图形面积分割问题专项练习

1 图形面积分割问题专题图形面积分割问题专题 数学中有很多有趣的题 图形分割就是其中一种 请你展开想象的翅 膀 来对下列图形进行巧妙的分割吧 1 请将一个等边三角形 图 1 分割成形状面积都相同的 3 个部 分 2 接下来请将图 2 分割成形状面积都相同的 4 个部分 此图由 5 个相同的正方形组成 3 请将图 3 分割成形状面积相同的 8 个部分 此图由三个相同的 正方形组成 2 某市要在一块平行四边形 ABCD 的空地上建造一个四边形花园 要求花 园所占面积是面积的一半 并且把四边形花园的四个顶点作为出入 口 要求分别在中的四条边上 请你设计两种方案 方案 一 如图 所示 两个出入口以确定 请在图 上画出符合要FE 求的四边形花园 并简要说明画法 方案 二 如图 所示 一个出入口已确定 请在图 上画出符合要M 求的梯形花园 并简要说明画法 图 AD B C E F 图 AD B C M 2 3 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分 我们把这条直 线称为这个平面图形的一条面积等分线 如 平行四边形的一条对线所在的 直线就是平行四边形的一条面积等分线 1 三角形的中线 高线 角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积 等分线的有 2 三角形有 条面积等分线 平行四边形有 条面积等分线 3 如图 所示 在矩形中剪去一个小正方形 请画出这个图形的一条面 积等分线 4 如图 1 梯形 ABCD 中 AB DC 如果延长 DC 到 E 使 CE AB 连接 AE 那么有 S 梯形 ABCD S ADE 请你给出这个结论成立的理由 并过点 A 作出梯形 ABCD 的面积等分线 不写作法 保留作图痕迹 5 如图 四边形 ABCD 中 AB 与 CD 不平行 S ADC S ABC 过点 A 能 否作出四边形 ABCD 的面积等分线 若能 请画出面积等分线 并给出证明 若不能 说明理由 4 如图 所示 已知直线 m n A B 为直线 n 上的两点 C D 为直线 m 上 的两点 1 写出图中面积相等的各对三角形 3 2 如果 A B C 为三个定点 点 D 在 m 上移动 那么无论 D 点移动到任 何位置 总有与 ABC 的面积相等 理由是 解决以下问题解决以下问题 如图 所示 五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土 地的示意图 经过多年开垦荒地 现已变成如图 所示的形状 但承包土地 与开垦荒地的分界小路 即图中的折线 CDE 还保留着 张大爷想过 E 点修 一条直路 使直路左边的土地面积与承包时的一样多 右边的土地面积与开 垦荒地面积一样多 请你用相关的几何知识 按张大爷的要求设计出修路方 案 不计分界小路与直路的占地面积 3 写出设计方案 并在图 中画出相应的图形 4 说明方案设计的理由 5 4 6 提出问题 如图 有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕 AB BC 且 BC AC 在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力 小明和小华决定只切一刀将这 块蛋糕平分 要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样 背景介绍 这条分割直线即平分了三角形的面积 又平分了三角形的周长 我们称这条线为三角形的 等分积周线 尝试解决 1 小明很快就想到了一条分割直线 而且用尺规作图作出 请你帮小明 在图1中画出这条 等分积周线 从而平分蛋糕 2 小华觉得小明的方法很好 所以自己模仿着在图1中过点 C 画了一条 直线 CD 交 AB 于点 D 你觉得小华会成功吗如能成功 说出确定的方法 如不能成功 请说明理由 3 通过上面的实践 你一定有了更深刻的认识 请你解决下面的问题 若 AB BC 5 cm AC 6 cm 请你找出 ABC 的所有 等分积周线 并简 要的说明确定的方法 7 把一个正六边形分割成八个形状相同 面积相等的图形怎么分 5 8 课本的作业题中有这样一道题 把一张顶角为 36 的等腰三角形纸片剪两刀 分成 三张小纸片 使每张小纸片都是等腰三角形 你能办到吗 请画示意图说明剪法 定义 如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形 我们把这两条线段叫做这个三 角形的三分线 1 请你在图 2 中用两种不同的方法画出顶角为 45 的等腰三角形的三分线 并标注 每个等腰三角形顶角的度数 若两种方法分得的三角形成 3 对全等三角形 则视为同 一种 2 ABC 中 B 30 AD 和 DE 是 ABC 的三分线 点 D 在 BC 边上 点 E 在 AC 边上 且 AD BD DE CE 设 C x 试画出示意图 并求出 x 所有可能值 3 如图 3 ABC 中 AC 2 BC 3 C 2 B 请画出 ABC 的三分线 并求出 三分线的长 9 10 分 2014 随州 已知两条平行线 l1 l2之间的距离为 6 截线 CD 分别交 l1 l2于 C D 两点 一直角的顶点 P 在线段 CD 上运动 点 P 不与点 C D 重合 直 角的两边分别交 l1 l2与 A B 两点 1 操作发现 如图 1 过点 P 作直线 l3 l1 作 PE l1 点 E 是垂足 过点 B 作 BF l3 点 F 是垂 足 此时 小明认为 PEA PFB 你同意吗 为什么 2 猜想论证 将直角 APB 从图 1 的位置开始 绕点 P 顺时针旋转 在这一过程中 试观察 猜想 当 AE 满足什么条件时 以点 P A B 为顶点的三角形是等腰三角形 在图 2 中画出 图形 证明你的猜想 3 延伸探究 6 在 2 的条件下 当截线 CD 与直线 l1所夹的钝角为 150 时 设 CP x 试探究 是 否存在实数 x 使 PAB 的边 AB 的长为 4 请说明理由 7 答案答案 解 解 1 画图如下 3 分 2 如图 当 AD AE 时 2x x 30 30 x 20 4 分 当 AD DE 时 30 30 2x x 180 x 40 5 分 当 AE DE 时 不存在 C 20 或 40 6 分 3 如图 CD CE 就是所求的三分线 设 B 则 DCB DCA EAC ADE AED 2 8 分 设 AE AD x BD CD y AEC BDC 8 x y 2 3 10 分 又 ACD ABC 2 x x y 2 解得 x y 即三分线长分别是 2 10 5 3 10 5 和 12 2 10 5 3 10 5 考点 几何变换综合题 分析 1 根据题意得到 EPA APF 90 FPB APF 90 从而得到 EPA FPB 然后根据 PEA PFB 90 证得 PEA PFB 2 根据 APB 90 得到要使 PAB 为等腰三角形 只能是 PA PB 然后根据当 AE BF 时 PA PB 从而得到 PEA PFB 利用全等三角形的性质证得结论即 可 3 在 Rt PEC 中 CP x PCE 30 从而得到 PE x 然后利用 PE BF 6 BF AE 得到 AE 6 x 然后利用勾股定理得到 PE2 AE2 PA2 代入整理 后得到一元二次方程 x2 12x 8 0 求得 x 的值后大于 12 从而得到矛盾说明不存在 满足条件的 x 解答 解 1 如图 1 由题意 得 EPA APF 90 FPB APF 90 EPA FPB 又 PEA PFB 90 PEA PFB 2 证明 如图 2 APB 90 要使 PAB 为等腰三角形 只能是 PA PB 当 AE BF 时 PA PB EPA FPB PEA PFB 90 AE BF 9 PEA PFB PA PB 3 如图 2 在 Rt PEC 中 CP x PCE 30 PE x 由题意 PE BF 6 BF AE AE 6 x 当 AB 4时 由题意得 PA 2 Rt PEA 中 PE2 AE2 PA2 即 2 6 x 2 40 整理得 x2 12x 8 0 解得 x 6 2 0 舍去 或 x 6 2 x 6 2 6 6 12 又 CD 12 点 P 在 CD 的延长线上 这与点 P 在线段 CD 上运动相矛盾 不合题意 综上 不存在满足条件的实数 x 掘金死神 131 2014 09 24 在 ABC 中 AB AC A 36 把像这样的三角形叫做黄金三角形 1 请你设计三种不同的分法 将黄金三角形 ABC 分割成三个等腰三角形 使得分割成的三角形中 含有两个黄金三角形 画图工具不限 要求画出分割线段 标出能够说明不同分法所得三角形的内角 度数 不要求写画法 不要求证明 分别画在图 1 图 2 图 3 中 10 注 两种分法只要有一条分割线段位置不同 就认为是两种不同的分法 2 如图 4 中 BF 平分 ABC 交 AC 于 F 取 AB 的中点 E 连接 EF 并延长交 BC 的延长线于 M 试判断 CM 与 AB 之间的数量关系 只需说明结果 不用证明 答 CM 与 AB 之间的数量关系是