牛吃草问题题库教师版空的

牛吃草问题 1 牛吃草牛吃草 教学目标教学目标 1 理解牛吃草这类题目的解题步骤 掌握牛吃草问题的解题思路 2 初步了解牛吃草的变式题 会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 知识精讲知识精讲 英国科学家牛顿在他的 普通算术 一书中 有一道关于牛在牧场上吃草的问题 即牛在牧场上吃 草 牧场上的草在不断的 均匀的生长 后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做 牛顿问题 牛吃草 问题主要涉及三个量 草的数量 牛的头数 时间 难点在于随着时间的增长 草也在 按不变的速度均匀生长 所以草的总量不定 牛吃草 问题是小学应用题中的难点 解 牛吃草 问题的主要依据 草的每天生长量不变 每头牛每天的食草量不变 草的总量草场原有的草量新生的草量 其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数 同一片牧场中的 牛吃草 问题 一般的解法可总结为 设定设定 1 1 头牛头牛 1 1 天吃草量为天吃草量为 1 1 草的生长速度草的生长速度 对应牛的头数对应牛的头数较多天数较多天数对应牛的头数对应牛的头数较少天数较少天数 较多天数较多天数较少天数较少天数 原来的草量原来的草量对应牛的头数对应牛的头数吃的天数吃的天数草的生长速度草的生长速度吃的天数 吃的天数 吃的天数吃的天数原来的草量原来的草量 牛的头数牛的头数草的生长速度草的生长速度 牛的头数牛的头数原来的草量原来的草量吃的天数吃的天数草的生长速度 草的生长速度 牛吃草 问题有很多的变例 像抽水问题 检票口检票问题等等 只有理解了 牛吃草 问题的 本质和解题思路 才能以不变应万变 轻松解决此类问题 例题精讲例题精讲 板块一 一块地的 牛吃草问题 例例 1 青青一牧场 牧草喂牛羊 青青一牧场 牧草喂牛羊 放牛二十七 六周全吃光 放牛二十七 六周全吃光 改养廿三只 九周走他方 改养廿三只 九周走他方 若养二十一 可作几周粮 若养二十一 可作几周粮 注 注 廿廿 的读音与的读音与 念念 相同 相同 廿廿 即二十之意 即二十之意 解说解说 题目翻译过来是 题目翻译过来是 一牧场长满青草 一牧场长满青草 2727 头牛头牛 6 6 个星期可以吃完 或者个星期可以吃完 或者 2323 头牛头牛 9 9 个星期可以吃完 若是个星期可以吃完 若是 2121 头头 牛 要几个星期才可以吃完 注 牧场的草每天都在生长 牛 要几个星期才可以吃完 注 牧场的草每天都在生长 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 27 头牛吃 6 周共吃了份 23 头牛吃 9 周共吃了份 276162 23 9207 第二种吃法比第一种吃法多吃了份草 这 45 份草是牧场的草周生长出来20716245 963 牛吃草问题 2 的 所以每周生长的草量为 那么原有草量为 45315 1626 1572 供 21 头牛吃 若有 15 头牛去吃每周生长的草 剩下 6 头牛需要 周 可将原有牧草吃完 即它可供 21 头牛吃 12 周 72612 3个 个 个 21个 个 个个 个 个 23个 个 9个 个 个 27个 个 6个 个 个 巩固巩固 牧场上长满牧草 每天牧草都匀速生长 这片牧场可供牧场上长满牧草 每天牧草都匀速生长 这片牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天 可供天 可供 15 头牛吃头牛吃 10 天 供天 供 25 头牛可吃几天 头牛可吃几天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 10 头牛吃 20 天共吃了份 15 头牛吃 10 天共吃了份 1020200 15 10150 第一种吃法比第二种吃法多吃了份草 20015050 这 50 份草是牧场的草天生长出来的 201010 所以每天生长的草量为 那么原有草量为 50105 200520100 供 25 头牛吃 若有 5 头牛去吃每天生长的草 剩下 20 头牛需要 天 可将原有牧草吃完 即它可供 25 头牛吃 5 天 100205 巩固巩固 仓库里原有一批存货 以后继续运货进仓 且每天运进的货一样多 用同样的仓库里原有一批存货 以后继续运货进仓 且每天运进的货一样多 用同样的 汽车运货出仓 如果每天用汽车运货出仓 如果每天用 4 4 辆汽车 则辆汽车 则 9 9 天恰好运完 如果每天用天恰好运完 如果每天用 5 5 辆汽车 则辆汽车 则 6 6 天恰好运完 仓库里原有的存货若用天恰好运完 仓库里原有的存货若用 1 1 辆汽车运则需要多少天运完 辆汽车运则需要多少天运完 解析解析 设 辆汽车 天运货为 进货速度为 111 9456 96 2 原有存货为 仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要 天 42 918 18 118 拓展训练思维 拓展训练思维 例例 1 小军家的一片牧场上长满了草 每天草都在匀速生长 这片牧场可供小军家的一片牧场上长满了草 每天草都在匀速生长 这片牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天 可供天 可供 12 头牛吃头牛吃 15 天 如果小军家养了天 如果小军家养了 24 头牛 可以吃几天 头牛 可以吃几天 牛吃草问题 3 草速 10 20 12 15 20 15 4 老草 路程差 根据 路程差 速度差 追及时间 10 4 20 120 或 12 4 15 120 追及时间 路程差 速度差 120 24 4 6 天 例例 2 一个牧场可供一个牧场可供 58 头牛吃头牛吃 7 天 或者可供天 或者可供 50 头牛吃头牛吃 9 天 假设草的生长量每天相等 天 假设草的生长量每天相等 每头牛的吃草量也相等 那么 可供多少头牛吃每头牛的吃草量也相等 那么 可供多少头牛吃 6 天 天 草速 50 9 58 7 9 7 22 老草 路程差 50 22 9 252 或 58 22 7 252 求几头牛就是求牛速 牛速 路程差 追及时间 草速 252 6 22 64 头 例例 2 牧场上有一片匀速生长的草地 可供牧场上有一片匀速生长的草地 可供 27 头牛吃头牛吃 6 周 或供周 或供 23 头牛吃头牛吃 9 周 那么它周 那么它 可供多少头牛吃可供多少头牛吃 18 周 周 解析解析 设 1 头牛 1 周的吃草量为 1 草的生长速度为 23 9276 96 15 原有草量为 可供 头 牛吃 18 周 2715 672 72181519 巩固巩固 有一块匀速生长的草场 可供有一块匀速生长的草场 可供 12 头牛吃头牛吃 25 天 或可供天 或可供 24 头牛吃头牛吃 10 天 那么天 那么 它可供几头牛吃它可供几头牛吃 20 天 天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 那么天生长的草量为 251015 122524 1060 所以每天生长的草量为 原有草量为 60154 24410200 20 天里 草场共提供草 可以让头牛吃 20 天 200420280 2802014 巩固巩固 牧场有一片青草 每天长势一样 已知牧场有一片青草 每天长势一样 已知 70 头牛头牛 24 天把草吃完 天把草吃完 30 头牛头牛 60 天把草天把草 吃完 则吃完 则 头牛头牛 96 天可以把草吃完 天可以把草吃完 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 那么每天新生长的草量为 10 306070246024 3 牧场原有草量为 要吃 96 天 需要 头 牛 10 30601600 3 10 16009620 3 巩固巩固 一牧场放牛一牧场放牛 58 头 头 7 天把草吃完 若放牛天把草吃完 若放牛 50 头 则头 则 9 天吃完 假定草的生长量天吃完 假定草的生长量 每日相等 每头牛每日的吃草量也相同 那么放多少头牛每日相等 每头牛每日的吃草量也相同 那么放多少头牛 6 天可以把草吃完天可以把草吃完 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 个单位 则每天生长的草量为 509587 97 22 原有草量为 头 509229252 252226 664 牛吃草问题 4 巩固巩固 林子里有猴子喜欢吃的野果 林子里有猴子喜欢吃的野果 2323 只猴子可在只猴子可在 9 9 周内吃光 周内吃光 2121 只猴子可在只猴子可在 1212 周周 内吃光 问如果要内吃光 问如果要 4 4 周吃光野果 则需有多少只猴子一起吃 假定野果生长的速周吃光野果 则需有多少只猴子一起吃 假定野果生长的速 度不变 度不变 解析解析 设一只猴子一周吃的野果为 则野果的生长速度是 1 21 1223 9 129 15 原有的野果为 23 15 972 如果要 4 周吃光野果 则需有只猴子一起吃7241533 巩固巩固 一水库原有存水量一定 河水每天均匀入库一水库原有存水量一定 河水每天均匀入库 5 台抽水机连续台抽水机连续 20 天可抽干 天可抽干 6 台台 同样的抽水机连续同样的抽水机连续 15 天可抽干天可抽干 若要求若要求 6 天抽干 需要多少台同样的抽水机 天抽干 需要多少台同样的抽水机 解析解析 水库原有的水与 20 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天 台 205100 水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天 台 6 1590 每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天 台 10090 2015 2 原有的水可供多少台抽水机抽 1 天 台 10020260 若 6 天抽完 共需抽水机多少台 台 606212 例例 3 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不生长 反而以固定的速度在减少 已知某块草地上的由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不生长 反而以固定的速度在减少 已知某块草地上的 草可供草可供 20 头牛吃头牛吃 5 天 或可供天 或可供 15 头牛吃头牛吃 6 天 照此计算 可以供多少头牛吃天 照此计算 可以供多少头牛吃 10 天 天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 那么每天自然减少的草量为 2051566510 原有草量为 10 天吃完需要牛的头数是 头 20105150 15010105 巩固巩固 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长 反而以固定的速度在减少 如果某块由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长 反而以固定的速度在减少 如果某块 草地上的草可供草地上的草可供 25 头牛吃头牛吃 4 天 或可供天 或可供 16 头牛吃头牛吃 6 天 那么可供多少头牛吃天 那么可供多少头牛吃 12 天天 解析解析 设 1 头牛 1 天吃的草为 1 牧场上的草每天自然减少 254166 64 2 原来牧场有草 252 4108 12 天吃完需要牛的头数是 头 或 头 108 1227 108122 127 例例 4 由于天气逐渐变冷 牧场上的草每天以均匀的速度减少 经计算 牧场上的草可供由于天气逐渐变冷 牧场上的草每天以均匀的速度减少 经计算 牧场上的草可供 牛吃草问题 5 20 头牛吃头牛吃 5 天 或可供天 或可供 16 头牛吃头牛吃 6 天 那么 可供天 那么 可供 11 头牛吃几天 头牛吃几天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 天自然减少的草量为 651 2051664 原有草量为 2045120 若有 11 头牛来吃草 每天草减少 所以可供 11 头牛吃 天 11415 120158 巩固巩固 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长 反而以固定的速度在减少 如果某块由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长 反而以固定的速度在减少 如果某块 草地上的草可供草地上的草可供 25 头牛吃头牛吃 4 天 或可供天 或可供 16 头牛吃头牛吃 6 天 那么可供天 那么可供 10 头牛吃多少头牛吃多少 天天 解析解析 设 1 头牛 1 天吃的草为 1 牧场上的草每天自然减少 254166 64 2 原来牧场有草 252 4108 可供 10 头牛吃的天数是 天 108 102 9 例例 5 一块匀速生长的草地 可供一块匀速生长的草地 可供 1616 头牛吃头牛吃 2020 天或者供天或者供 100100 只羊吃只羊吃 1212 天 如果一头牛天 如果一头牛 一天吃草量等于一天吃草量等于 5 5 只羊一天的吃草量 那么这块草地可供只羊一天的吃草量 那么这块草地可供 1010 头牛和头牛和 7575 只羊一起吃只羊一起吃 多少天 多少天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 由于一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量 所以 100 只羊吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天 那么每天生长的草量为 原有草量为 162020 12201210 161020120 10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量 相当于 25 头牛一天吃的草量 25 头牛中 若有 10 头牛去吃每天生长的草 那么剩下的 15 头牛需要天可以把原有草量吃完 120158 即这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天 巩固巩固 有一片草场 草每天的生长速度相同 若有一片草场 草每天的生长速度相同 若 1414 头牛头牛 3030 天可将草吃完 天可将草吃完 7070 只羊只羊 1616 天也可将草吃完天也可将草吃完 4 4 只羊一天的吃草量相当于只羊一天的吃草量相当于 1 1 头牛一天的吃草量头牛一天的吃草量 那么 那么 1717 头牛头牛 和和 2020 只羊多少天可将草吃完只羊多少天可将草吃完 解析解析 4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量 所以可以设一只羊一天的食量为 1 那么 14 头牛 30 天吃了单位草量 而 70 只羊 16 天吃了单位草量 144301680 16701120 所以草场在每天内增加了草量 16801120 3016 40 原来的草量为草量 所以如果安排 17 头牛和 20 只羊 112040 16480 即每天食草 88 草量 经过天 可将草吃完 480 8840 10 牛吃草问题 6 巩固巩固 一片牧草 每天生长的速度相同 现在这片牧草可供一片牧草 每天生长的速度相同 现在这片牧草可供 20 头牛吃头牛吃 12 天 或可供天 或可供 60 只羊吃只羊吃 24 天 如果天 如果 1 头牛的吃草量等于头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量 那么只羊的吃草量 那么 12 头牛与头牛与 88 只只 羊一起吃可以吃几天 羊一起吃可以吃几天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 只羊的吃草量等于头牛的吃草量 6015 只羊的吃草量等于头牛的吃草量 所以草的生长速度为 8822 152420 12 2412 10 原有草量为 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃 天 2010 12120 120 122210 5 巩固巩固 一片茂盛的草地 每天的生长速度相同 现在这片青草一片茂盛的草地 每天的生长速度相同 现在这片青草 1616 头牛可吃头牛可吃 1515 天 天 或者可供或者可供 100100 只羊吃只羊吃 6 6 天 而天 而 4 4 只羊的吃草量相当于只羊的吃草量相当于 l l 头牛的吃草量 那么头牛的吃草量 那么 8 8 头牛与头牛与 4848 只羊一起吃 可以吃多少天只羊一起吃 可以吃多少天 解析解析 设 头牛 天的吃草量为 摘录条件 将它们转化为如下形式方便分析 16 头牛 15 天 16 15 240 原有草量 15 天生长的草量 100 只羊 25 头牛 6 天 25 6 150 原有草量 6 天生长的草量 从上易发现 1 天生长的草量 10 那么原有草量 150 10 6 90 8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量 其中 10 头牛去吃新生草 那么剩下的 10 头牛吃原有 草 90 只需 9 天 所以 8 头牛与 48 只羊一起吃 可以吃 9 天 例例 6 有一牧场 有一牧场 17 头牛头牛 30 天可将草吃完 天可将草吃完 19 头牛则头牛则 24 天可以吃完 现有若干头牛吃天可以吃完 现有若干头牛吃 了了 6 天后 卖掉了天后 卖掉了 4 头牛 余下的牛再吃两天便将草吃完 问 原来有多少头牛吃头牛 余下的牛再吃两天便将草吃完 问 原来有多少头牛吃 草草 草均匀生长草均匀生长 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 那么每天生长的草量为 1730192430249 原有草量为 17930240 现有若干头牛吃了 6 天后 卖掉了 4 头牛 余下的牛再吃两天便将草吃完 如果不卖掉这 4 头牛 那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃 8 天 428 所以这些牛的头数为 头 24088940 巩固巩固 一片草地 可供一片草地 可供 5 头牛吃头牛吃 30 天 也可供天 也可供 4 头牛吃头牛吃 40 天 如果天 如果 4 头牛吃头牛吃 30 天 天 又增加了又增加了 2 头牛一起吃 还可以再吃几天 头牛一起吃 还可以再吃几天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 那么每天生长的草量为 4405 3040301 原有草量为 如果 4 头牛吃 30 天 5130120 牛吃草问题 7 那么将会吃去 30 天的新生长草量以及 90 原有草量 此时原有草量还剩 1209030 而牛的头数变为 6 现在就相当于 原有草量 30 每天生长草量 1 那么 6 头牛吃几天可将它吃完 易得答案为 天 30616 例例 7 一片匀速生长的牧草 如果让马和牛去吃 一片匀速生长的牧草 如果让马和牛去吃 15 天将草吃尽 如果让马和羊去吃 天将草吃尽 如果让马和羊去吃 20 天将草吃尽 如果让牛和羊去吃 天将草吃尽 如果让牛和羊去吃 30 天将草吃尽天将草吃尽 已知牛和羊每天的吃草量的已知牛和羊每天的吃草量的 和等于马每天的吃草量和等于马每天的吃草量 现在让马 牛 羊一起去吃草 几天可以将这片牧草吃尽 现在让马 牛 羊一起去吃草 几天可以将这片牧草吃尽 解析解析 设 1 匹马 1 天吃草量为 1 根据题意 有 15 天马和牛吃草量原有草量天新生长草量 15 20 天马和羊吃草量原有草量天新生长草量 20 30 天牛和羊 等于马 吃草量原有草量天新生长草量 30 由可得 30 天牛吃草量原有草量 所以 牛每天吃草量原有草量 1 2 3 30 由 可知 30 天羊吃草量天新生长草量 所以 羊每天吃草量每天新生长草量 30 设马每天吃的草为 份 将上述结果带入 得 原有草量 所以牛每天吃草量 360 2 这样如果同时放牧牛 羊 马 可以让羊去吃新生长的草 牛和马吃原有的草 可以吃 天 602312 巩固巩固 现在有牛 羊 马吃一块草地的草 牛 马吃需要现在有牛 羊 马吃一块草地的草 牛 马吃需要 4545 天吃完 于是马 羊吃需要天吃完 于是马 羊吃需要 6060 天吃完 天吃完 于是牛 羊吃需要于是牛 羊吃需要 9090 天吃完 牛 羊一起吃草的速度为马吃草的速度 求马 牛 羊一起吃 天吃完 牛 羊一起吃草的速度为马吃草的速度 求马 牛 羊一起吃 需多少时间需多少时间 解析解析 牛 马 45 天吃了 原有天新长的草 45 牛 马 90 天吃了 2 原有天新长的草 90 马 羊 60 天吃了 原有天新长的草 60 牛 羊 90 天吃了 原有天新长的草 90 马 90 天吃了 原有天新长的草 90 所以 由 知 牛吃了 90 天 吃了原有的草 再结合 知 羊吃了 90 天 吃了 90 天新长的草 所以 可以将羊视为专门吃新长的草 所以 知马 60 天吃完原有的草 知牛 90 天吃完原有的草 现在将牛 马 羊放在一起吃 还是让羊吃新长的草 牛 马一起吃原有的草 所需时间为天 11 1 36 9060 所以 牛 羊 马一起吃 需 36 天 板块二 多块地的 牛吃草问题 例例 8 东升牧场南面一块东升牧场南面一块 2000 平方米的牧场上长满牧草 牧草每天都在匀速生长 这片平方米的牧场上长满牧草 牧草每天都在匀速生长 这片 牧场可供牧场可供 18 头牛吃头牛吃 16 天 或者供天 或者供 27 头牛吃头牛吃 8 天 在东升牧场的西侧有一块天 在东升牧场的西侧有一块 6000 牛吃草问题 8 平方米的牧场 可供多少头牛吃平方米的牧场 可供多少头牛吃 6 天 天 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 那么 2000 平方米的牧场上天生长的草量为1688 即每天生长的草量为 18 1627872 7289 那么 2000 平方米的牧场上原有草量为 18916144 则 6000 平方米的牧场每天生长的草量为 96000200027 原有草量为 6 天里 该牧场共提供牧草 14460002000432 432276594 可以让 头 牛吃 6 天 594699 巩固巩固 有甲 乙两块匀速生长的草地 甲草地的面积是乙草地面积的有甲 乙两块匀速生长的草地 甲草地的面积是乙草地面积的 3 倍 倍 30 头牛头牛 12 天能吃完甲草地上的草 天能吃完甲草地上的草 20 头牛头牛 4 天能吃完乙草地上的草 问几头牛天能吃完乙草地上的草 问几头牛 10 天能同时天能同时 吃完两块草地上的草 吃完两块草地上的草 解析解析 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 由于甲草地的面积是乙草地面积的 3 倍 把甲草地分成面积相等的 3 块 那么每块都与乙草地的面积相等 由于 30 头牛 12 天能吃完甲草地上的草 相当于每块上的草由 10 头牛 12 天吃完 那么条件转换为 10 头牛 12 天能吃完乙草地上的草 20 头牛 4 天也能吃完乙草地上的草 可知每天乙草地长草量为 乙草地原有草量为 10 122041245 205460 则甲 乙两块草地每天的新生长草量为 原有草量为 5420 604240 要 10 天同时吃完两块草地上的草 需要 头 牛 240102044 巩固巩固 有一块有一块 12001200 平方米的牧场 每天都有一些草在匀速生长 这块牧场可供平方米的牧场 每天都有一些草在匀速生长 这块牧场可供 1010 头牛吃头牛吃 2020 天 或可供天 或可供 1515 头牛吃头牛吃 1010 天 另有一块天 另有一块 36003600 平方米的牧场 每平方平方米的牧场 每平方 米的草量及生长量都与第一块牧场相同 问这片牧场可供米的草量及生长量都与第一块牧场相同 问这片牧场可供 7575 头牛吃多少天 头牛吃多少天 解析解析 设 头牛 天的吃草量为 摘录条件 将它们转化为如下形式方便分析 10 头牛 20 天 10 20 200 原有草量 20 天生长的草量 15 头牛 10 天 15 10 150 原有草量 10 天生长的草量 从上易发现 1200 平方米牧场上 20 10 10 天生长草量 200 150 50 即 1 天生长草量 50 10 5 那么 1200 平方米牧场上原有草量 200 5 20 100 或 150 5 10 100 则 3600 平方米的牧场 1 天生长草量 5 3600 1200 15 原有草量 100 3600 1200 300 75 头牛里 若有 15 头牛去吃每天生长的草 剩下 60 头牛需要 300 60 5 天 可将原有草吃完 即它可供 75 头牛吃 5 天 例例 9 一个农夫有面积为一个农夫有面积为 2 公顷 公顷 4 公顷和公顷和 6 公顷的三块牧场公顷的三块牧场 三块牧场上的草长得一样三块牧场上的草长得一样 密 而且长得一样快密 而且长得一样快 农夫将农夫将 8 头牛赶到头牛赶到 2 公顷的牧场 牛公顷的牧场 牛 5 天吃完了草 如果农天吃完了草 如果农 牛吃草问题 9 夫将夫将 8 头牛赶到头牛赶到 4 公顷的牧场 牛公顷的牧场 牛 15 天可吃完草天可吃完草 问 若农夫将这问 若农夫将这 8 头牛赶到头牛赶到 6 公顷的牧场 这块牧场可供这些牛吃几天 公顷的牧场 这块牧场可供这些牛吃几天 解析解析 法 1 设 1 头牛 1 天吃草量为 1 可以将不同的公顷数统一转化为单位量 1 公顷来解决 把 2 公顷牧场分割成 2 块 每块 1 公顷 每块可供 4 头牛吃 5 天 把 4 公顷牧场分割成 4 块 每块 1 公顷 每块可供 2 头牛吃 15 天 那么 1 公顷牧场每天新生长的草量为 2 15451551 1 公顷牧场原有草量为 那么 6 公顷牧场每天新生长的草量为 41515 1 66 原有草量为 15690 8 头牛里 若有 6 头牛去吃每天新生长的草 剩下 2 头牛需要 天 可将原有草吃完 90245 即它可供 8 头牛吃 45 天 法 2 题中 3 块牧场面积不同 要解决这个问题 可以将 3 块牧场的面积统一起来 设 1 头牛 1 天吃草量为 1 将 8 头牛赶到 2 公顷的牧场 牛 5 天吃完了草 相当于 12 公顷的牧场可供 48 头牛吃 5 天 将 8 头牛赶到 4 公顷的牧场 牛 15 天可吃完草 相当于 12 公顷的牧场可供 24 头牛吃 15 天 所以 12 公顷的牧场每天新生长的草量为 24 1548 515512 12 公顷牧场原有草量为 48125180 那么 12 公顷牧场可供 16 头牛吃 天 所以 6 公顷的牧场可供 8 头牛吃 45 180161245 天 巩固巩固 有三块草地 面积分别为有三块草地 面积分别为 5 公顷 公顷 15 公顷和公顷和 24 公顷公顷 草地上的草一样厚 而且草地上的草一样厚 而且 长得一样快长得一样快 第一块草地可供第一块草地可供 10 头牛吃头牛吃 30 天 第二块草地可供天 第二块草地可供 28 头牛吃头牛吃 45 天 问 第三块草地可供多少头牛吃天 问 第三块草地可供多少头牛吃 80 天 天 解析解析 法 1 设 1 头牛 1 天吃草量为 1 第一块草地可供 10 头牛吃 30 天 说明 1 公顷草地 30 天提供份草 1030560 第二块草地可供 28 头牛吃 45 天 说明 1 公顷草地 45 天提供份草 2845 1584 所以 1 公顷草地每天新生长的草量为份 846045301 6 1 公顷原有草量为 24 公顷草地每天新生长的草量为 601 63012 1 62438 4 24 公顷草地原有草量为 1224288 那么 24 公顷草地 80 天可提供草量为 28838 4 803360 所以共需要牛的头数是 头 牛 33608042 法 2 现在是 3 块面积不同的草地 要解决这个问题 也可以将 3 块草地的面积统一起来 由于 那么题中条件可转化为 5 15 24120 120 公顷草地可供 240 头牛吃 30 天 也可供 224 头牛吃 45 天 牛吃草问题 10 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 那么 120 公顷草地每天新生长的草量为 120 公顷草地原有草量为 22445240304530192 240192301440 0 公顷草地可供 头 牛吃 80 天 144080192210 那么 24 公顷草地可供 头 牛吃 80 天 210542 例例 10 4 头牛头牛 28 天可以吃完天可以吃完 10 公顷牧场上全部牧草 公顷牧场上全部牧草 7 头牛头牛 63 天可以吃完天可以吃完 30 公顷牧场上全部牧草 公顷牧场上全部牧草 那么那么 60 头牛多少天可以吃完头牛多少天可以吃完 40 公顷牧场上全部牧草 公顷牧场上全部牧草 每公顷牧场上原有草量相等 且每公每公顷牧场上原有草量相等 且每公 顷牧场上每天生长草量相等顷牧场上每天生长草量相等 解析解析 题中是 3 块面积不同的草地 要解决这个问题 可以将 3 块草地的面积统一起来 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 10 30 40120 原条件可转化为 120 公顷牧场 48 头牛 28 天吃完 120 公顷牧场 28 头牛 63 天吃完 那么 120 公顷牧场每天新生长的草量为 28634828632812 120 公顷牧场原有草量为 4812281008 则 40 公顷牧场每天新生长的草量为 40 公顷牧场原有草量为 1234 10083336 在 60 头牛里先分出4 头牛来吃新生长的草 剩余的56 头牛来吃原有的草 可以吃 天 336566 巩固巩固 有三块草地 面积分别是有三块草地 面积分别是 4 公顷 公顷 8 公顷和公顷和 10 公顷 草地上的草一样厚而且长公顷 草地上的草一样厚而且长 得一样快 第一得一样快 第一块块草草地地可可供供24 头头牛牛吃吃6 周周 第第二二块块草草地地可可供供36 头头牛牛吃吃 12 周周 问问 第第三三块块草草地地可可供供50 头头牛牛吃吃几几周周 解析解析 设 1 头牛 1 周吃草量为 1 第一块草地可供 24 头牛吃 6 周 说明 1 公顷草地可供 6 头牛吃 6 周 第二块草地可供 36 头牛吃 12 周 说明 1 公顷草地可供头牛吃 12 周 4 5 那么 1 公顷草地 1 周新生长的草量为份 4 5 12661263 1 公顷草地原有草量为 第三块草地 1 周新生长的草量为 63618 3 1030 第三块草地原有草量为 18 10180 50 头牛中 若有 30 头牛去吃每天生长的草 那么剩下的 20 头牛需要周可以把原有180209 草吃完 即这块草地可供 50 头牛吃 9 周 板块三 牛吃草问题 的变形 例例 11 一只船发现漏水时 已经进了一些水 水匀速进入船内一只船发现漏水时 已经进了一些水 水匀速进入船内 如果如果 10 人淘水 人淘水 3 小时淘小时淘 完 如完 如 5 人淘水 人淘水 8 小时淘完小时淘完 如果要求如果要求 2 小时淘完 要安排多少人淘水 小时淘完 要安排多少人淘水 解析解析 设 1 人 1 小时淘出的水量是 1 淘水速度是 原有水量 5 8103 83 2 102 324 牛吃草问题 11 要求2小时淘完 要安排人淘水242214 巩固巩固 一只船发现漏水时 已经进了一些水 现在水匀速进入船内 如果一只船发现漏水时 已经进了一些水 现在水匀速进入船内 如果 3 人淘水人淘水 40 分钟可以淘完 分钟可以淘完 6 人淘水人淘水 16 分钟可以把水淘完 那么 分钟可以把水淘完 那么 5 人淘水几分钟可以把水淘人淘水几分钟可以把水淘 完 完 解析解析 设 1 人 1 分钟淘出的水量是 1 分钟的进水量为 所以每分钟的进水量为 401624 3406 1624 24241 那么原有水量为 5 人淘水需要 分钟 把水淘完 3 14080 805120 例例 12 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的 照此计算 地球上的资源可供假设地球上新生成的资源增长速度是一定的 照此计算 地球上的资源可供 110110 亿亿 人生活人生活 9090 年 或供年 或供 9090 亿人生活亿人生活 210210 年 为了使人类能够不断繁衍 地球上最多能年 为了使人类能够不断繁衍 地球上最多能 养活多少人 养活多少人 解析解析 亿人 9021011090 21090 75 例例 13 画展画展 8 30 开门 但早有人来排队入场 从第一个观众来到时起 若每分钟来的观开门 但早有人来排队入场 从第一个观众来到时起 若每分钟来的观 众一样多 如果开众一样多 如果开 3 个入场口 个入场口 9 点就不再有人排队 如果开点就不再有人排队 如果开 5 个入场口 个入场口 8 点点 45 分就没有人排队 求第一个观众到达的时间 分就没有人排队 求第一个观众到达的时间 解析解析 设每分钟 1 个入口进入的人数为 1 个单位 8 30 到 9 00 共 30 分钟 3 个入口共进入 3 3090 8 30 到 8 45 共 15 分钟 5 个入口共进入 15 分钟到来的人数 5 1575 907515 每分钟到来 15 151 8 30 以前原有人 所以应排了 分钟 即第一个来人在 7 303 301 3060 60160 巩固巩固 画展画展 9 点开门 但早有人来排队入场 从第一个观众来到时起 若每分钟来的点开门 但早有人来排队入场 从第一个观众来到时起 若每分钟来的 观众一样多 如果开观众一样多 如果开 3 个入场口 个入场口 9 点点 9 分就不再有人排队 如果开分就不再有人排队 如果开 5 个入场口 个入场口 9 点点 5 分就没有人排队 求第一个观众到达的时间 分就没有人排队 求第一个观众到达的时间 解析解析 如果把入场口看作为 牛 开门前原有的观众为 原有草量 每分钟来的观众为 草的增长速度 那么本题就是一个 牛吃草 问题 设每一个入场口每分钟通过 1 份人 那么 4 分钟来的人为 即 1 分钟来的人为 3 95 52 240 5 原有的人为 30 5922 5 这些人来到画展 所用时间为 分 所以第一个观众到达的时间为 8 点 15 分 22 50 545 点评 从表面上看这个问题与 牛吃草 问题相离很远 但仔细体会 题目中每分钟来的观众 牛吃草问题 12 一样多 类似于 草的生长速度 入场口的数量类似于 牛 的数量 问题就变成 牛吃草 问题了 解决一个问题的方法往往能解决一类问题 关键在于是否掌握了问题的实质 巩固巩固 早晨早晨 6 点 某火车进口处已有点 某火车进口处已有 945 名旅客等候检票进站 此时 每分钟还有若名旅客等候检票进站 此时 每分钟还有若 干人前来进口处准备进站 这样 如果设立干人前来进口处准备进站 这样 如果设立 4 个检票口 个检票口 15 分钟可以放完旅客 如分钟可以放完旅客 如 果设立果设立 8 个检票口 个检票口 7 分钟可以放完旅客 现要求分钟可以放完旅客 现要求 5 分钟放完 需设立几个检票口分钟放完 需设立几个检票口 解析解析 设 1 个检票口 1 分钟放进 1 个单位的旅客 1 分钟新来多少个单位的旅客 1 4 1587 157 2 检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候 4 15 52 1 2 1 2 5 分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客 52 5 55 1 2 1 2 设立几个检票口 个 55511 例例 14 在地铁车站中 从站台到地面有一架向上的自动扶梯 小强乘坐扶梯时 如果每秒在地铁车站中 从站台到地面有一架向上的自动扶梯 小强乘坐扶梯时 如果每秒 向上迈一级台阶 那么他走过向上迈一级台阶 那么他走过 20 级台阶后到达地面 如果每秒向上迈两级台阶 级台阶后到达地面 如果每秒向上迈两级台阶 那么走过那么走过 30 级台阶到达地面 从站台到地面有级台阶到达地面 从站台到地面有 级台阶 级台阶 解析解析 本题非常类似于 牛吃草问题 如将题目改为 在地铁车站中 从站台到地面有一架向上的自动扶梯 小强乘坐扶梯时 如果每秒向上迈一级台阶 那么他走过 20 秒后到达地面 如果每秒向上迈两级台阶 那么走过 15 秒到达地面 问 从站台到地面有多少级台阶 采用牛吃草问题的方法 电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数 阶 20155 2 151 2010 电梯的速度为阶 秒 扶梯长度为 阶 1052 20 12 60 巩固巩固 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走 男孩每秒可走两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走 男孩每秒可走 3 3 级梯级 女孩级梯级 女孩 每秒可走每秒可走 2 2 级梯级 结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了级梯级 结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100100 秒 女孩走了秒 女孩走了 300300 秒 问 该扶梯共有多少级梯级 秒 问 该扶梯共有多少级梯级 解析解析 本题与牛吃草问题类似 其中扶梯的梯级总数相当于原有草量 而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度 并且上楼的速度要分成两部分 一部分是孩子自己的速度 另一部分是自动扶梯的速度 自动扶梯的速度 女孩每秒走的梯级 女孩走的时间 男孩每秒走的梯级 男孩走的时间 女孩走的时间 男孩走的时间 23003 100 300100 1 5 自动扶梯的梯级总数 女孩每秒走的梯级 女孩走的时间 自动扶梯的速度 女孩走的时间 级 所以自动扶梯共有 150 级的梯级 23001 5 300600450150 牛吃草问题 13 巩固巩固 自动扶梯以匀速由下往上行驶 两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢 于是在行自动扶梯以匀速由下往上行驶 两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢 于是在行 驶的扶梯上 男孩每秒向上走驶的扶梯上 男孩每秒向上走 1 1 梯级 女孩每梯级 女孩每 3 3 秒钟走秒钟走 2 2 梯级 结果男孩用梯级 结果男孩用 5050 秒秒 到达楼上 女孩用到达楼上 女孩用 6060 秒到达楼上 该楼梯共有多少级 秒到达楼上 该楼梯共有多少级 解析解析 该题属于草匀速减少的情况 扶梯的运行速度 50 16032 6050 1 自动扶梯的梯级总数 级 50 1 1 100 例例 15 小明从甲地步行去乙地 出发一段时间后 小亮有事去追赶他 若骑自行车 每小小明从甲地步行去乙地 出发一段时间后 小亮有事去追赶他 若骑自行车 每小 时行时行 15 千米 千米 3 小时可以追上 若骑摩托车 每小时行小时可以追上 若骑摩托车 每小时行 35 千米 千米 1 小时可以追上 小时可以追上 若开汽车 每小时行若开汽车 每小时行 45 千米 千米 分钟能追上 分钟能追上 解析解析 本题是 牛吃草 和行程问题中的追及问题的结合 小明在小时内走了千米 那么小明的速度为 千米 时 3 12 15 335 110 1025 追及距离为 千米 汽车去追的话需要 小时 分钟 155330 3 30455 4 45 例例 16 快 中 慢三车同时从快 中 慢三车同时从地出发沿同一公路开往地出发沿同一公路开往地 途中有骑车人也在同方向行地 途中有骑车人也在同方向行AB 进 这三辆车分别用进 这三辆车分别用 7 分钟 分钟 8 分钟 分钟 14 分钟追上骑车人 已知快车每分钟行分钟追上骑车人 已知快车每分钟行 800 米 慢车每分钟行米 慢车每分钟行 600 米 中速车的速度是多少 米 中速车的速度是多少 解析解析 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量 骑车人的速度看成草生长的速度 所以骑车人速度是 米 分 600 148007 147 400 开始相差的路程为 米 600400 142800 所以中速车速度为 米 分 28008400750 巩固巩固 有固定速度行驶的甲车和乙车 如果甲车以现在速度的有固定速度行驶的甲车和乙车 如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车 倍追赶乙车 5 小时后小时后 甲车追上乙车 如果甲车以现在速度的甲车追上乙车 如果甲车以现在速度的 3 倍追赶乙车 倍追赶乙车 3 小时后甲车追上乙车 那小时后甲车追上乙车 那 么如果甲车以现在的速度去追赶乙车 问 几个小时后甲车追上乙车 么如果甲车以现在的速度去追赶乙车 问 几个小时后甲车追上乙车 解析解析 分析知道甲车相当于 牛 甲追赶乙的追及路程相当于 原有草量 乙车相当于 新生长的 草 设甲车的速度为 1 那么乙车小时走的路程为 532 253 31 所以乙的速度为 追及路程为 120 5 20 557 5 如果甲以现在的速度追赶乙 追上的时间为 小时 7 510 515 牛吃草问题 14 例例 17 甲 乙 丙三车同时从甲 乙 丙三车同时从地出发到地出发到地去 甲 乙两车的速度分别是每小时地去 甲 乙两车的速度分别是每小时 60 千千AB 米和每小时米和每小时 48 千米 有一辆卡车同时从千米 有一辆卡车同时从地迎面开来 分别在它们出发后地迎面开来 分别在它们出发后 6 小时 小时 B 7 小时 小时 8 小时先后与甲 乙 丙车相遇 求丙车的速度 小时先后与甲 乙 丙车相遇 求丙车的速度 解析解析 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程 全程看成是原有草量 卡车速度看成是草匀速减少的速度 所以卡车速度为 千米 时 606487 76 24 全程 千米 丙车速度为 千米 时 6024 6504 50482439 巩固巩固 小新 正南 妮妮三人同时从学校出发到公园去 小新 正南两人的速度分别小新 正南 妮妮三人同时从学校出发到公园去 小新 正南两人的速度分别 是每分钟是每分钟 20 米和每分钟米和每分钟 16 米 在他们出发的同时 风间从公园迎面走来 分别在米 在他们出发的同时 风间从公园迎面走来 分别在 他们出发后他们出发后 6 分钟 分钟 7 分钟 分钟 8 分钟先后与小新 正南 妮妮相遇 求妮妮的速分钟先后与小新 正南 妮妮相遇 求妮妮的速 度 度 解析解析 当小新和风间相遇时 正南落后小新 米 6201624 依题意知正南和风间走这 24 米需要 分钟 761 正南和风间的速度和为 米 分 风间的速度为 米 分 24124 24168 学校到公园的距离为 米 所以妮妮的速度为 米 分 247168 1688813 例例 18 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀 如果同时打开进水阀一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀 如果同时打开进水阀 及一个排水阀 则及一个排水阀 则分钟能把水池的水排完 如果同时打开进水阀及两个排水阀 分钟能把水池的水排完 如果同时打开进水阀及两个排水阀 30 则则分钟把水池的水排完 问 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀 需要多少分分钟把水池的水排完 问 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀 需要多少分10 钟才能排完水池的水 钟才能排完水池的水 解析解析 设一个排水阀 1 分钟排水量为 1 那么进水阀 1 分钟进水量为 水池原有水量 1 302 1030100 5 为 10 53015 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀 需要 分钟 才能排完水池的水 1535 巩固巩固 一个蓄水池有一个蓄水池有 1 个进水口和个进水口和 15 个出水口 水从进水口匀速流入 当池中有一半个出水口 水从进水口匀速流入 当池中有一半 的水时 如果打开的水时 如果打开 9 个出水口 个出水口 9 小时可以把水排空 如果打开小时可以把水排空 如果打开 7 个出水口 个出水口 18 小小 时可以把水排空 如果是一满池水 打开全部出水口放水 那么经过时可以把水排空 如果是一满池水 打开全部出水口放水 那么经过 时时 分水池刚好被排空 分水池刚好被排空 牛吃草问题 15 解析解析 本题是牛吃草问题的变形 设每个出水口每小时的出水量为 1 则进水口每小时的进水量为 7 1899 189 5 半池水的量为 所以一池水的量为 72 95 936 如果打开全部 15 个出水口 排空水池所需要的时间为小时 即 7 小时 12 分72 155 7 2 钟 巩固练习巩固练习 1 1 一块牧场长满了草 每天均匀生长 这块牧场的草可供一块牧场长满了草 每天均匀生长 这块牧场的草可供 1010 头牛吃头牛吃 4040 天 供天 供 1515 头牛吃头牛吃 2020 天 可供天 可供 2525 头牛吃 天 头牛吃 天 A A 1010 B B 5 5 C C 2020 A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为 1 份 每天新生的草量为 10 40 15 20 40 20 5 份 那么愿草量为 10 40 40 5 200 份 安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草 这块牧场可供 25 头牛吃 200 25 5 10 天 2 2 一块草地上的草以均匀的速度生长 如果一块草地上的草以均匀的速度生长 如果 2020 只羊只羊 5 5 天可以将草地上的草和新长天可以将草地上的草和新长 出的草全部吃光 而出的草全部吃光 而 1414 只羊则要只羊则要 1010 天吃光 那么想用天吃光 那么想用 4 4 天的时间 把这块草地的草吃天的时间