金融经济学主要模型及其发展

金融经济学主要模型及其发展金融经济学主要模型及其发展 在二十世纪后半期 数学规划和随机方程等数学工具和方法在金融实践中的应用得到 了很大的发展 1952 年 Harry M Markowitz 发表了著名的论文 Portfolio Selection 该论文提出的均值 方差分析首次定量地分析了投资组合中风险与收益之间的内在关系 使 人们可以系统地描述和解决投资组合的最优化问题 它在投资组合理论中具有关键作用 1964 1966 年 Sharp Lintner 和 Mossin 分别独立地发现了资本资产定价模型 CAPM 这是一个一般均衡模型 它试图为这些问题提供较为明确的答案 CAPM 不仅使人们提高 了对市场行为的了解 而且还提供了实践上的便利 同时也为评估风险调整中的业绩提供 了一种实用的方法 因此 CAPM 为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原始的基础 1974 年 罗斯 Stephen Ross 在资本资产定价模型基础上提出了一种新的资本资产 均衡模型 套利定价模型 APT Arbitrage Pricing Theory 套利定价理论导出了与资 本资产定价模型相似的一种市场关系 套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基 础 认为证券收益率与一组因子线性相关 这组因子代表证券收益率的一些基本因素 事 实上 当收益率通过单一因子 市场组合 形成时 将会发现套利定价理论形成了一种与资 本资产定价模型相同的关系 因此 套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价 模型 为投资者提供了一种替代性的方法 来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系 马科维茨提出的现代资产组合理论 资本资产定价模型 套利定价理论 期权定价模 型等一起构成了现代金融学的理论基础 为提高模型的适用性 后来的学者又对这些模型有了各自的研究 提出了一些新的看 法 本章将对这些模型及其演变进行系统的介绍 现代资产组合理论现代资产组合理论 马柯维茨 Markowitz 资产组合 理论始创于 1952 年 他提出的 均值 方差模型 是在禁止融券和没有无风险借贷的假设下 以资产组合中个别股票收益率的均值和方差找 出投资的组合的有效性边界 EfficientFrontier 即一定收益率水平下方差最小的投资组 合 并导出投资者只有在有效边界上选择投资组合 根据马科维茨资产组合的概念 欲使 投资组合风险最小 除了多样化投资于不同的股票之外 还应挑选相关系数较低的股票 它第一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发 讨论了确定经济系统中最优资产组 合的选择问题 其资产组合选择模型和组合投资以分散风险为中心 是现代投资理论的奠基 石 在经济发达国家和地区的金融业应用广泛 它被用于定量地确定有效投资组合 有利 于人们形成合理的投资理念 稳定金融市场 同时马科维茨均值 方差模型也是提供确定有 效性边界的技术路径的一个规范性数理模型 一 马科维茨模型的假设条件 1 投资者在考虑每一次投资选择时 其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布 也 就是说 投资者用期望收益率来衡量证券的收益率 2 投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险 也就是说 假设投资者以方差来 度量风险 3 投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益 风险和收益是投资者考虑的全部因素 其 决定不受其他因素的影响 4 在一定的风险水平上 投资者期望收益最大 相对应的是在一定的收益水平上 投资者 希望风险最小 二 马科维茨模型的确立 根据上述假设 马科维茨确立了证券组合预期收益 风险的计算方法和有效边界理论 建立了资产优化配置的均值 方差模型 目标函数 2 p minr ijij XXC ov r r pi i rx r 限制条件 允许卖空 或 不允许卖空 1 i x 10 i x 其中为组合收益 为第 i 第 j 只股票的收益率 为股票 i 的投资比例 p r i r j r i x 为组合投资方差 组合总风险 为两只股票之间的协方差 该模型为 2 p r ij C ov r r 现代证券投资理论奠定了基础 上式表明 在限制条件下求解证券收益率使组合风险 最小 可通过拉格朗日目标函数求得 2 p r 其经济学意义是 投资者可预先确定一个期望收益 通过上式可确定投资者在每个投 资项目 如股票 上的投资比例 项目资金分配 使其总投资风险最小 不同的期望收益就 有不同的最小方差组合 这就构成了最小方差集合 马科维茨的投资组合理论不仅揭示了 组合资产风险的决定因素 而且更为重要的是还揭示了 资产的期望收益由其自身的风险 的大小来决定 这一重要结论 即资产 单个资产和组合资产 由其风险大小来定价 单个 资产价格由其方差或标准差来决定 组合资产价格由其协方差来决定 马可维茨的风险定 价思想在他创建的 均值 方差 或 均值 标准差 二维空间中投资机会集的有效边界上 表现得最清楚 下文在 均值 标准差 二维空间中给出投资机会集的有效边界 图形如下 上面的有效边界图形揭示出 单个资产或组合资产的期望收益率由风险测度指标标准差来 决定 风险越大收益率越高 风险越小收益率越低 风险对收益的决定是非线性 二次 的 双曲线 或抛物线 形式 这一结论是基于投资者为风险规避型这一假定而得出的 具体的风险定价模型为 2 p r p E rDA C D C 其中 且 A B C D 为常 111 1 11 0 TTT AR BRR CDBCA 2 量 R 表示 N 个证券收益率的均值 期望 列向量 为资产组合协方差矩阵 1 表示分量 为 1 的 N 维列向量 上标 T 表示向量 矩阵 转置 三 马科维茨资产组合理论的发展 马科维茨资产组合理论在发展的过程中不断修正和简化 力求使之更具有实用价值 一 Sharpe 的单指数模型 夏普单指数模型是诺贝尔经济学奖获得者威廉 夏普 William Shape 在 1963 年发 表 对于 资产组合 分析的简化模型 一文中提出的 夏普提出单因素模型的基本思想 是 当市场股价指数上升时 市场中大量的股票价格走高 相反 当市场指数下滑时 大 量股票价格趋于下跌 假设证券间彼此无关且各证券的收益率仅与市场因素有关 这一因 素可能为股票市场的指数 国民生产总值 物价指数或任何对股票收益产生最大影响的因 素 每一种证券的收益都与某种单一指数线性相关 因此提出下列两个基本假设 1 证券的风险分为系统风险和非系统风险 因素对非系统风险不产生影响 2 一个证券的非系统风险对其他证券的非系统风险不产生影响 两种证券的回报 率仅仅通过因素的共同反应而相关联 上述两个假设意味着 Cov Rm 0 Cov 0 这就在很大程度上简 i i j 化了计算 据此 可以用一种证券的收益率和股价指数的收益率的相关关系得出以下模型 itfiimtfit rrArr 该式揭示了证券收益与指数 一个因素 之间的相互关系 其中为 t 时期内 i 证券 it r 的收益率 为 t 时期内市场指数的收益率 是截距 它反映市场收益率为 0 时 mt r i A 证券 i 的收益率大小 与上市公司本身基本面有关 与市场整体波动无关 因此值是 i A 相对固定的 为斜率 代表市场指数的波动对证券收益率的影响程度 为 t 时期内 i it 实际收益率与估算值之间的残差 二 Mao 的线性规划模型 Mao 继 Sharpe 的单指数模型后 于 1970 年将 Markowitz 的组合模型在禁止融券 股 票收益率与市场指数有关以及当投资组合包含的股票数目足够大则投资组合的非系统风险 可忽略三个假设条件下加入一个限制条件 投资组合中所包含的证券数目不能超过某个上 限 求投资组合的超额收益除以系统风险的比例极大化 虽然以上的假设过于简化 但因 只需估计每种股票的均值及系统风险 运算时间大大减少 虽然所选出来的投资组合稍微 偏离 Markowitz 的有效边界 但计算及估计成本较小 不失为一个有效的方法 三 Jacob 的限制资产分散模型 以上介绍的投资组合模型都比较适合样本非常大的投资组合 但 Jacob 认为一般投资 者由于资金的限制及固定交易成本的考虑 多半趋向选择投资基金或少数几种股票 因此 Markowitz 和 Sharpe 的分析方法对小额投资者帮助不大 此外 由于当股票数目增加至 8 种以上时 非系统风险已无法显著减少 有鉴于此 Jacob 于 1974 年提出一套适合小额投 资者的组合选择模型 限制资产分散模型 将 Sharpe 的 单指数模型 加入一条限制 式以限制投资者股票的投资数目 使小额投资者可以在有限的股票数目中 选择最适的投 资组合 Jacob 认为在考虑交易成本的情况下 若接受一部分非系统风险 可使交易成本 降低的收益大于组合充分分散的收益 因此对投资者是有利的 四 Konno 的均值 方差 偏态组合模型 上述四种模型均是以 均值 方差 作为分析架构的 但事实上股票收益率分布并不 完全服从正态分布 因此许多学者认为 在进行投资组合分析时 只考虑预期收益及方差 是不够的 还必须考虑其它影响投资风险的因素 如偏态等 所谓股票收益率的偏态 就是指股票收益率的三阶矩 若偏态为正值 右偏 表示投 资这种股票获得的收益率可能极大 并且不大可能发生大的损失 若股票收益率的偏态为 负值 左偏 则投资这种股票可能损失惨重 而获利可能仅局限于某一范围 因此 一般 理性投资者会选择具有右偏态的股票或投资组合 Konno 于 1990 年提出 均值 绝对方差 偏态最适投资组合 模型 此模型以投资组 合的预期收益以及绝对方差作为限制条件 以投资组合的偏态最大值为目标 可见 Konno 的模型将偏态纳入选股的考虑因素中 以满足投资者获利无穷 损失极小的期望 更以绝 对方差取代方差用来衡量投资组合的波动程度可使投资组合模型线性化 不但可节省求解 的时间 还可处理规模较大的投资组合模型 CAPM 模型模型 资本资产定价模型 capital asset pricing model CAPM 是在 1959 年 Markowits 均值 方差模型的基础上 有 Sharpe 和 Linter 分别在 1964 年和 1965 年市场存在无风险资产的 条件下推导出来的 1972 年 Black 又推广到不存在无风险资产条件下的一般的 CAPM 一 CAPM 模型 CAPM 是建立在马科威茨模型基础上的 马科威茨模型的假设自然包含在其中 1 投资者希望财富越多愈好 效用是财富的函数 财富又是投资收益率的函数 因此 可以认为效用为收益率的函数 2 投资者能事先知道投资收益率的概率分布为正态分布 3 投资风险用投资收益率的方差或标准差标识 4 影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险两项 5 投资者都遵守主宰原则 Dominance rule 即同一风险水平下 选择收益率较高的 证券 同一收益率水平下 选择风险较低的证券 CAPM 的附加假设条件 6 可以在无风险折现率 R 的水平下无限制地借入或贷出资金 7 所有投资者对证券收益率概率分布的看法一致 因此市场上的效率边界只有一条 8 所有投资者具有相同的投资期限 而且只有一期 9 所有的证券投资可以无限制的细分 在任何一个投资组合里可以含有非整数股份 10 买卖证券时没有税负及交易成本 11 所有投资者可以及时免费获得充分的市场信息 12 不存在通货膨胀 且折现率不变 13 投资者具有相同预期 即他们对预期收益率 标准差和证券之间的协方差具有相 同的预期值 上述假设表明 第一 投资者是理性的 而且严格按照马科威茨模型的规则进行多样 化的投资 并将从有效边界的某处选择投资组合 第二 资本市场是完全有效的市场 没 有任何磨擦阻碍投资 CAPM 的核心思想是在一个竞争均衡的资本市场中 非系统风险可以通过多元化加以 消除 对期望收益产生影响的只能是无法分散的系统风险 这也就意味着 在通过分散化 投资后 对预期收益率产生影响的只能是无法分散的系统性风险 用 系数度量 期望收 益与 系数线性相关 用公式可以表示为 1 2 cov var im i m R R R 其中 Ri是某一种风险资产 i 的收益率 Rm凡是市场组合 M 的收益率 Rf是无风险 收益率 i是衡量 i 资产市场风险的系数 标准 CAPM 表明资产 i 的期望收益率是系统风险 i 的一个线性函数 它表明了资产 的系统风险和投资者期望获得的收益之间的关系 这就是 CAPM 具有资产定价含义的实质 CAPM 给出了任意风险资产的超额收益率和市场组合超额收益率之间的关系 如果市 场组合为已知 相应的 系数为已知 就可求出风险资产的超额收益率 而无风险资产的 收益率为已知常数 就可确定风险资产的收益率 如果我们可以估计出投资期结束时风险 资产的价格 那么我们就可以确定当前风险资产的价格 因此 CAPM 可以用于未来收益率 为已知的风险资产在当前的价格 11 0 11 ii i ii PE P P RE R ifMf R R R R Mi E 1 0 Mf p 1 R R fMi E P R 如果的分布已知 市场组合收益率为已知 我们就可以确定出第 i 种资产当前的价 1 i P 格 二 不存在无风险资产情况下的 Black CAPM 套利定价理论套利定价理论 套利定价理论 APT Abitrage Pricing Theory 是由斯蒂芬 罗丝于 1976 年提出的 它建 立在因素模型 指数模型 的基础上 并由此导出了套利定价公式 利用这一公式可进行无 风险套利操作 它克服了资本资产定价模型中市场资产组合数据不易观测与单一因素对收 益率解释性不强的缺陷 一 单因素套利定价理论 套利定价理论 APT Arbitrage Pricing Theory 是一个类似资本资产定价模型 CAPM 的均 衡状态下的定价模型 它是由 Ross 研究而成的 套利机会的定义是 投资额为零 而证券 组合的未来收益为非负值 Ross 用有关套利机会的论证导出了套利定价理论 套利存在时 价格会变动 每种资产的平均收益和风险也会发生改变 直到套利机会消失为止 所以当 可以进行套利交易时 市场并不处于均衡状态 所以套利定价理论是均衡定价理论模型 当所有的套利交易机会都被消除时 套利定价理论得到的是市场均衡价格 构成套利定价 理论的基础假设有 1 收益率由某些共同因素及一些公司特有事件决定 这被称为收益产生过程 2 市场中存在大量不同的资产 3 允许卖空 所得款项归卖空者所有 4 投资者偏向于获利较多的投资策略 Ross 认为 单因素的套利定价模型中有这样的关系 iiii rE rIe 这里 I 和是随机变量 是第 i 项金融资产的实际实现的收益率 E 是其预期 i r i e i r i r 收益率 I 是宏观经济因素的实际值与其预期值的偏离 所以 I 的预期值 概率平均值 应 当为零 i 是度量由变动引起的敏感性的系数指标 ei 则是企业所特有原因对所发行 的金融工具的收益所造成的扰动 ei 的预期值也是零 在这里 ei 不但与宏观因素 I 不相 关 并且对于不同的 i 和 j ei 与 ej 互相间也是不相关的 在投资市场处于均衡的状态下 E ri 和影响收益的因子的敏感系数 i 存在着线性关系 01 ii E r 在一个非系统风险被充分分散化掉的投资组合 P 中 n 项金融工具的权重分别为 于是组合的收益率为 1 2 i x in 1 i x PPPP rE rIe 这里 1 n Pii i x 1 n Pi i i exe 组合的方差 2222 PP pIe 其中 222 1 Pi n eie i x 对于一个充分分散化的投资组合来说 其收益率和风险为 PPP rE rI 222 P pI 所以 如果两个充分分散化的投资组合有相同的 它们在市场中必定有相同的预期收益 率 对于有不同 的充分分散化的投资组合 其预期收益率中风险补偿必须正比于 值 不然也会发生无风险套利 如果我们把风险市场看成一个充分分散化的投资组合 再以风 险市场组合的未预期到的收益变化作为市场系统风险的量度 于是对任何充分分散化的投 资组合 其预期收益率和 的关系就可以表示为 这实际上 PfPmf E rrE rr 就是资本资产定价模型中的证券市场线 二 多因素套利定价 假设存在 k 个宏观因素 则 1 122 iiiiikki rE rIIIe 1122 ifififikkf E rrE IrE IrE Ir 是因素 j 的风险代价 jf E Ir 套利定价理论与资本资产定价模型所描述的都是投资市场处于均衡状态下资产的期望收益 率与其投资风险的关系 即如何确定资产的均衡价格 但与资本资产定价模型相比 套利 定价理论显得更有特点且更加接近于实际 1 假设条件不同 套利定价理论假定资产收益率水平受某些共同因素的影响 但是这些因 素究竟是什么 以及有几个 理论本身并没有硬性加以规定 从而使投资者有了一个根据 客观情况进行具体分析的机会 进而一定程度上使得投资者的分析更加接近实际 另外 套利定价理论对投资者的风险偏好未做特定的假设 而资本资产定价模型与套利定价模型 不同 它不仅事先假定资产的收益率与市场组合的收益率相关 而且假定所有投资者都是 以资产的期望收益率和标准差作为分析基础的 并按照均值方差准则进行投资方案 2 套利定价理论允许资产的投资收益与多种因素有关 而不仅仅限于一种因素 它比资本 资产定价模型更清楚的指出了风险来自哪些方面 而且可以指导投资者根据自己的偏好和 风险承受能力 调整对不同风险因素的承受水平 3 套利定价理论考察的是当投资市场不存在无风险套利而达到均衡时 各种资产是如何均 衡的定价的 资本资产模型考察的是当所有投资者均以相似的方式进行投资 投资市场最 终达到均衡时 各种资产是如何定价的 因此 它们建立的理论出发点是完全不同的 4 套利定价理论是从不存在无风险套利的角度推导出来的 而资本资产定价模型是从它的 假设条件经逻辑推理得到的 期权定价模型期权定价模型 自从期权交易产生以来 尤其是股票期权交易产生以来 学者们即一直致力于对期权定价 问题的探讨 1973 年 美国芝加哥大学教授 Fischer Black 和 Myron Scholes 发表 期权 定价与公司负债 一文 提出了著名的 Black Scholes 期权定价模型 在学术界和实务界 引起强烈的反响 Scholes 并由此获得 1997 年的诺贝尔经济学奖 在他们之后 其他各种 期权定价模型也纷纷被提出 其中最著名的是 1979 年由 J Cox S Ross 和 M Rubinstein 三人提出的二叉树模型 我们将介绍以上这两个期权定价模型 并对其进行相应的分析和 探讨 一 Black Scholes 期权定价模型 1 Black Scholes 期权定价模型的假设条件 Black Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下 1 期权标的资产为一风险资产 Black Scholes 期权定价模型中为股票 当前时刻市 场价格为 S S 遵循几何布朗运动 即 dzdt S dS 其中 为股票价格瞬时变化值 为极短瞬间的时间变化值 为均值为零 方差为 dSdtdz 的无穷小的随机变化值 称为标准布朗运动 代表从标准正态分布 即 dtdtdz 均值为 0 标准差为 1 0 的正态分布 中取的一个随机值 为股票价格在单位时间内的 期望收益率 以连续复利表示 则是股票价格的波动率 即证券收益率在单位时间内 的标准差 和都是已知的 简单地分析几何布朗运动 意味着股票价格在短时期内的变动 即收益 来源于两个方面 一是单位时间内已知的一个收益率变化 被称为漂移率 可以被看成一个总体的变化趋 势 二是随机波动项 即 可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分 dz 2 在期权有效期内 标的资产没有现金收益支付 综合 1 和 2 意味着标的资产价格的 变动是连续而均匀的 不存在突然的跳跃 3 没有交易费用和税收 不考虑保证金问题 即不存在影响收益的任何外部因素 综 合 2 和 3 意味着投资者的收益仅来源于价格的变动 而没有其他影响因素 4 该标的资产可以被自由地买卖 即允许卖空 且所有证券都是完全可分的 5 在期权有效期内 无风险利率为常数 投资者可以此利率无限制地进行借贷 r 6 期权为欧式看涨期权 其执行价格为 当前时刻为 到期时刻为 XtT 7 不存在无风险套利机会 2 Black Scholes 期权定价公式 在上述假设条件的基础上 Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权 的一个微分方程 rf S f S S f rS t f 2 2 22 2 1 其中 f 为期权价格 其他参数符号的意义同前 通过解这个微分方程 Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定 价公式 2 1 dNXedSNc tTr 其中 tTd tT tTrXS d tT tTrXS d 1 2 2 2 1 2 ln 2 ln c 为无收益资产欧式看涨期权价格 N x 为标准正态分布变量的累计概率分布函数 即 这个变量小于 x 的概率 根据标准正态分布函数特性 我们有 1 xNxN 对 Black Scholes 期权定价公式的理解 1 期权价格的影响因素 首先 让我们将 Black Scholes 期权定价公式与第十章中分析的期权价格的影响因素联系 起来 在第十章中 我们已经得知期权价格的影响因素包括 标的资产市场价格 执行价 格 波动率 无风险利率 到期时间和现金收益 在式 11 2 中 除了由于我们假设标 的资产无现金收益之外 其他几个参数都包括在内 且影响方向与前文分析的一致 2 风险中性定价原理 其次我们要谈到一个对于衍生产品定价非常重要的原理 风险中性定价原理 观察式 11 2 以及第十章中的期权价格影响因素分析 我们可以注意到期权价格是与标的资产 的预期收益率无关的 即在第一节我们描述标的资产价格所遵循的几何布朗运动时曾经出 现过的预期收益率在期权定价公式中消失了 这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一 个很大的好消息 因为迄今为止 人们仍然没有找到计算证券预期收益率的确定方法 期 权价格与的无关性 显然大大降低了期权定价的难度和不确定性 进一步考虑 受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率 并未包括在期权的价值决 定公式中 公式中出现的变量为标的证券当前市价 S 执行价格 X 时间 t 证券 价格的波动率 和无风险利率 它们全都是客观变量 独立于主观变量 风险收 r 益偏好 既然主观风险偏好对期权价格没有影响 这使得我们可以利用 Black Scholes 期 权定价模型所揭示的期权价格的这一特性 作出一个可以大大简化我们工作的简单假设 在对衍生证券定价时 所有投资者都是风险中性的 在所有投资者都是风险中性的条件下 有时我们称之为进入了一个 风险中性世界 所 有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 r 这是因为风险中性的投资者并不需要额外 的收益来吸引他们承担风险 同样 在风险中性条件下 所有现金流量都可以通过无风险 利率进行贴现求得现值 这就是风险中性定价原理 应该注意的是 风险中性假定仅仅是一个人为假定 但通过这种假定所获得的结论不仅适 用于投资者风险中性情况 也适用于投资者厌恶风险的所有情况 为了更好地理解风险中性定价原理 我们可以举一个简单的例子来说明 假设一种不支付红利股票目前的市价为 10 元 我们知道在 3 个月后 该股票价格要么是 11 元 要么是 9 元 现在我们要找出一份 3 个月期协议价格为 10 5 元的该股票欧式看涨 期权的价值 由于欧式期权不会提前执行 其价值取决于 3 个月后股票的市价 若 3 个月后该股票价格 等于 11 元 则该期权价值为 0 5 元 若 3 个月后该股票价格等于 9 元 则该期权价值为 0 为了找出该期权的价值 我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头 组成的组合 若 3 个月后该股票价格等于 11 元时 该组合价值等于 11 0 5 元 若 3 个月后该股票价格等于 9 元时 该组合价值等于 9元 为了使该组合价值处于无风险状 态 我们应选择适当的值 使 3 个月后该组合的价值不变 这意味着 11 0 5 9 0 25 因此 一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和 0 25 股标的股票 无论 3 个月后股票价 格等于 11 元还是 9 元 该组合价值都将等于 2 25 元 在没有套利机会情况下 无风险组合只能获得无风险利率 假设现在的无风险年利率等于 10 则该组合的现值应为 元19 2 25 2 25 0 1 0 e 由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0 25 单位股票多头 而目前股票市场为 10 元 因 此 元31 0 19 2 25 0 10 f f 这就是说 该看涨期权的价值应为 0 31 元 否则就会存在无风险套利机会 从该例子可以看出 在确定期权价值时 我们并不需要知道股票价格上涨到 11 元的概率和 下降到 9 元的概率 但这并不意味着概率可以随心所欲地给定 事实上 只要股票的预期 收益率给定 股票上升和下降的概率也就确定了 例如 在风险中性世界中 无风险利率 为 10 则股票上升的概率 P 可以通过下式来求 0 1 0 25 10 119 1 ePP P 62 66 又如 如果在现实世界中股票的预期收益率为 15 则股票的上升概率可以通过下式来求 0 15 0 25 10 119 1 ePP P 69 11 可见 投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率 而股票的预期收益率决定了股票升 跌的概率 然而 无论投资者厌恶风险程度如何 从而无论该股票上升或下降的概率如何 该期权的价值都等于 0 31 元 3 对期权定价公式的经济理解 首先 从 Black Scholes 期权定价模型自身的求解过程来看 N d2 实际上是在风险中性世 界中 ST 大于 X 的概率 或者说是欧式看涨期权被执行的概率 因此 e r T t XN d2 是 X 的风险中性期望值的现值 更朴素地说 可以看成期权可能带来的收入现值 SN d1 e r T t ST N d1 是 ST 的风险中性期望值的现值 可以看成期权持有者将来可能支付的价格 的现值 因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未来期望回报的现值 其次 显然反映了标的资产变动一个很小的单位时 期权价格的变化 1 df N d dS 量 或者说 如果要避免标的资产价格变化给期权价格带来的影响 一个单位的看涨期权 多头 就需要单位的标的资产空头加以保值 事实上 我们在第十二章中将看到 是复制交易策略中股票的数量 SN d1 就是股票的市值 e r T t XN d2 则 1 N d 是复制交易策略中负债的价值 最后 从金融工程的角度来看 欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 Asset or noting call option 多头和现金或无价值看涨期权 cash or nothing option 空头 SN d1 是资产或无价值看涨期权的价值 e r T t XN d2 是 X 份现金或无价值看涨期权空 头的价值 这是因为 对于一个资产或无价值看涨期权来说 如果标的资产价格在到期时 低于执行价格 该期权没有价值 如果高于执行价格 则该期权支付一个等于资产价格本 身的金额 根据前文对 N d2 和 SN d1 的分析 可以得出该期权的价值为 e r T t STN d1 SN d1 的结论 同样 对于 标准 现金或无价值看涨期权 如果标的资产价格在到期 时低于执行价格 该期权没有价值 如果高于执行价格 则该期权支付 1 元 由于期权到 期时价格超过执行价格的概率为 N d2 则 1 份现金或无价值看涨期权的现值为 e r T t N d2 4 Black Scholes 期权定价公式的拓展 1 无收益资产欧式看跌期权的定价公式 Black Scholes 期权定价模型给出的是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 根据欧式看 涨期权和看跌期权之间的平价关系 可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 21 r T tr T t pcXeSXeNdSNd 2 无收益资产美式期权的定价公式 在标的资产无收益情况下 由于 C c 因此式也给出了无收益资产美式看涨期权的价值 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系 因此美式看跌期权的定价还没 有得到一个精确的解析公式 但可以用数值方法以及解析近似方法求出 3 有收益资产期权的定价公式 到现在为止 我们一直假设期权的标的资产没有现金收益 那么 对于有收益资产 其期 权定价公式是什么呢 实际上 如果收益可以准确地预测到 或者说是已知的 那么有收 益资产的欧式期权定价并不复杂 在收益已知情况下 我们可以把标的证券价格分解成两部分 期权有效期内已知现金收益 的现值部分和一个有风险部分 当期权到期时 这部分现值将由于标的资产支付现金收益 而消失 因此 我们只要用 S 表示有风险部分的证券价格 表示风险部分遵循随机过程 的波动率 1 就可直接套用公式分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值 当标的证券已知收益的现值为 I 时 我们只要用 S I 代替式 S 即可求出固定收益证券 欧式看涨和看跌期权的价格 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q 单位为年 时 我们只要将 代替 S 就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格 在各种 tTq Se 期权中 股票指数期权 外汇期权和期货期权的标的资产可以看作支付连续红利率 因而 它们适用于这一定价公式 另外 对于有收益资产的美式期权 由于有提前执行的可能 我们无法得到精确的解析解 仍然需要用数值方法以及解析近似方法求出 5 Black Scholes 期权定价公式的计算 1 Black Scholes 期权定价模型的参数 我们已经知道 Black Scholes 期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数 标的资 产市场价格 执行价格 到期期限 无风险利率和标的资产价格波动率 即标的资产收益 率的标准差 在这些参数当中 前三个都是很容易获得的确定数值 但是无风险利率和标 的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值 2 估计无风险利率 在发达的金融市场上 很容易获得对无风险利率的估计值 但是在实际应用的时候仍然需 要注意几个问题 首先 我们需要选择正确的利率 一般来说 在美国人们大多选择美国 国库券利率作为无风险利率的估计值 由于美国国库券所报出的利率通常为贴现率 即利 息占票面价值的比例 因此需要转化为通常的利率 并且用连续复利的方式表达出来 才 可以在 Black Scholes 公式中应用 其次 要小心地选择国库券的到期日 如果利率期限 结构曲线倾斜严重 那么不同到期日的收益率很可能相差很大 我们必须选择距离期权到 期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率 我们用一个例子来说明无风险利率的计算 假设一个还有 84 天到期的国库券 其买入报价 为 8 83 卖出报价为 8 77 由于短期国库券市场报价为贴现率 我们可以推算出其中间报 价对应的现金价格 面值为 100 美元 为 1从理论上说 风险部分的波动率并不完全等于整个证券价格的的波动率 有风险部分的波动率近似等于整个 证券价格波动率乘以 S S V 这里 V 是红利现值 但在本书中 为了方便起见 我们假设两者是相等 的 8 838 7784 10097 947 2360 TB P 美元 进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率 0 23 100100 0 0902 97 947 r T tr TB eer P 估计标的资产价格的波动率 估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难得多 也更为重要 正如第十章所述 估计标的资产价格波动率有两种方法 历史波动率和隐含波动率 3 历史波动率 所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差 以股票价 格为例 表 1 列出了计算股票价格波动率的一个简单说明 很显然 计算波动率的时候 我们运用了统计学中计算样本均值和标准差的简单方法 其中 为股票价格百分比收益 t R 率 或者为 则为连续复利收益率 估计 均值 或者 则是连续 R Var R 2 复利收益率 估计 方差 就是相应的 估计 标准差 波动率 即 Black Scholes 公式计算时所用的参数 在表 11 1 中 共有 11 天的收盘价信息 因此得到 10 个收益率信 息 1 1 2 1 1 ln 1 ln 1 ttt T t t T t t RP P RR T Var RRR T 表表 1 历史波动率计算历史波动率计算 天数 t P t R ln t R 2 ln t RR 0100 00 1101 501 01500 01490 298 000 9655 0 03510 396 750 9872 0 01280 4100 501 03880 03800 5101 001 00500 00500 6103 251 02230 02200 7105 001 01690 01680 8102 750 9786 0 02170 9103 001 00240 00240 10102 500 9951 0 00490 总计0 02470 样本均值0 0247 100 00247 样本方差 2 0 004294 90 000477 样本标准差0 021843 在 Black Scholes 公式所用的参数中 有三个参数与时间有关 到期期限 无风险利率和 波动率 值得注意的是 这三个参数的时间单位必须相同 或者同为天 周 或者同为年 年是经常被用到的时间单位 因此 我们常常需要将诸如表 1 中得到的天波动率转化为年 波动率 在考虑年波动率时 有一个问题需要加以重视 一年的天数究竟按照日历天数还 是按照交易天数计算 一般认为 证券价格的波动主要来自交易日 因此 在转换年波动 率时 应该按照一年 252 个交易日进行计算 这样 表 1 中计算得到的天波动率相应的年 波动率为 2520 3467 yearday 在我们的例子中 我们使用的是 10 天的历史数据 在实际计算时 这个天数的选择往往很 不容易 从统计的角度来看 时间越长 数据越多 获得的精确度一般越高 但是 资产 价格收益率的波动率却又常常随时间而变化 太长的时间段反而可能降低波动率的精确度 因此 计算波动率时 要注意选取距离今天较近的时间 一般的经验法则是设定度量波动 率的时期等于期权的到期期限 因此 如果要为 9 个月的期权定价 可使用 9 个月的历史 数据 4 隐含波动率 从 Black Scholes 期权定价模型本身来说 公式中的波动率指的是未来的波动率数据 这 使得历史波动率始终存在着较大的缺陷 为了回避这一缺陷 一些学者将目光转向隐含波 动率的计算 所谓的隐含波动率 即根据 Black Scholes 期权定价公式 将公式中除了波 动率以外的参数和市场上的期权报价代入 计算得到的波动率数据 显然 这里计算得到 的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期 当然 由于 Black Scholes 期权定价公式 比较复杂 隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成 5 Black Scholes 期权定价公式的计算 一个例子 为了使读者进一步理解 Black Scholes 期权定价模型 我们下面用一个简单的例子 来说 明这一模型的计算过程 例 1 假设某种不支付红利股票的市价为 50 元 无风险利率为 12 该股票的年波动率为 10 求该股票协议价格为 50 元 期限 1 年的欧式看涨期权和看跌期权价格 在本题中 可以将相关参数表达如下 S 50 X 50 r 0 12 0 1 T 1 计算过程可分为三步 第一步 先算出和 1 d 2 d 1 21 ln 50 50 0 120 01 2 1 1 25 0 11 0 111 15 d dd 第二步 计算和 1 N d 2 N d 1 2 1 250 8944 1 150 8749 N dN N dN 第三步 上述结果及已知条件代入公式 11 2 这样 欧式看涨期权和看跌期权价格 分别为 0 12 1 50 0 894450 0 87495 92ce 美元 0 12 1 501 0 8749501 0 89440 27pe 美元 在本例中 标的资产执行价格和市场价格正好相等 但是看涨期权的价格却与看跌期权的 价格相差悬殊 其中的原因在于利率和到期期限对期权价格的影响 在本例中 利率高达 12 到期期限长达一年 在这种情况下 执行价格的现值将大大降低 对于欧式看涨期权 来说 这意味着内在价值的大幅上升 而对欧式看跌期权来说 却意味着内在价值的大幅 降低 因此 在计算了执行价格的现值以后 看涨期权是实值期权而看跌期权则是一个虚 值期权 事实上 由于实际中的市场短期利率通常较低 期权到期期限一般不超过 9 个月 因此如果标的资产市场价格与执行价格相等 同样条件下的看涨期权价格和看跌期权价格 一般比较接近 6 Black Scholes 期权定价公式的精确度实证 要求证 Black Scholes 期权定价公式的精确度 我们可以运用 Black Scholes 期权定价公 式计算出期权价格的理论值 然后与市场上的期权价格进行比较 如果两者不存在显著的 差别 那么这个定价公式的精度应该是令人满意的 从总的实证研究结果来看 Black Scholes 期权定价公式存在一定偏差 但它依然是迄今 为止解释期权价格动态的最佳模型之一 与 CAPM 解释股票价格差异的能力相比 Black Scholes 期权定价公式可以较好地解释期权的价格差异 这也正是 Scholes 得以获得 1997 年诺贝尔经济学奖的重要原因 一般认为 造成用 Black Scholes 期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原 因主要有以下几个 计算错误 期权市场价格偏离均衡 使用的错误的参数 Black Scholes 期权定价公式建立在众多假定的基础上 7 Black Scholes 期权定价公式的应用 Black Scholes 期权定价公式除了可以用来估计期权价格 在其它一些方面也有重要的应 用 主要包括评估组合保险成本 给可转换债券定价和为认股权证估值 1 评估组合保险成本 证券组合保险是指事先能够确定最大损失的投资策略 比如在持有相关资产的同时买入看 跌期权就是一种组合保险 假设你掌管着价值 1 亿的股票投资组合 这个股票投资组合于市场组合十分类似 你担心 类似于 1987 年 10 月 19 日的股灾会吞噬你的股票组合 这时购买一份看跌期权也许是合理 的 显然 期权的执行价格越低 组合保险的成本越小 不过也许我们需要一个确切的评 估 市场上可能根本就没有对应的期权 要准确估算成本十分困难 此时 Black Scholes 期权定价公式就十分有用 比如也许 10 的损失是可以接受的 那么执行价格就可以设为 9000 万 然后再将利率 波动率和保值期限的数据代进公式 就可以合理估算保值成本 2 给可转换债券定价 可转换债券是一种可由债券持有者转换成股票的债券 因此可转换债券相当于一份普通的 公司债券和一份看涨期权的组合 即 CBBC VVV 其中表示可转换债券的价值 代表从可转换债券中剥离出来的债券的价值 代 CB V B V C V 表从可转换债券中剥离出来的期权的价值 在实际中的估计是十分复杂的 因为对利率非常敏感 而布莱克 舒尔斯期权定价公 C V C V 式假定无风险利率不变 对显然不适用 其次 从可转换债券中隐含的期权的执行与否 C V 会因为股票股利和债券利息的问题复杂化 第三 许多可转换债券的转换比例会随时间变 化 还有就是绝大多数可转换债券是可赎回的 可赎回债券的分解更加复杂 对债券持有者而 言 它相当于一份普通的公司债券 一份看涨期权多头 转换权 和一份看涨期权空头 赎回权 的组合 可赎回的可转换债券对股票价格变动很敏感 而且对利率也非常敏感 当利率下降的时候 公司可能会选择赎回债券 当然 利率上升的时候债券价值也会上升 3 为认股权证估值 认股权证通常是与债券或优先股一起发行的 它的持有人拥有在特定时间以特定价格认购 一定数量的普通股 因此认股权证其实是一份看涨期权 不过两者之间还是存在细微的差 别 看涨期权执行的时候 发行股票的公司并不会受到影响 而认股权证的执行将导致公 司发行更多的股票 因此 认股权证的执行存在稀释效应 在估值的时候必须考虑这一点 二 二叉树模型 Black Scholes 模型的提出 对期权定价的研究而言 是一个开创性的研究 然而 由于该模型涉及到比较复杂的数学问题 对大多数人而言较难理解和操作 1979 年 J Cox S Ross 和 M Rubinstein 三人发表 期权定价 一种被简化的方法 一文 用一种 比较浅显的方法导出了期权定价模型 这一模型被称为 二叉树模型 the Binomial Model 或 二叉树模型 是期权数值定价方法的一种 二叉树模型的优点在于其比较简 单直观 不需要太多的数学知识就可以加以应用 同时 它不仅可以为欧式期权定价 而 且可以为美式期权定价 不仅可以为无收益资产定价 而且可以为有收益资产定价 应用 相当广泛 目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一 1 二叉树模型的基本方法 我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型 之后再逐步加以扩展 二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 并假设在每一个时间间隔 t 内证券价格只有两种运动的可能 从开始的上升到原先的倍 即到达 下降到 t SuSu 原先的倍 即 其中 如图 11 1 所示 价格上升的概率假设为 dSd1u 1d q 下降的概率假设为 1 q S Su Sd q 1 q 图 1 时间内资产价格的变动 t 相应地 期权价值也会有所不同 分别为和 u f d f 注意 在较大的时间间隔内 这种二值运动的假设当然不符合实际 但是当时间间隔非常 小的时候 比如在每个瞬间 资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的 因此 二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 2 单步二叉树模型 运用单步二叉树为期权定价 可以有两种方法 无套利方法和风险中性定价方法 1 无套利定价法 由于期权和标的资产的风险源是相同的 在如图 11 1 的单步二叉树中 我们可以构造一个 证券组合 包括股资产多头和一个看涨期权空头 如果我们取适当的值 使 ud SufSdf 则无论资产价格是上升还是下跌 这个组合的价值都是相等的 也就是说 当 时 无论股票价格上升还是下跌 该组合的价值都相等 显然 该组合为无 ud ff SuSd 风险组合 因此我们可以用无风险利率对贴现来求该组合的现值 在 ud SufSdf 或 无套利机会的假设下 该组合的收益现值应等于构造该组合的成本 即 r t u SfSufe 将代入上式就可得到 ud ff SuSd 1 r tr t r t ud eded feff udud 2 风险中性定价法 在第一节中我们已经探讨过 期权定价可以在风险中性世界中进行 同样 我们也可以在 二叉树模型中应用风险中性定价