高斯投影概述81

测绘数据处理 51 第八章 高斯投影 地面 椭球面 平面 熟悉 简单 地图投影 高斯 克吕格投影 高斯投影 8 1 高斯投影概述 8 1 1 投影与变形 所谓地球投影 简略说来就是将椭球面各元素 包括坐标 方向和长 度 按一定的数学法则投影到平面上 研究这个问题的专门学科叫地图投 影学 这里所说的数学法则可用下面两个方程式表示 8 1 2 1 BLFy BLFx 式中 L B 是椭球面上某点的大地坐标 而是该点投影后的平面 投影yx 面 直角坐标 式 8 1 表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系 也叫做坐标投影公式 投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元 素之间的解析关系式 投影的方法很多 每种方法的本质特征都是由坐标 投影公式 F 的具体形式体现的 椭球面是一个凸起的 不可展平的曲面 若将这个曲面上的元素 比 如一段距离 一个角度 一个图形 投影到平面上 就会和原来的距离 角度 图形呈现差异 这一差异称作投影的变形 测绘数据处理 52 地图投影必然产生变形 投影变形一般分为角度变形 长度变形和面 积变形三种 在地图投影时 我们可根据需要使某种变形为零 也可使其 减小到某一适当程度 因此 地图投影中产生了所谓的等角投影 投影前 后角度相等 但长度和面积有变形 等距投影 投影前后长度相等 但 角度和面积有变形 等积投影 投影前后面积相等 但角度和长度有变 形 等 8 1 2 控制测量对地图投影的要求 1 应采用等角投影 又称正形投影 这样 保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后 保持不变 免除了大量的投影工作 所测制的地 图可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似 给国 民经济建设中识图用图带来很大方便 如图多边形 相应角度相等 但长 度有变化 投影面上的边长与原面上的相应长度之比 称为长度比 图中 EA AE AB BA m 即在微小范围内保证了形状的相似性 当 ABCDE 无限接近时 可把该多边 形看作一个点 因此在正形投影中 长度比 m 仅与点的位置有关 与方向 无关 给地图测制及地图的使用等带来极大方便 2 要求长度和面积变形不大 并能用简单公式计算由变形而引起的改 正数 为此地图投影应该限制在不大的投影范围内 从而控制变形并能进 行简单计算 测绘数据处理 53 3 要求投影能很方便地按分带进行 并能按高精度的 简单的 同样 的计算公式和用表把各带联成整体 保证每个带进行单独投影 并组成本 身的直角坐标系统 然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起 从而 组成统一的系统 8 1 3 高斯投影的基本概念 高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影 是德国测量学家高斯于 1825 1830 年首先提出的 实际上 直到 1912 年 由德国另一位测量学 家克吕格推导出实用的坐标投影公式后 这种投影才得到推广 所以该投 影又称高斯 克吕格投影 想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面 并有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面 并 与某一条子午线 称中央子午线或轴子午线 相切 椭圆柱的中心轴通过与某一条子午线 称中央子午线或轴子午线 相切 椭圆柱的中心轴通过 椭球体中心 然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内椭球体中心 然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内 的地区投影到椭圆柱面上 再将此柱面展开即成为投影面 的地区投影到椭圆柱面上 再将此柱面展开即成为投影面 我国规定按经差和度进行投影分带 为大比例尺测图和工程测量 0 6 0 3 采用带投影 特殊情况下工程测量控制网也可用带或任意带 0 3 0 5 1 测绘数据处理 54 高斯投影带自子午线起每隔经差自西向东分带 依次编号 0 6 0 0 0 6 1 2 3 我国中央子午线的经度 由起每隔而至 共计 12 0 6 0 69 0 6 0 135 带 带号用 n 表示 中央子午线的经度用表示 0 L36 0 nL 高斯投影带是在带的基础上分成的 它的中央子午线一部分同 0 3 0 6 带中央子午线重合 一部分同带分界子午线重合 带号用 n 表示 0 6 0 6 带中央子午线用 L 表示 关系是 0 3nL 3 在投影面上 中央子午线和赤道的投影都是直线 并且以中央子午线 和赤道的交点 O 作为坐标原点 以中央子午线的投影为纵坐标轴 以赤道 的投影为横坐标轴 这样便形成了高斯平面直角坐标系 在我国坐标均x 为正 坐标的最大值 在赤道上 约为 330KM 为避免出现负的横坐标 y 可在横坐标上加 500KM 此外还应在坐标前面冠以带号 这种坐标称为国 家统一坐标 如某点 Y 19123456 789m 该点位于 19 带内 其相对于中央 子午线而言的横坐标是 首先去掉带号 再减去 500KM 最后得 y 376543 211m 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带 内 为了把各带连成整体 一般规定各投影带要有一定的重叠度 其中每 测绘数据处理 55 一带向东加宽 向西加宽 这样在上述重叠范围内 控制点 0 60 3 5 751 或 将有两套相邻带的坐标值 地形图将有两套公里格网 从而保证了边缘地 区控制点间的互相应用 也保证了地图的拼接和使用 由此可见 由于高斯投影是正形投影 故保证了投影的角度不变性 图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性 由于采用了同样法则 的分带投影 既限制了长度变形 又保证了在不同投影带中采用相同的简 单公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算 且