2011年高考数学 模拟试题精选

20112011 年高考数学模拟试题精选年高考数学模拟试题精选 1 已知函数 yf x xR 满足 3 1 f xf x 且 1 1 x 时 f xx 则 函数 5 log 0 yf xx x 的零点个数是 A 3 B 4 C 5 D 6 解答 B 由 3 1 f xf x xR 知 f x最小正周期为 2 作出 f x在区间 1 5 内的图象和 5 logyx 在 0 5 内的图象 知它们有 4 个公共点 2 函数tan 42 yx 的 3 1 f xf x 部分图象如图所示 则 OAOBAB 等于 A 6 B 5 C 4 D 3 解答 A 令0y 得2x 即点 A 2 0 令1y 得 B 3 1 又 O 为原点 故 5 1 1 1 6OAOBAB 3 若函数 1 ax f xe b 的图象在0 x 处的切线l与圆 22 1C xy 相离 则点 P a b与圆 C 的位置关系是 A 点在圆外 B 点在圆内 C 点在圆上 D 不能确定 解答 B ax a fxe b 切线斜率 0 a kf b 切点为 1 0 b 则切线方程为 1 0 a yx bb 即10axby 依题意有 22 1 1 ab 得 22 1ab 4 已知抛物线 2 2 0 ypx p 与双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 有相同的焦点 F 点 A 是两 曲线的一个交点 且AFx 轴 若l为双曲线一 三象限的一条渐近线 则l的倾斜角所在的 区间可能是 A 0 6 B 6 4 C 4 3 D 3 2 解答 D 设双曲线半焦距为 c l的倾斜角为 则 2222 cabb 依题意有 2 p c 在抛物线中求得AFp 以双曲线中求得 2 b AF a 所以 2 b p a 由 得 2 2 b c a 故 2 tan2 bc ab 又 0 2 于是 3 2 5 已知 2xf x 可以表示成一个奇函数 g x与一个偶函数 h x之和 若关于x的不等式 2 ag xhx 0 对于 1 2 x 恒成立 则实数a的最小值是 A 2 B 0 C 17 6 D 4 解答 C 由题意得 2xg xh x 则 2 x gxhx 即 1 2x h xg x 1 22 2 xx g x 1 22 2 xx h x 又 2 ag xhx 0 对于 1 2 x 恒成立 即 0 1 4x y A B 22 xx a 22 22 xx 对于 1 2 x 恒成立 当 1 2 x 时 3 15 22 24 xx a 2 22 22 xx xx 对于 1 2 x 恒成立 2 22 22 xx xx 的最大值为 17 6 利用打勾函数的单调性 a 17 6 6 设点 P 是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 与圆 2222 xyab 在第一象限的交点 其中 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 且 12 2 PFPF 则双曲线的离心率为 A 5 2 B 5 C 10 2 D 10 解答 B 设双曲线的半焦距为 0 c c 22222 xyabc 点 1 F与点 2 F是该圆 直径的两个端点 12 PFPF 12222 2 2PFPFPFPFPFa 1 4PFa 又 222 1212 PFPFFF 222 1644aac 即 22 5ac 5e 7 若 R 上的奇函数 yf x 的图象关于直线1x 对称 且当0 x 1 时 3 logf xx 则方程 1 0 3 f xf 在区间 2012 2014 内的所有实根之和为 A 4022 B 4024 C 4026 D 4028 解答 C 由题意可知 2 f xfxf x 4 2 f xf xf x f x是以 4 为周期的周期函数 又 0 0f 方程 1 0 3 f xf 可化为 1 3 f x 数形结合可知 1 3 f x 在 0 1 1 2 内各有一个实根 且这两个实根之和为 2 由周期性可知 1 3 f x 在 2012 2013 2013 2014 内各有一个实根 且这两个实根 之和为 4026 8 将 A B C D E 五种不同的文件放入一排编号依次为 1 2 3 4 5 6 的六个抽屉内 每个抽屉至多放一种文件 要求文件 A B 必须放入相邻的抽屉内 文件 C D 也必须放入相信 的抽屉内 则不同的文件放法有 种 解答 96 若 1 号或 6 号抽屉不放文件有 112 3 232 48C CA 种放法 若 2 号或 5 号抽屉不放 文件有 12 3 22 16CA 种放法 若 3 号或 4 号抽屉不放文件有 112 3 222 32C CA 种放法 共 96 种放法 9 一次观众的抽奖活动的规则是 将 9 个大小相同 分别标有 1 2 9 这 9 个数的小球 放进纸箱中 观众连续摸三个球 如果小球上的三个数字成等差算中奖 则观众中奖的概率为 解答 4 21 只考虑公差大于 0 即可 公差为 1 的等差数列有 7 个 公差为 2 的等差数列有 5 个 公差为 3 的等差数列有 3 个 公差为 4 的等差数列有 1 个 总计 16 个 中奖的概率 3 9 164 21 P C 10 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山 山顶设有一个观察站 P 上午 9 时 测得一轮船在岛北 偏东 300 俯角为 300的 B 处 直线航行到 9 时 10 分又测得该船在岛北偏西 600 俯角为 450的 C 处 求船的航行速度 在 C 处 该船改为向正南方向航行 且不改变速度 10 分钟后到 达什么位置 以 A 点为参照点 解 在PABRt 中 0 60 APB 1 PA 3 AB千米 在PACRt 中 0 45 APC 1 PAAC千米 在ACB 中 o CAB906030 00 2 22 ABACBC千米 船的航行速度是12 6 1 2 千米 小时 设 10 分钟后该船到达点 D 该船向正南航行 0 60 ACD 10 分钟所走的航程是2 6 1 12 CD千米 在ACD 中 由余弦定理得 3 2 1 12214cos2 222 ACDACCDACCDAD 3 AD千米 ACD 是直角三角形 0 90 CAD 而 0 30 FAC 000 603090 FAD 10 分钟后该船距离在点 A 南偏西 0 30 距离 A 点3千米处 11 已知椭圆 C 的离心率 3 2 e 长轴的左 右端点分别为 1 2 0 A 2 2 0 A 求椭圆 C 的方程 设直线1xmy 与椭圆 C 将于 P Q 两点 直线 1 AP与 2 A Q交于点 S 试问 当 m变化时 点 S 是否恒在一条定直线上 若是 请写出这条直线方程 并证明你的结论 若不 是 请说明理由 解 设椭圆 C 的方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 a 2 3 a c e 3 c 1 222 cab 椭圆 C 的方程为1 4 2 2 y x 4 分 取0 m 得 2 3 1 P 2 3 1 Q 直线PA1的方程是 3 3 6 3 xy 直线QA2的方程是3 2 3 xy 交点为 3 4 1 S 若 2 3 1 P 2 3 1 Q 由对称性可知交点为 3 4 2 S 若点 S 在同一条直线上 则直线只能为4 xl 7 分 以下证明对于任意的m 直线PA1与QA2的交点均在直线4 xl上 事实上 由 1 44 22 myx yx 得032 4 22 myym 设 11 yxP 22 yxQ 则 4 2 2 21 m m yy 4 3 2 21 m yy 东东 南南 西西 A 北北 B C P 设PA1与l交于点 4 00 yS 则 224 1 10 x yy 得 2 6 1 1 0 x y y 设QA2与l交于点 4 0 0 yS 则 224 2 2 0 x yy 得 2 2 2 2 0 x y y 1212211212 00 121212 626 1 2 3 46 22 2 2 2 2 yyy myy mymy yyy yy xxxxxx 22 12 1212 44 0 2 2 mm mm xx 00 yy 即 0 S与 0 S重合 这说明 当m变化时 点S恒在定直线4 xl上 1 在一个长为2 宽为 2 的矩形 OABC 内 曲线sin1yx 0 x 2 与x轴及直线 0 x 2x 围成如图所示的阴影部分 向矩形 OABC 内随机投一点 该点落在矩形 OABC 内 任何一点是等可能的 则所投的点落在阴影部分的概率是 A 1 2 B 21 4 C 21 4 D 21 2 解答 A 很明显 按对称性质 整个阴影部分的面积为 矩形面积的一半 2 已知点 P x y的坐标满足 240 5 10 xy xy x 设 3 0 A 则 cosOPAOP O 为坐标原 点 的最大值为 解答 2 3 已知定义域为 0 的函数 f x满足 对任意 0 x 恒有 2 2 fxf x 成立 当 1 2 x 时 2f xx 给出如下结论 对任意mZ 有 2 0 m f 函数 f x的值域为 0 存在nZ 使得 21 9 n f 函数 f x在区间 a b上单 调递减 的充要条件是 存在kZ 使得 1 2 2 kk a b 其中所有正确结论的序号是 解答 0 22 2 2 2 2 22 2 2 2 1121 mmmmm ffff 故 成立 2 2 xfxf mm 当 1 2 x 时 2f xx 1 0 2 0 2 2 mmm xfxf 当 m时 m 2 故 成立 当0 n时 2 1 12 n nnn f21 12 2 12 故不存在负整数 使 21 9 n f 当n 0 时 2 1 1 2 12 n nn ff 2 1 2 1 1 n nnn f 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 12 2 1 1 2 12 n n nn ff 不存在整数n 使912 n 故 不成立 O A B C 2 1 2 x y 由题知当 1 2 x 时 xf单调递减 又 2 2 fxf x 当 4 2 x 8 4 时 xf都单调递减 故 成立 4 某大学研究生入学复试有 50 人参加 其中英语与政治成绩采用 5 分制 设政治成绩为x 英语成绩为y 结果如下表 英语 1 分2 分3 分4 分5 分 1 分 13101 2 分 10751 3 分 21093 4 分 1b60a 政治 5 分 00113 求政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分的概率 若 考生的政治成绩为 4 分 与 英语成绩 为 2 分 是相互独立事件 求a b的值 若英语成绩的数学期望为 167 50 求a b的值 解答 入学复试共有 50 人参加 3 ba 由题中的表格可以看出 政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分 的考生人数为 6 人 政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分的概率为12 0 50 6 考生的政治成绩为 4 分 与 英语成绩为 2 分 是相互独立事件 2 4 2 4 yPxPyxP 50 4 50 7 50 bbab 与 式联立 解得2 a 1 b 由表易知英语成绩y有 1 分 2 分 3 分 4 分 5 分五个等级 且每个等级分别有 5 人 4 b人 15 人 15 人 8 a人 英语成绩的分布列为 y 12345 P 50 5 50 4 b 50 15 50 15 50 8 a 又 英语成绩的数学期望为 167 50 1 50 5 2 50 4 b 3 50 15 4 50 15 5 50 8 a 167 50 与 式联立 解得1 a 2 b 5 如图 椭圆 C 的方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为 2 且过点 2 0 已知 F 为椭圆 的右焦点 A B 为椭圆上的两动点 直线 2l x 与x轴交于点 G 求椭圆 C 的方程 若 AB 为垂直于x轴的动弦 直线 AF 与 BG 交于点 M 试证明 点 M 恒在椭圆 C 上 若动点 A B G 三点共线时 记为 l 则当 AOB 的面积最大时 试求直线 l 的方程 解答 由题意可知2 a 1 c 从而1 222 cab 所以椭圆的方程为1 2 2 2 y x 证明 由题意得 0 1 F 0 2 G 设 nmA 则 0 nnmB 则1 2 2 2 n m A B G OF M x yl AF 与 BG 的方程分别为 1 1 x m n y 2 2 x m n y 即 0 1 1 ymxn 0 2 2 ymxn 设 00 yxM 则有0 1 1 00 ymxn 0 2 2 00 ymxn 由 得 32 43 0 m m x 32 0 m n y 2 22 2 2 2 0 2 0 32 2 2 43 32 2 32 43 2 m nm m n m m y x 由 得 22 22nm 代入 整理后得 2222 2 0 0 22 34 282418 1 22 23 82418 xmmmm y mmm 故点 M 恒在椭圆上 设过点 G 的直线方程为2xmy 代入椭圆方程1 2 2 2 y x 得 22 2 420mymy 设 11 A x y 22 B xy 则有 12 2 4 2 m yy m 12 2 2 2 y y m 2222 12121212 1 4ABxxyymyyy y 22 2 2 2 1 2 2 mm m 由于原点 O 到直线2xmy 的距离为 2 2 1m 222 222 2 2 2 1 2 122 2 2 22 2 1 AOB mmm S mm m 令 2 2mt 则由 式知 0 2 20m 故0t 22 1 2 22 22 2 16 4 816 8 AOB tt S ttt t t 12 2 2 22 168 当且仅当 16 t t 即4t 是等号成立 此时 2 6m 6m 时 AOB 面积最大 此时直线l的方程为62xy 6 已知函数 yf x 在 R 上可导 并满足不等式 xfxf x 恒成立 若常数m n满足 mn 则下列不等式一定成立的是 A mf nnf m B mf nnf m C mf mnf n D mf mnf n 解答 C 7 如图 在 Rt ABC 中 AC BC 点 C 在斜边 AB 上的射影为 D 则有 AC2 AD AB 类比直角 三角形的这一性质 如图 在四面体 P ABC 中 或 PA PB PC 两两垂直 点 P 在平面 ABC 上的射影为 O 设 PAB 的面积为 S PAB 则有 S PAB2 解答 OABCAB SS A B C D A B C P O 8 设 F1 F2分别是椭圆 22 1 82 xy 的左 右焦点 点 P 是椭圆上的一个动点 求 12 PFPF 的最大值和最小值 若 0 2 M 猜想 1 PMF 的周长最大时点 P 的位置 并证 明你的猜想 若 P 2 1 作平行于 OP 的直线l交椭圆于 A B 两个不同点 试问 直线 PA PB 与x轴是否始终围成一个等腰三角形 若是 请给出证明 若不是 请说明理由 解 由题意可知 2 2a 2b 6c 所以 1 6 0 F 2 6 0 F 设 P x y 则 2 222 12 6 6 626 4 x PFPFxyxyxyx 2 3 4 4 x 因为 2 2 2 2 x 故当0 x 即点 P 为椭圆短轴端点时 12 PFPF 有最 小值 4 当2 2x 即点 P 为椭圆长轴端点时 12 PFPF 有最大值 2 由题意知 0 2 M 是椭圆下顶点 猜想 当点 P 位于直线 2 MF与椭圆的交点处时 1 PMF 周长最大 最大值为8 2 因为直线l平行于 OP 又 1 2 OP k 故可设直线l的方程为 1 2 yxm 由 22 1 82 1 2 xy yxm 得 22 2240 xmxm 设 11 A x y 22 B xy 则有 12 2xxm 2 12 24x xm 设直线 PA PB 的斜率分别为 1 k 2 k 则有 1 1 1 1 2 y k x 2 2 2 1 2 y k x 而 121221 12 1212 11 1 2 1 2 22 2 2 yyyxyx kk xxxx 1221 1212 1212 11 1 2 1 2 2 4 1 22 2 2 2 2 xmxxmx x xmxxm xxxx 222 1212 24 2 2 4 1 242444 0 2 2 2 2 mmmmmmmm xxxx 所以 1 k 2 k 故直线 PA PB 与x轴始终围成一个等腰三角形 9 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 极点为 O 已知一条封闭的曲线 C 由三段圆弧组成 2cos 0 4 2sin 42 2 2 2 求曲线 C 围成的区域的面积 若直线 sin 4 lk kR 与曲线 C 恰有两个公共点 求实数k的取值范围 解 如下图 设两段小圆弧所在圆的圆心分别为 A C 它们的衔接点为 B 则四边形 OABC 是 边长为 1 的正方形 曲线 C 围成的区域面积 22 317 21 111 422 S 如图 以极点为原点 以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系 其中点 M 为圆 A 与x轴正半轴 的交点 点 N 为圆 C 与y轴正半轴的交点 则小圆弧 A BM A BN所在的圆的方程分别为 22 1 1xy 22 1 1xy 大圆弧 A NPM所在的圆方程为 22 4xy 直线 sin 4 lk kR 在直角坐标系下的方程为2xyk 当l与圆弧 A NPM相切时 l的方程为 2 2yx 当l过 M B N 三点时 l的方程为 2yx 当l与圆弧 A BM A BN都相切时 记l与曲线 C 的切点分别为 E F 且与x轴的交点为 D 在等 腰直角三角形 AED 中 1AE 2AD 12OD 此时l的方程为12yx 因此 要使l与曲线恰有两个公共点 必须2 222k 或212k 22k 或 2 1 2 k 10 4 名男生 3 名女生排成一排 若 3 名女生中有 2 名站在一起 但 3 名女生不能全排在一起 则不同的排法种数有 A 2880 B 3080 C 3200 D 3600 解答 A 242 345 2880A A A 11 已知0m 3 27 x f xmx m 且 1 f 18 则实数m的值为 解答 3 12 甲 乙两人玩猜数字游戏 先由甲心中想一个数字 记为a 再由乙猜甲刚才所想的数字 把乙猜的数字记为b 其中a b 6 5 4 3 2 1 若 ba 1 就称甲乙 心有灵犀 现 任意找两人玩这个游戏 则他们 心有灵犀 的概率为 解答 4 9 此试验基本事件的总数为 36 事件 甲乙心有灵犀 的结果为 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 3 4 4 3 4 4 4 5 5 4 5 5 5 6 6 5 6 6 共有 16 种结果 故此事件的概率为 164 369 P 13 已知圆 C 0124 22 yxyx 直线043 kyxl 若圆 C 上至少存在两点到 直线l的距离为 1 则k的取值范围是 解答 17 13 圆的标准方程为 22 2 1 4xy 圆心为 2 1 半径 r 2 所 以当圆心到直线的距离为 3 时 也能满足圆上存在一点到直线l的距离为 1 所以圆心到直线的 距离应小于 3 即 22 2 34 1 3 34 k 即 2 44225kk 解得1713k 18 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区 已知从新校区到老校区有两条公路 汽 车走公路 堵车的概率为 4 1 不堵车的概率为 4 3 汽车走公路 堵车的概率为p 不堵车的概 率为p 1 若甲 乙两辆汽车走公路 丙汽车由于其他原因走公路 且三辆车是否堵车相 互之间没有影响 若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 16 7 求走公路 堵车的概率 在 的条件 求三辆汽车中被堵车辆的个数 的分布列和数学期望 解答 由已知条件得 12 2 1337 1 44416 CpP 解得 1 3 p 的可能取值为 0 1 2 3 3323 0 4438 P 1 2 1121311 2 4434436 PC 7 1 16 P 1111 3 44348 P 的分布列为 0123 P 3 8 7 16 1 6 1 48 所以 37115 0123 8166486 E 19 已知0 a 1ln 12 2 xxaxxf l是曲线 xfy 在点 0 0 fP处的切线 求切线l的方程 若切线l与曲线 xfy 有且只有一个公共点 求a的值 解答 2 21 ln 1 f xaxxx 0 1f 2 12 22 1 22 11 axax fxax xx 0 1 f 切点 P 的坐标为 0 1 l的斜率为 1 切线l的方程为1yx 切线l与曲线 yf x 有且只有一个公共点等价于方程 2 21 ln 1 1axxxx 即 2 ln 1 0axxx 有且只有一个实数解 令 2 ln 1 h xaxxx 则方程 0h x 有且只有一个实数解 0 0h 方程 0h x 有一解0 x 2 1 2 1 12 21 2 21 111 ax x axax a h xax xxx 1 2 a 时 2 1 x h x x 0 1x h x在 1 上单调递增 0 x 是方程 0h x 的唯一解 1 0 2 a 时 0h x 有两根 1 0 x 2 1 10 2 x a x 1 0 0 1 0 1 2a 1 1 2a 1 1 2a h x 0 0 h x A 极大值A极小值A 1 1 0 0 2 hh a 又 h x在 1 1 2a 上单调递增 方程 0h x 在 1 1 2a 上还有一解 故 0h x 的解不唯一 1 2 a 时 0h x 有两根 1 0 x 2 1 1 1 0 2 x a x 1 1 1 2a 1 1 2a 1 1 0 2a 0 0 h x 0 0 h x A 极大值A极小值A 1 1 0 0 2 hh a 而当1x 且x趋向 1 时 2 1axxa ln 1 x 方程 0h x 在 1 1 1 2a 上还有一解 故 0h x 的解不唯一 综上 当l与曲线 xfy 有且只有一个公共点时 a的值为 1 2 20 选修 4 2 矩阵与变换 设 A 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标伸长到原来的 3 倍的伸缩变换所 对应的变换矩阵 B 是将点 2 0 变为点 3 1 的旋转变换所对应的变换矩阵 若 M AB 求矩阵 M 及 M 1 解答 设矩阵 cossin sincos B 则 cossin2 3 sincos0 1 2cos3 2sin1 31 22 13 22 B 又矩阵 20 03 A 31 31 20 22 33 3 03 13 22 22 MAB 设 1 ab M cd 则 31 10 33 3 01 22 ab cd 31 30 33 3 0 22 33 3 1 22 ac bd ac bd 解得 3 4 1 6 1 4 3 6 a b c d 1 31 46 13 46 M 21 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 ty tx 2 2 5 2 2 3 t为参数 在极坐标系 与直角 坐标系xOy取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以x轴正半轴为极轴 中 圆 C 的方程为 sin52 求圆 C 的直角坐标方程 设圆 C 与直线l交于点 A B 若点 P 的坐标为 5 3 求 PA PB 解答 由 sin52 向 22 2 50 xyy 即 22 5 5xy 将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 得 22 22 3 5 22 tt 即 2 3 240tt 由于 2 3 2 4 420 故可设 1 t 2 t是上述方程的两实根 所以 12 1 2 3 2 4 tt t t 又直线l过点 P 5 3 故由上式及t的几何意义得 PA PB 1 t 2 t 1 t 2 t 3 2 22 选修 4 5 不等式选讲 已知72 2 xxxf 且3 mx 求证 15 6 mmfxf 证明 2 2 3 2 f xf mxm xmxmxmxm 3 2 xm 又3 mx xxmm 3 xmmm 3 2 3 3 2 6 15xmmmm 15 6 mmfxf 23 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x C的一个焦点的坐标是 6 3 2 0 且离心率 3 6 e 求椭圆 C 的 方程 设圆 0 222 ttytxE 是否存在实数t 使圆 E 与椭圆 C 交于 A B 两点 且0 OBOA 若存在 请求出实数t的值 若不存在 请说明理由 若 的条件下 设 P Q 是圆 E 上的两动点 满足OQOPOE 2 E 为圆 E 的圆心 点 M 是椭圆 C 上的动点 试求MQMP 的最大值 解答 2 6 3 c 6 3 c e a 2a 2 4 3 b 椭圆 C 的方程为 22 3 1 44 yx 0 OBOA OA OB 由对称性可知 AOE BOE 450 1 OA k 直线 OA 的方程为yx 由 22 3 1 44 yx yx 得 A 1 1 A 1 1 在圆 0 222 ttytxE上