牛吃草公式及倍数知识

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变 不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同 求若干头 牛吃这片草地可以吃多少天 由于吃的天数不同 草又是天天在生长的 所以草的存量随牛吃的天数不断地变化 解 决牛吃草问题常用到四个基本公式 分别是 设定一头牛一天吃草量为 1 公式 1 草的生长速度 对应的牛头数 吃的较多天数 相应的牛头数 吃的较少天数 吃的较多天数 吃 的较少天数 公式 2 原有草量 牛头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数 公式 3 吃的天数 原有草量 牛头数 草的生长速度 公式 4 牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度 这四个公式是解决消长问题的基础 由于牛在吃草的过程中 草是不断生长的 所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量 牧场上原 有的草是不变的 新长的草虽然在变化 但由于是匀速生长 所以每天新长出的草量应该是不变的 正是由于这个不 变量 才能够导出上面的四个基本公式 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草 这块地既有原有的草 又有每天新长出的草 由于吃草的牛 头数不同 求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天 解题关键是弄清楚已知条件 进行对比分析 从而求出每日新长草的数量 再求出草地里原有草的数量 进而解 答题总所求的问题 这类问题的基本数量关系是 1 牛的头数 吃草较多的天数 牛头数 吃草较少的天数 吃的较多的天数 吃的较少的天数 草地每天新 长草的量 2 牛的头数 吃草天数 每天新长量 吃草天数 草地原有的草 解多块草地的方法 多块草地的 牛吃草 问题 一般情况下找多块草地的最小公倍数 这样可以减少运算难度 但如果数据较大时 我们一般把面积统一为 1 相对简单些 任意两个奇数的平方差是 8 的倍数 证明 设任意奇数 2n 1 2m 1 m n N 2m 1 2 2n 1 2 2m 1 2n 1 2m 2n 4 m n 1 m n 当 m n 都是奇数或都是偶数时 m n 是偶数 被 2 整除 当 m n 一奇一偶时 m n 1 是偶数 被 2 整除 所以 m n 1 m n 是 2 的倍数 则 4 m n 1 m n 一定是 8 的倍数 2 的倍数尾数是偶数 3 的倍数数字和为 3 倍数 4 的倍数末两位是 4 的倍数 5 的倍数尾数是 0 或者 5 6 的倍数满足 2 3 7 的倍数若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 减去个位数的 2 倍 如果差是 7 的倍数 则原数能被 7 整除 8 的倍数末三位是 8 的倍数 9 的倍数数字和等于 9 11 的倍数奇数位数字和与偶数位数字和的差为 11 倍数 1 1 与 0 的特性 1 是任何整数的约数 即对于任何整数 a 总有 1 a 0 是任何非零整数的倍数 a 0 a 为整数 则 a 0 2 若一个整数的末位是 0 2 4 6 或 8 则这个数能被 2 整除 3 若一个整数的数字和能被 3 整除 则这个整数能被 3 整除 4 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除 则这个数能被 4 整除 5 若一个整数的末位是 0 或 5 则这个数能被 5 整除 6 若一个整数能被 2 和 3 整除 则这个数能被 6 整除 7 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 减去个位数的 2 倍 如果差是 7 的倍 数 则原数能被 7 整除 如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数 就需要继续上述 截 尾 倍大 相减 验差 的过程 直到能清楚判断为止 例如 判断 133 是否 7 的倍数的 过程如下 13 3 2 7 所以 133 是 7 的倍数 又例如判断 6139 是否 7 的倍数的过程如 下 613 9 2 595 59 5 2 49 所以 6139 是 7 的倍数 余类推 8 若一个整数的未尾三位数能被 8 整除 则这个数能被 8 整除 9 若一个整数的数字和能被 9 整除 则这个整数能被 9 整除 10 若一个整数的末位是 0 则这个数能被 10 整除 11 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除 则这个数能被 11 整 除 11 的倍数检验法也可用上述检查 7 的 割尾法 处理 过程唯一不同的是 倍数不是 2 而是 1 12 若一个整数能被 3 和 4 整除 则这个数能被 12 整除 13 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 加上个位数的 4 倍 如果差是 13 的 倍数 则原数能被 13 整除 如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相加 验差 的过程 直到能清楚判断为止 14 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 减去个位数的 5 倍 如果差是 17 的 倍数 则原数能被 17 整除 如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相减 验差 的过程 直到能清楚判断为止 15 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 加上个位数的 2 倍 如果差是 19 的 倍数 则原数能被 19 整除 如果差太大或心算不易看出是否 19 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相加 验差 的过程 直到能清楚判断为止 16 若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除 则