 卷 2001 2002 学年第一学期 考试类别 使用学生数理学院数学专业 98 本科 考试时间 120 分钟表 出卷时间 2000 年月日 12 月 28 日 说明 考生应有将全部答案写在答题纸上 否则作无效处理 一 填空 36 分 1 d 1000 1000 1000 2 n 若则 n 为 1 mod01 1 nn 3 不能表示成 5X 3Y X Y 非负 的最大整数为 4 7 在 2003 中的最高幂指数是 5 1515 600 6 有解的充要条件是 modmbax 7 威尔逊定理是 8 写出 6 的一个简化系 要求每项都是 5 的倍数 9 化为分数是 23 0 10 的末位数是 2003 2 11 2 3 12 1 P n P 13 且能被 4 5 7 整除 则最小的是 1 xx 14 被 7 除后的余数为 5050 6666688888 15 两个素数的和为 31 则这两个素数是 16 带余除法定理是 二 解同余方程组 12 分 7 mod1 8 mod3 5 mod2 x x x 三 叙述并且证明费尔马小定理 12 分 四 如果整系数的二次三项式 时的值都是奇数 1 0 2 xcbxxxp当 证明 没有整数根 6 分 0 xp 五 设 为奇素数 则有 8 分 1 mod1 1 21 111 pp ppp 2 mod0 1 21pp ppp 六 证明 对任何正整数 有 6 分 354525 345 nmk 七 证明 是无理数 8 分 3 八 试证 对任何的正整数不能被 4 整除 6 分 2 2 nn 九 解不定方程 6 分 1054 yx 初等数论 模拟试卷 F 答案 一 1 16 2340 9360 1 素数 2 7 3 331 4 15 5 b ma 6 mod01 1 pp 7 5 25 8 90 29 9 8 10 3 11 n p 12 140 13 5 14 2 29 15 a b 是两个整数 b 0 则存在两个惟一的整数 q r 使得 brrbqa 0 二 由孙子定理 280 mod267 x 三 费尔马定理 对任意的素数 p 有 mod paa p 证明 设 p a 则有 有 p ap mod paa p 若 a p 1 由欧拉定理有两边同乘 a 即有 mod1 1 pa p mod paa p 四 由条件可得 c 为奇数 b 为偶数 如果 p x 0 有根 q 若 q 为偶数 则有为奇数 而 p q 0cbqq 2 为偶数 不可能 若 q 为奇数 则有为奇数 而 p q 0 为偶cbqq 2 数 也不可能 所以没有整数根0 xp 五 由欧拉定理 mod11111 1 21 111 ppp ppp 由费尔马定理 mod0121 1 21 111 ppp ppp 六 5 11 1 4 11 1 3 11 1 由欧拉定理得 进一步有 11 mod1510 11 mod1310 11 mod1410 11 mod155 11 mod135 11 mod145 对任何正整数 有 即有 11 mod0345345 342354525 nmk 354525 345 nmk 七 证 假设是有理数 则存在自数数 a b 使得满足即 3 22 3yx 22 3ba 容易知道 a 是 3 的倍数 设 a 3a1 代入得 又得到 b 为 3 的倍数 2 1 2 3ab 设 则 这里aba 1 1 3bb 2 1 2 1 3ba 12 ab 这样可以进一步求得 a2 b2 且有 a b a1 b1 a2 b2 但是自然数无穷递降是不可能的 于是产生了矛盾 为无理数 3 八 n 2k 时有 不能被 4 整除2 2 n24 2 k 当 n 2k 1 时有 不能被 4 整除 所以有2 2 n344 2 kk