基于课程标准的数学考试要点剖析

基于课程标准的数学考试要点剖析 2004 年 6 月 15 个国家级新课程实验区的近 11 万 9 年级学生参加了全国首次基于 义务教育阶段 数学课程标准 为指导 下简称 课程标准 的初中生数学学业考试 2005 年 6 月 全国将有 300 多万 9 年级学生参加基于 课程标准 的初中生数学学业考试 2006 年 6 月 这一数字将扩大到 1000 万以上 目前 各实验省 地市 的数学学业考试命题工作模式不尽相同 有些是以省作为命题单位 有些 是以 地市 为命题单位 但按照教育部 2005 年颁布的 2005 年课程改革实验区初中毕业数学学业考试 命题指导 下简称 命题指导 文件 所有实验区的命题工作都应当以 课程标准 和 命题指导 这两个文件作为基本依据 包括考查的内容 要求 和基本指标等 因此 本章的论述也将以上述两个 文本作为基本依据 从已有的数学学业考试试卷和各地命题工作所反映的总体情况来看 相对于以往的数学 中考 试卷 而言 基于 课程标准 的初中生数学学业考试除去继承了近几年全国各地 中考 试卷中的许多值得推广 的做法以外 在考查的内容 指标 重心 试题类型等方面也都表现出一些富有创意的特点 如何理解基于 课程标准 的初中生数学学业考试要点 有多种思路可以尝试 有多个方面需要关 注 但考试的内容 特别是重心部分 则毫无疑问是我们必须首先关注的 为此 本章分将以数学学业考 试的主要评价指标为线索 展开论述 首先 我们认为 课程标准 中的课程目标将是数学学业考试的主要评价指标 一般而言 其中 的 知识与技能 仍然会作为一个基本的考查领域 而 数学思考 解决问题 仍然是考查的主要内容 考 查的方面多 试题的形式丰富 所占分值也较多 数学活动过程 则将成为人们日渐关注的考查目标 由于命题难度大 其中牵涉到的思维水平较高 解题过程中知识与方法的综合性要求高 一 关于一 关于 知识与技能知识与技能 的考查的考查 显然 对于 知识与技能 领域的考查将以考查学生对相关知识 技能本身的理解 掌握情况为主要 目标 具体说来 对这一部分的考查可以分为以下几个部分进行 1 数与代数数与代数 按照 课程标准 中对学习内容的分类 数与代数 部分的课程内容主要包括 数与式 方程 组 与不等式 函数 等 而且每一部分的都有相应的内容重心 基本结构 这些将毫无疑问的成为重点 考查内容 例如 数与式数与式 关于数 主要内容包括相关数的概念 性质和基本运算 如 了解有理数 无理数 实数的概念 会比较实数的大小 知道实数与数轴上的点一一对应 会用科 学记数法表示有理数 理解相反数和绝对值的概念及意义 进一步 对上述知识理解程度的评价既可以用 纯粹数学语言 符号的方式呈现试题 也可以建立在应用知识解决问题的基础之上 即将考查的知识 方 法融于不同的情境之中 通过解决问题而考查学生对相应知识 方法的理解情况 了解乘方与开方的概念 并理解这两种运算之间的关系 了解平方根 算术平方根 立方根 二次根式的概念 了解整数指数幂 的意义和基本性质 例 1 今年我市二月份某一天的最低气温为 5OC 最高气温为 13OC 那么这一天的最高气温比最低 气温高 A 18OC B 18OC C 13OC D 5OC 考查内容 让学生在通过感受现实背景中有关有理数及其运算的现实意义 考查出学生对数轴概念 性质的理解情况 有关数的运算 则要掌握实数的加 减 乘 除 乘方及其混合运算的基本过程 善于运用运算律 简化运算 具有良好的数感 了解近似数和有效数字的概念 能对含有较大数字的信息做出合理的解释和 推断 能用有理数估计一个无理数的大致范围 例 2 算式 的结果是 A B C D 考查内容 理解代数运算的算理并能够借助运算律进行简单计算 例 3 下列各数中 最接近的是 A 3 5 B 3 6 C 3 7 D 3 8 对于可以在考场里使用计算器的地区 将要求学生利用计算器完成诸如下列类型的任务 求平方根 立方根 解决实际问题中的近似计算 并按问题的要求对结果取近似值 进行一些探索数值规律的活动 等 例 4 已知方程 x3 2x 15 0 恰有一个正根 请利用计算器估计该根的大小 要求误差小于 0 05 并 写出你的估算过程 例 5 按照下图中方式 将边长为 20cm 的正方形纸片剪去四个角可以折成一个无盖长方体形的盒子 如果设所剪去正方形的边长为 x 则盒子的容积为 x 20 2x 2 已知 x 在 3 4 之间某个值时 盒子的容积最 大 试借助计算器估算 x 的值 要求误差小于 0 005cm 在代数式方面 需要学生理解用字母表示数的意义 能解释简单代数式的实际背景或几何意义 会 用代数式表示简单问题的数量关系 通过分析试题提供的资料 能找到特定问题所需的公式 并会代入具 体数值计算相应代数式的值 了解整式与分式的概念 并会进行简单的整式加 减 乘运算及分式加 减 乘 除运算 包括约分和通分 了解整式 a b 2 a2 b2 2ab a2 b2 a b a b 及其几何背景 能利用它们简化运算 特别地 有关因式分解式子的指数必须是正整数 且只要求学生能够利用提公因式 法和公式法进行因式分解 其它方法不作为必考内容 同样地 试题既可能以纯粹数学语言 符号的方式呈现 也可以将考查的知识 方法融于不同的情 境之中 通过解决问题而考查学生对相应知识 方法的理解情况 例 6 如图所示 用同样规格的黑 白两色正方形瓷砖铺设矩形地面 铺设方式如下图 则第 n 个图 形中需要黑色瓷砖 块 用含 n 的代数式表示 考查内容 在变化的图形背景中观察 概括一般规律 并能够用代数式表示数量关系 方程 组 与不等式方程 组 与不等式 关于方程 方程组和不等式 课程标准 中比较清晰地表现出三个方面的要求 模型 求解 应 用和联系 具体包括 通过分析具体问题中的数量关系 能够列出方程或方程组并会求得其解 有意识地根据所得解在现 实世界的实际意义检验结果是否合理 从而建立有效的数学模型 会解一元一次方程 二元一次方程组 可化为一元一次方程的分式方程 方程中的分式不超过两个 会用因式分解法 公式法和配方法解数字 系数的一元二次方程 通过分析具体问题中的数量关系 能够列出一元一次不等式或不等式组 并能在数 轴上表示不等式的解集或利用数轴确定不等式组的解集 在了解不等式意义的基础上理解不等式的基本性 质 具体的试题呈现方式仍然是既可能以纯粹数学语言 符号的方式 也可能将考查的知识 方法融于 不同的情境之中 通过解决问题而考查学生对相应知识 方法的理解情况 例 7 观察生活中某些现象 编制一个需要二元一次方程组解决的问题 例 8 请参照下列所给方程组 编一道应用题 满足下列要求 注意 可以设置相应的生活背景 并根据实际情况可以适当改变数据 但不要改变方程的形式 考查内容 方程 方程组的基本概念和模型的含义 例 9 设 表示三种不同的物体 现用天平称了两次 情况如图所示 那么 这 三种物体按质量从大到小的顺序排列应为 A B C D 考查内容 从具体问题中分析蕴涵的不等关系 运用不等式的性质解决问题 例 10 在 NBA 常规赛中 我国著名篮球运动员姚明在一次比赛中 22 投 14 中得 22 分 若他投中了 2 个 三分球 则他还投中了几个两分球和几个罚球 罚球投中一次记 1 分 考查内容 在解决实际问题的过程中考查学生解方程的基本技能 例 11 有这样一道题 计算 的值 其中 x 2004 甲同学把 x 200 4 错抄成 x 2040 但他的计算结果也是正确的 你说这是怎么回事 考查内容 相关运算技能和运算意义的理解 辨析 说理等基本能力 例 12 现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地 已知这列货车挂有 A B 两种不同规格的货车厢共 40 节 使用 A 型车厢每节费用为 6000 元 使用 B 型车厢每节费用为 8000 元 如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨 每节 B 型车厢最多可装甲种货物 25 吨和乙 种货物 35 吨 请你设计一种运费最少的运输方案 考查内容 应用适当的数学模型解决问题 需要特别指出的是 对于初中学生所应具备的数学技能 课程标准 有明确的要求 如 删去了 利用十字相乘法解方程 但很多教师还不甚放心 而且认为 多教些 要求高些 总没有错 事实上 数 学学业考试试题的命制过程中 将严格以 课程标准 为依据 对于已经删去的 十字相乘法 不可能再 考 当然 也有这样的看法 即就是在学业考试中不单独考查 十字相乘法 但只要考查解一元二次方程 的技能 学生学习了 十字相乘法 解有关一元二次方程就可能简便些 快捷些 总是有好处的 但实质 不然 例如下面的例题 例 13 解一元二次方程 3x2 14x 8 0 评析 利用十字相乘法求解该方程时 通常需要进行多次试误 而利用公式法时 由于 b2 4ac 100 很容易 开 出来 也十分简单 所以很难说十字相乘方法更快捷 函数函数 有关函数的学习内容和学习目标 是 课程标准 相对以往 教学大纲 而言变化较大的一个部分 首先 课程标准 突出了将函数视为数学模型的想法 其次 更为关注通过图像认识函数性质的 内容 更有 让学生借助函数来表达一些变化现象之中所蕴涵的数学规律 以及 函数和方程 不等式之 间的实质性联系 具体的考查内容将包括 了解函数的概念和表示方法 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系 能根据 函数解析式以及函数自变量的现实意义确定自变量的取值范围 并会求出具体的函数值 能够借助一次 二次函数解析式讨论相应函数的基本性质 在给定函数图象的情境中 能结合图象本身进行相应的函数关 系分析 在此基础上对变量的变化规律进行初步预测 在具体情境中能根据已知条件确定一次函数 反比 例函数和二次函数的表达式 并从图象的变化上认识不同函数的性质 会根据公式确定二次函数的顶点 开口方向和对称轴 公式不要求记忆和推导 会利用一次函数图象求一元一次方程 二元一次方程组的 解 会利用二次函数图象估计一元二次方程解的大致范围 能利用三种函数表述方式表达实际问题的数学 信息 并探索问题中存在的数量关系及变化规律 例 14 2004 年 6 月 3 日中央新闻报道 为鼓励居民节约用水 北京市将出台新的居民用水收费标准 若每月每户居民用水不超过 4 立方米 则按每立方米 2 元计算 若每月每户居民用水超过 4 立方米 则超过 部分按每立方米 4 5 元计算 不超过部分仍按每立方米 2 元计算 现假设该市某户居民某月用水立方米 水 费为元 则与的函数关系用图象表示正确的是 考查内容 在分析现象的基础上 把握相应变量之间的数学关系 能够用正确的图像表达相应的数 学关系 例 15 如图是某抛物线的部分图象 由图象可知一元二次方程 的两个解分别是 和 考查内容 抛物线图象的轴对称性 能否建立函数与方程的实质性联系 例 16 某地电话拨号入网有两种收费方式 用户可以任选其一 A 计时制 0 05 元 分 B 包月制 50 元 月 限一部个人住宅电话上网 此外 每一种上网方式都得加收通信费 0 02 元 分 1 请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用 y 元 与上网时间 x 小时 之间的函 数关系式 2 若某用户估计一个月内上网的时间为 20 小时 你认为采用哪种方式较为合算 考查内容 该试题联系实际 运用函数的意义 表达形式解决实际问题的能力 2 空间与图形空间与图形 按照 课程标准 中对学习内容的分类 空间与图形 部分的课程内容主要包括 图形的认识 图 形与变换 图形与坐标 图形与证明 等 而每一部分内容的学习重心 基本要点将毫无疑问的成为 重点考查内容 特别需要指出的是 培养学生的 空间观念 成为整个 空间与图形 部分的最主要课程目标 而对于 什么是空间观念 课程标准 没有给出明确界定 但 课程标准 描述了 空间观念 的一些外在表现 具体包括 能够由实物的形状想象出几何图形 由几何图形想象出实物的形状 进行几何体与其三视图 展 开图之间的转化 能根据条件做出立体模型或画出图形 上述两者都侧重于三维实物与平面图形的转化 强调的是一种基于观察 实验基础上的实践能力 是 空间观念 最为直接的一种表现形态 进一步 标准 指出了 空间观念 在分析 抽象层面上的表现 能从较复杂的图形中分解出基本的图形 能描述实物或几何图形的运动 变化 能采用适当的方式描述物体间的相互关系 如向其他人描述你所见到的几何形体等 能运用图形形象地描述问题 利用直观进行思考 如能根据照片判断拍摄照片的大致时间以解 决实际问题等 这是主动应用 空间观念 解决实际问题意识的行为表现 例 17 举出 或画出 两种不同类型的几何体 使得两种几何体的左视图都是三角形 或圆 长方 形等 例 18 下图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图 1 请你画出这个几何体的一种左视图 2 若组成这个几何体的小正方体的块数为 n 请你写出 n 的所有可能值 考查内容 几何体与图形之间转换关系 作图 表示 探索与描述几何对象的变化规律 借助图像 进行推理等 图形的认识图形的认识 这一部分内容的学习重点 将不仅仅是那些特定的结论 还应当包括探索结论过程中所运用的重要 数学方法 具体包括 能估计并会比较角的大小 会进行度 分 秒之间的简单换算 了解角的平分线 线段垂直平分线 及其性质 能找出特定角的补角 余角和对顶角 理解等角的余角和补角相等 对顶角相等 在了解垂线 段最短的性质基础上 理解两点间距离 点到直线的距离 两条平行线间距离等概念之间的联系 能够选 择恰当的工具画一条直线的垂线 平行线 知道过定点只能画一条直线垂直于 平行于 给定直线 掌握 两条直线平行与垂直的概念 并能够运用平行线的性质解决几何问题 会画出任意三角形的角平分线 中 线 高 内心和外心 了解三角形中位线及其性质 掌握两个三角形全等的条件 理解等腰三角形 直角 三角形的概念及其性质 会运用勾股定理及其逆定理解决问题 了解正三角形 正多边形的概念 了解多 边形内角和与外角和公式及其由来 掌握平行四边形 梯形 矩形 菱形 正方形的概念和性质 了解它 们之间的关系 了解线段 三角形 平行四边形 矩形的重心及物理意义 能用三角形 四边形或正方形 进行简单的镶嵌设计 并理解图形镶嵌 密铺 的原理 理解圆及其性质 了解弧 弦 圆心角 圆周角 的关系 会计算弧长及扇形面积 了解点与圆 直线与圆 圆与圆的位置关系 知道直径所对圆周角为直 角 了解切线的概念 知道切线与过切点的半径互相垂直 能判定直线与圆是否相切 会过圆上一点画圆 的切线 能够完成以下基本作图 对于尺规作图题 会写已知 求作和作法即可 不要求证明 1 作一条线段等于已知线段 2 作一个角等于已知角 3 作某个已知角的平分线 4 作某条已知 线段的垂直平分线 5 已知三边作三角形 6 已知两边及其夹角作三角形 7 已知两角及其夹 边作三角形 8 已知底边及底边上的高作等腰三角形 9 过不在同一直线上的三点作圆 正确认识基本几何体 直棱柱 圆柱 圆锥 球 既能够根据基本几何体 包括实物原型 判断和 绘制主视图 左视图 俯视图 也能够根据主视图 左视图 俯视图描述基本几何体 既了解直棱柱 圆 锥 圆柱的展开图 会计算它们的侧面积和全面积 又能够根据展开图判断和制作相应的立体模型 了解 几何体 三视图 展开图之间的关系 并能够将这种关系应用到现实生活中 能够绘制简单的平面图和立 体图 比较清晰地反映视点 视角和盲区 了解生活中中心投影和平行投影的实例 能对两者进行区分 例 19 如图 已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形 AOB 画在方格纸上 请在小方格的 顶点上标出一个点 P 使点 P 落在 AOB 的平分线上 考查内容 多角度 深层次理解角平分线概念 以及与角平分线概念相联系的其它概念和原理 图形与变换图形与变换 作为一个学习主题 该部分的重点在于对变换现象的了解 应用 特别是在探索图像性质过程中 而不是变换本身的性质熟悉 具体考查内容包括 了解现实生活中的镜面对称现象 能找出常见的轴对称图形并指出对称轴 掌握轴对称图形具有的 基本性质 并利用轴对称性进行图案设计 能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形 知道等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正多边形 圆的轴对称性及其相关性质 了解现实生活中的平移现象和实例 理解平移的基本性质 对应点连线平行且相等 能按照要求作 出简单平面图形平移后的图形 并利用平移进行图案设计 了解现实生活中的旋转现象和实例 了解平行四边形和圆是中心对称图形 理解旋转的基本性质 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等 能按照要求作出简单平面图形 旋转后的图形 并利用旋转进行图案设计 在了解比例的基本性质 线段的比 成比例线段等概念基础上 能正确认识图形的相似 理解相似 图形的性质 知道相似多边形的对应角相等 对应边成比例 面积的比等于对应边比的平方 了解两个三 角形相似的概念以及相似的条件 能利用图形的相似解决一些实际问题 了解图形的位似 能够利用位似 将一个图形放大或缩小 了解黄金分割比在建筑和艺术上的价值 了解锐角三角函数 sinA cosA tanA 知道 30 45 60 角的三角函数值 会使用计算器由已 知锐角求它的三角函数值 由已知三角函数值求它对应的锐角 并能运用三角函数解决与直角三角形有关 的简单实际问题 例 20 从下面两题中任选一题进行解答 1 先在上面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形 再将基础图形去掉或添上一部分 使新图形仍为轴对称图形 画在下面的方格纸上 2 先在上面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形 再将基础图形的一部分平移或旋 转到剩余图形的某一位置组成新的图形 使新图形仍为轴对称图形 画在下面的方格纸上 基础图形 变换图形 考查内容 轴对称图形的基本性质 能按照要求作出简单平面图形平移 旋转 后的图形 利用平 移 旋转 进行图案设计 例 21 取两块完全重合的正方形纸片 将上面的一块绕正方形的中心 O 旋转 那么旋转时两个正方 形的公共部分构成一个多边形 如图的公共部分是一个八边形 那么在旋转过程中公共部分可能是七边形 吗 说说你的理由 考查内容 旋转变换的基本特点 对称现象的应用 图形与坐标图形与坐标 这里 坐标首先是作为表达几何对象位置 关系 的一种重要方式 它服务于培养学生空间观念这 个首要目标 其次 它还是数形结合的一个典型内容 因此 对它的考查包括 能画出平面直角坐标系 在给定的直角坐标系中 会根据坐标描出点的位置 或者由点的位置写出 它的坐标 能在方格纸上建立适当的直角坐标系 描述物体的位置 在同一直角坐标系中 明白图形变换 与点的坐标变化之间的关系 会用多种方式确定物体的位置 例 22 如图 如果所在位置的坐标为 1 2 所在位置的坐标为 2 2 那 么 所在位置的坐标为 考查内容 能否建立适当的直角坐标系 描述物体的位置 图形与证明图形与证明 这一部分内容历来是我们初中数学学习的重点 有时甚至可以说是最关键的部分 但是 以往的考 查面则比较 窄 基本是证明给定图形的某个性质 或图形之间的关系 如 图形 A 是平行四边形 图 形 B 与图形 C 全等 等等 而 课程标准 则对此赋予了更为丰富的课程目标 如 能够利用合情推理 的方式猜测结论 等等 具体的考查内容包括 了解证明的含义 理解证明的必要性 明白几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值 了解逆 命题的概念 会区分命题的条件 题设 和结论 会识别两个互逆命题 并知道原命题成立其逆命题不一 定成立 能够通过合情推理获得数学猜想 理解反例的作用 知道利用反例可以证明一个命题是错误的 初步了解反证法的含义 掌握用综合法证明的格式 能保证证明的过程步步有据 能灵活运用课程标准中 规定的基本事实作为证明的依据进行几何推理 例 23 某学习小组在探索 各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形 这个命题是否成立时 进 行了一些讨论 甲同学在讨论中提到了圆内接矩形 乙同学找来了这样一个几何事实 图一 ABC 是正三角形 可以证明六边形 ADBECF 的各内角相等 丙同学认为当边数是 5 时这 个命题是成立的 于是他猜想边数是 7 时这个命题仍然成立 1 你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗 简要叙述你的理由 2 请你证明 各内角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG 图二 是正七边形 3 根据以上探索过程 提出你的猜想 不必证明 图一 图二 考查内容 理解反例的作用 并能借助恰当的反例证明一个命题是错误的 同时也会用简单的逻辑 推理证明一个命题是正确的 具备初步的合情推理能力 例 24 如图 AB AC D E 分别是线段 AC AB 上的点 且 AD AE BD 交 CE 于 F 试在图中 找出 3 对全等三角形和 3 个等腰三角形 并对其中一个结论给出证明 考查内容 图形分解与组合的技能 能否利用合情推理能力获得合理的数学猜想 基本的证明能力 例 25 小明说 如图 沿着三条虚线对折可以将三角形 ABC 的三个内角集中到 D 处 从而可以验 证三角形的内角和定理 你知道图中的 E F 点是如何确定的 你能利用该图证明三角形内角和定理吗 试写出相应得已知 求证与证明过程 考查内容 图形分解与组合的技能 证明基本过程的掌握情况 基本的证明能力 3 统计与概率统计与概率 相对上述两个学习领域的知识 方法而言 统计与概率 部分的内容显得更新一些 当然在评价方 面也有许多独特之处 统计统计 就统计而言 其新颖之处更多的在于试题考查的重心 试题的素材 呈现形式和解题过程中所包含 的统计推理 以下内容应当受到关注 了解抽样的必要性 能指出总体 个体和样本 知道不同的抽样可能得到的结果也不同 能对收集 的数据进行整理 描述 分析和表示 用扇形统计图表示数据 并会用计算器处理复杂的统计数据 并 根据统计结果作出合理的判断和预测 在具体情境中不仅会计算加权平均数 极差和方差 而且能理解这 些统计量的意义 根据具体问题 能选择合适的统计量表示数据的集中程度和离散程度 理解频数 频率 的概念 了解频数分布的意义和作用 会列频数分布表 画频数分布直方图和频数折线图 并能解决简单 的实际问题 掌握用样本估计总体的思想 能用样本的平均数 方差来估计总体的平均数和方差 对日常 生活中的某些数据能形成自己的看法 认识到统计在社会生活及科学领域中的应用 并能解决一些简单的 实际问题 例 26 记者从教育部获悉 今年全国普通高校招生报名人数总计 723 万 除少部分参加各省中专 中职 中技考试的考生外 参加统考的考生中有文史类 理工类 文理综合类 下面的统计图反映了今年 全国普通高校招生报名人数的部分情况 请认真阅读图表 解答下列问题 1 请将该统计图补充完整 2 请你写出从图中获得的三个以上的信息 3 记者随机采访一名考生 采访到哪一类考生的可能性较大 考查内容 对图表绘制过程的理解 阅读图表并提取有用信息的技能 例 27 下面两幅统计图 如图 8 图 9 反映了某市甲 乙两所中学学生参加课外活动的情况 请 你通过图中信息回答下面的问题 1 通过对图 8 的分析 写出一条你认为正确的结论 2 通过对图 9 的分析 写出一条你认为正确的结论 3 2003 年甲 乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少 考查内容 阅读图表并提取有用信息的技能 借助数据处理结果做合理推测的能力 概率概率 这是一个全新的数学学习主题 包括学习内容和学习方法 而考查重点和试题类型也相应的有所新 颖 首先 以下内容应当受到关注 了解概率的意义 会运用列举法 包括列表 画树状图 计算简单事件发生的概率 能解决一些实 际问题 理解大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系 例 28 在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁 每只蚂蚁开始沿三角形各边朝其它顶点做直线 运动 假设目标顶点是随机选择的且每只蚂蚁行进速度相同 为了研究蚂蚁互不相撞的概率 请你设计一 种便于动手操作的等效实验进行模拟 考查内容 理解大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系 并能够自主设计满足条件的 概率模型 例 29 下图是由一个转盘和箭头组成的装置 装置 A 上的数字分别是 7 5 4 装置 B 上的数字分 别是 1 8 6 这两个装置除了表面数字外其它构造完全一样 现在你和另外一个人同时用力转动箭头 如果我们规定箭头停留在较大数字的一方胜出 那么你会选择哪一个装置呢 说说你的理由 考查内容 能否灵活运用列举法比较事件发生概率的大小 例 30 抛掷两枚分别标有 1 2 3 4 的四面体骰子 写出这个实验中的一个可能事件 写出这个实验中的一个不可能事件 写出这个实验中一个发生概率为的事件 考查内容 可能 不可能 事件和概率的基本概念 4 课题学习 这一部分内容是此次 课程标准 中较为新颖的内容 以往的教学很少对它有所关注 事实上 即 使是在实施课程改革的课堂里 能够比较认真按照 课程标准 的要求从事学习的实践也不多见 但这并 不表示对它的考查就不再实施 按照 课程标准 的要求 课题学习 部分的目标定位是 感受 问题情 境 建立模型 求解 解释与应用 的基本过程 形成自己的一些研究问题的方法和经验 对相关数学知 识有较深刻的理解和运用能力 例 31 在一次实践活动中 某课题学习小组用测倾器 皮尺测量旗杆的高度 他们设计了如下方案 如图 所示 1 在测点 A 处安置测倾器 测得旗杆顶部 M 的仰角 MCE 2 量出测点 A 到旗杆底部 N 的水平距离 AN m 3 量出测倾器的高度 AC h 根据上述测量数据 即可求出旗杆的高度 MN 如果测量工具不变 请仿照上述过程 设计一个测量某小山高度 如图 的方案 1 在图 中 画出你测量小山高度 MN 的示意图 标上适当字母 2 写出你设计的方案 答案 解 1 正确画出示意图 2 在测点 A 处安置测倾器 测得此时山顶 M 的仰角 MCE 在测点 A 与小山之间的 B 处安置测倾器 A B 与 N 在同一条直线上 测得此时山顶 M 的仰 角 MCE 量出测倾器的高度 BC BD h 以及测点 A B 之间的距离 AB m 根据上述测量数据 即可求 出小山的高度 MN 考查内容 学习能力 通过阅读理解信息中所表现出来的数学内涵 根据任务的特征 设计合理可 行的测量方案 表达实施过程 了解实施过程中存在的实际问题 从数学的角度的说明方案的正确性 二 关于二 关于 数学思考数学思考 的考查的考查 作为一个课程目标领域 数学思考 的学习一直是结合知识 技能的学习进行的 对它的考查自然 也是这样进行 具体内容包括 在面临各种问题情境时 能够从数学的角度去思考问题 能够发现其中所存在的数学现象并运用数 学的知识与方法去解决问题 我们应特别关注学生在数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推 理能力等方面的发展情况 在考试中主要体现在以下方面 1 运用数学符号和图形描述现实世界 具有初步的数感 符号感和抽象思维能力 这一目标主要包括能够在较复杂的层面上用数字和图表刻画现实生活中的现象 对一些数字信息作 出合理解释与推断 并运用代数中的方程 不等式 函数等去刻画具体问题 建立合适的数学模型 2 对现实空间及图形有较丰富的认识 具有初步的空间观念和形象思维能力 这一目标主要包括能够通过动手操作 图形变换等多种方式探索图形的形状 大小 位置关系 等 量关系等 进行简单的图案设计 构建几何空间 并尝试用图形去从事推理活动 3 能运用数据描述信息 作出合理推断 具有统计的观念 这一目标主要包括能够从事较为完整的统计活动 能针对现实情景中呈现的原始数据 并根据需要 进行重新整理和分析 对数据作数学处理 按照处理的结果做出合理推断与决策 同时了解在现实情境中 收集与表达数据的基本方法 能够运用计算器或计算机来处理较为复杂的数据 4 能够通过观察 实验 猜想 证明等数学活动过程 作出合情推理和演译推理 能有条理地 清 晰地阐述自己的观点 这一目标主要包括能够通过推理作出合理的判断与选择 尝试通过不同的方式去检验一个猜想的可 信性 通过不同类型的推理活动形成一个合乎情理的猜想 并能够用比较规范的逻辑推理形式表达自己的 演译推理过程 例 32 用两个全等的等边三角形 ABC 和 ACD 拼成菱形 ABCD 把一个含 60 角的三角尺与这个菱 形叠合 使三角尺的 60 角的顶点与点 A 重合 两边分别与 AB AC 重合 将三角尺绕点 A 按逆时针方向 旋转 1 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC CD 相交于点 E F 时 如图 13 1 通过观察或 测量 BE CF 的长度 你能得出什么结论 并证明你的结论 2 当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC CD 的延长线相交于点 E F 时 如图 13 2 你在 1 中得到的结论还成立吗 简要说明理由 考查内容 观察动态变化过程中存在的恒定等量关系 并能够进行必要的归纳和验证 能否将前面 经历的数学活动中蕴涵的知识和方法以类比的方式运用到新的情境中去 从而提出新猜想 解决新问题 例 33 为了从甲 乙两名同学中选拔一人参加射击比赛 在同等的条件下 教练给甲 乙两名同学 安排了一次射击测验 每人打 10 发子弹 下面是甲 乙两人各自的射击情况记录 其中乙的情况记录表上射 中 9 10 环的子弹数被墨水污染看不清楚 但是教练记得乙射中 9 10 环的子弹数均不为 0 发 甲 乙 1 求甲同学在这次测验中平均每次射中的环数 2 根据这次测验的情况 如果你是教练 你认为选谁参加比赛比较合适 并说明理由 结果保留 到小数点后第 1 位 考查内容 处理数据并根据结果形成自己的合理看法 作出相应的推断和决策 例 34 我们在学习勾股定理时构造了下面的模型 ABC 是直角三角形 其中 C 是直角 分别以 Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形 面积分别用 S1 S2 S3 表示 那么我们有 S1 S2 S3 1 如果我们分别以 Rt ABC 的三边为边向外作三个正三角形 其面积分别用 S1 S2 S3 表示 请你确定 S1 S2 S3 之间的关系并加以证明 2 小明说 如果分别以 Rt ABC 三边为边向外作三个一般三角形 其面积分别用 S1 S2 S3 表示 为了使 S1 S2 S3 之间仍然具有上述关系 所作三角形应当具有相似的关系 你认为他的说法对 吗 3 你能构造一个模型 即以 Rt ABC 三边为边向外作三个图形 使得三个图形的面积具有上 述关系吗 具体做一做 考查内容 类比能力 第一问从题目中的正方形类比到正三角形 要求学生对结论进行类比 构 造模型解释现象 在对第二问提供的信息 相似 有充分的理解基础上 回答第三问 例 35 1 用一条直线可以将一个正方形分成两个全等的部分 如下图 将正方形分成两个全等的 图形的直线还有很多 试在图上另作出两条以上这样的直线 2 将圆分成两个全等图形的直线有多少条 试在图上作出几条这样的直线 3 将长方形分成两个全等图形的直线又有多少条呢 他们有什么共同的特征呢 4 小明发现 上面的三个图形都是轴对称图形 而且将它们分成全等的两部分的直线都有两条 以上 因此 他认为 对于平面的任何轴对称图形 都存在两条以上的直线 可以将这个轴对称图形分成 全等的两个部分 你认为他的观点正确吗 说说你的理由 考查内容 通过观察 实验 猜想 证明等数学活动过程 作出合情推理和演译推理 三 关于三 关于 解决问题解决问题 的考查的考查 解决问题历来是数学教学过程中受到关注的一个课程目标 所不同的是 课程标准 对此提出了 更为宽泛内涵 要求 比如 提出问题的能力 反思解决问题过程 对数学活动对象获得进一步的能力 等等 特别地 对这一方面考查的核心是需要学生通过 观察 思考 猜测 推理 等富有思维成分的活动 才能解决的问题 在数学学业考试中主要可以体现在以下方面 1 能够从数学的角度提出问题 理解问题 这一目标主要包括能够从日常生活中 看到 一些数学现象 并从数学现象 其它学科中的问题中发 现数学关系或数学问题 能够综合运用相关的数学知识 方法去解决一些问题 2 具备解决问题的基本策略和多样策略 具有实践能力和创新精神 这一目标主要包括让学生尝试寻找不同的解决问题方法 评价不同方法之间的差异 从不同的角度 去认识同一个问题 3 具有初步评价与反思的意识 这一目标主要包括能够反思自己是怎样得到问题的答案的 在求解过程中不断反思所得到的结果的 含义 所使用的方法的一般性等 会分析自己思维过程中的得与失 通过反思能够把握住使得结论成立的 核心条件 并形成数学方法的有效迁移 能够综合空间与图形 代数和统计等方面的知识与方法 探索问 题的解 在解决原有问题的基础上还能够提出新的问题 例 36 过正方形 ABCD 中某点 O 任作直线 m 交 AD 和 BC 于 H F 过点 O 作 HF 的垂线 n 交 AB CD 于 E G 1 观察 猜想 EG 与 FH 之间的大小关系 并证明你的结论 2 当点 O 沿 HF 向 F 移动时 由题意确定的相应直线 n 也在变化 当直线 n 与线段 AB 没有交点 时 你能得到与 1 类似的结论吗 证明这个结论并说说类似的理由 3 如下图 点 E F 在 DA 和 CB 的延长线上 现仅有能画直角的工具 你如何在 DC 或者其延 长线上找到一点 M 使点 M 到 EF 的距离等于 EF 考查内容 通过反思为什么能得到这样的结论来把握导致该结论成立的核心条件 从而形成有效迁 移 解决其它相关问题 例 37 在某旅游景区上山的一条小路上 有一些断断续续的台阶 图 1 是其中的甲 乙段台阶路的示 意图 请你用所学过的有关统计知识 平均数 中位数 方差和极差 回答下列问题 1 两段台阶路有哪些相同点和不同点 2 哪段台阶路走起来更舒服 为什么 3 为方便游客行走 需要重新整修上山的 小路 对于这两段台阶路 在台阶数不变的情况下 请 你提出合理的整修建议 考查内容 运用数学知识解决问题的能力 包括数学化的过程 将对台阶的比较这一现实问题转化 为对两组数据的比较 可以通过计算平均数 方差等 对数学概念意义的理解 第 1 小题 给出两组 数据 要求学生比较它们与台阶路异同的关系 第 2 小题考察对统计数据现实意义的理解水平因此 借 助数学知识解决问题 第 3 小题 要求提出合理的整修建议 即应用数学知识解决问题的能力 特别值得提出的是 对于学生发现问题 提出问题能力的考查 是基于 课程标准 评价的一个新 亮点 而所谓发现问题 提出问题的能力 是指主体在面临一个问题情境时 能够识别并研究存在于其中 的数学问题或者数学关系 这里的问题情境包括了数学的和非数学的各种现象或问题 问题提出的行为包 含三方面 一是解决问题前的问题提出 二是解决问题中的问题提出 三是解决问题后的问题提出 例 38 正午 12 时 时钟上时针恰与分针重合 过了一段时间后它们还会再次重合 观察这一现象 提出 2 个问题 并选择一个问题给予解答 例 39 请利用下列信息 先设计一个数学问题 然后再解答这个问题 关注生存环境 就是关爱生命 某城市随机抽取一年当中若干天的空气质量进行统计分析 当污染 指数不超过 100 时 空气质量为良 大于 100 且不超过 150 时 空气质量为轻微污染 下面是该市某连续 35 天的空气质量统计表 空气质量统计表 I 污染指数 40 70 90 110 120 140 天数 4 6 11 8 4 2 例 40 如图是两张全等的正方形纸片完全重合地叠放在一起 中心是点 O 按住下面的纸片不动 将上面的纸片绕 O 点顺时针旋转 请针对这个旋转过程提出 3 个问题 并选择其中一个进行解答 例 41 1 请画出一个只有两条对称轴的六边形 并写出你是怎样逐步得到这个图形的过程 根据你 所得到图形的正确情况和你的思维过程的清晰程度给分 2 根据你的思维过程 编制一个类似的问题 并说明这个问题的解决与上面问题解决过程之间 有什么联系 考查内容 学生在解决问题过程所暴露出的问题以及解决问题的策略 对解答过程的整理与反思 四 四 关于关于 数学活动过程数学活动过程 的考查的考查 课程标准 中有多处明确指出要关注学生的数学学习过程 而不仅仅是数学学习的结果 这一个 要求是否可以在数学学业考试中得以体现 一直是广大师生极为关心的事情 事实上 若此目标无法实现 则根据我国的数学教学现状 实践中就很难对此有足够的重视 为此 这一课程目标必将在数学学业考 试中有所体现 具体说来 主要考查学生在数学活动过程中所表现出来的思维方式 思维水平 对活动对象 相关 知识与方法的理解深度 从事探究与交流的意识 能力和信心等 能否通过观察 实验 归纳 类比等活 动获得数学猜想 并寻求证明猜想的合理性 能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程 通常 这样的考查目标可以通过让学生经历某种形式的数学活动 包括动手操作 思想实验 推理与交 流等 以表露自己的思维过程 例 42 下图是由黑点组成的 5 行 5 列点阵 任意左右 或上下 相邻的两点间距离是 1 1 请以点阵中的点为顶点画面积最小的正方形和面积最大的正方形各一个 2 请再以点阵中的点为顶点画面积次小的正方形和面积次大的正方形各一个 3 若以点阵中的任意点为顶点画正方形 共能画出多少个面积互不相等的正方形 它们的面积 分别是多少 考查内容 借助 纸笔作图 这种简单的数学活动 考查学生能否在活动中从 无序的试误 走向 有序 的操作 即从开始略带盲目的尝试上升为最终能够把握决定正方形面积大小的核心要素 在这个过程中 显然需要进行观察分析 动手验证 归纳总结等多种合情推理活动 例 43 在数学活动课上 老师要求同学们先做下面的 循环分割 操作 然后再探索规律 如图 1 是一等腰梯形纸片 其腰长与上底长相等 且底角分别为 60 和 120 按要求开始操作 每次分割 纸片均不得留有剩余 第 1 次分割 先将原等腰梯形纸片分割成 3 个全等的正三角形 然后将分割出的一个正三角形分割 成 3 个全等的等腰三角形 第 2 次分割 先将上次分割出的 3 个等腰梯形中的一个分割成 3 个全等的正三角形 然后将刚分割 出的一个正三角形分割成 3 个全等的等腰三角形 以后按第 2 次分割的方法进行下去 1 请你在图 2 中画出第一次分割的方案图 2 若原等腰梯形的面积为 a 请你通过操作 观察 将第 2 次 第 3 次分割后所得的一个最小 等腰梯形面积分别填入下表 3 请你猜想 分割所得的一个最小等腰梯形面积 S 与分割次数 n 有何关系 请直接用含 a 的式 子表示 不需写推理过程 考查内容 以 循环分割 的操作活动为问题情境 让学生经历动手操作 观察 思考 归纳 猜想 的过程 以考查他在求解问题的过程中中所表现出来的思维水平 对活动对象 相关知识与方法的理解深 度 以及从事探究与交流的能力 例 44 还记得完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2吗 当 a b 0 时 完全平方公式可以用下图 1 来说 明 对下图 2 进行适当的分割 猜想出 a b c 2的展开形式 并给出其推导过程 图 1 图 2 考查内容 对完全平方公式推导过程以及几何图示的理解水平 在理解的基础上进行方法的迁移运 用 从而获得有关猜想 并对猜想进行适当的推导证明的活动能力 例 45 图 3 是一个经过改造的台球桌面的示意图 图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔 如 果一个球按图中所示的方向被击出 球可以经过多反射 那么该球最后将落入的球袋是 A 1 号袋 B 2 号袋 C 3 号袋 D 4 号袋 评析 本题需要学生经历一定的实验操作过程 也可以将纸上的操作活动转化为脑中的思维活动 获得问题的最终解决 因而 本题通过结果的选择考查了学生的数学活动过程 例 46 扑克牌游戏