2011版高考数学 3年高考2年模拟 第7章 不等式

用心 爱心 专心 第七章第七章不等式不等式 第一部分第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 上海文 上海文 15 满足线性约束条件 23 23 0 0 xy xy x y 的目标函数zxy 的最大值是 A 1 B 3 2 C 2 D 3 答案 C 解析 当直线zxy 过点 B 1 1 时 z 最大值为 2 2 2 20102010 浙江理 浙江理 7 若实数x y满足不等式组 330 230 10 xy xy xmy 且xy 的最大值为 9 则实数m A 2 B 1 C 1 D 2 答案 C 解析 将最大值转化为 y 轴上的截距 将 m 等价为斜率的倒数 数形结合可知答案选 C 本 题主要考察了用平面区域二元一次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的思想 属中 档题 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 5 不等式 2 6 0 1 xx x 的解集为 A 2 3x xx 或 B 213x xx 或 C 213xxx 或 D 2113xxx 或 答案 C 命题意图 本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法 解析 利用数轴穿根法 解得 2 x 1 或 x 3 故选 C 用心 爱心 专心 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 5 若变量 x y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z 2x y 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析解析 C C 本题考查了线性规划的知识 本题考查了线性规划的知识 作出可行域 作出目标函数线 可得直线与作出可行域 作出目标函数线 可得直线与 yx 与与3 25xy 的交点为最优解点 的交点为最优解点 即为 即为 1 1 1 1 当 当 1 1xy 时时 max 3z 5 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 2 不等式 3 2 x x 0 的解集为 A 23xx B 2x x C 23x xx 或 D 3x x 解析解析 A A 本题考查了不等式的解法 本题考查了不等式的解法 3 0 2 x x 23x 故选 故选 A A 6 6 20102010 江西理 江西理 3 不等式 22xx xx 的解集是 A 0 2 B 0 C 2 D 0 0 答案 A 解析 考查绝对值不等式的化简 绝对值大于本身 值为负数 2 0 x x 解得 A 或者选择 x 1 和 x 1 两个检验进行排除 7 7 20102010 安徽文 安徽文 8 设 x y 满足约束条件 260 260 0 xy xy y 则目标函数 z x y 的最大值是 A 3 B 4 C 6 D 8 答案 C 用心 爱心 专心 解析 不等式表示的区域是一个三角形 3 个顶点是 3 0 6 0 2 2 目标函数 zxy 在 6 0 取最大值 6 规律总结 线性规划问题首先作出可行域 若为封闭区域 即几条直线围成的区域 则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值 求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值 8 8 20102010 重庆文 重庆文 7 设变量 x y满足约束条件 0 0 220 x xy xy 则32zxy 的最大值为 A 0 B 2 C 4 D 6 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线32zxy 过点 B 时 在 y 轴上截距最小 z 最大 由 B 2 2 知 max z 4 解析 将最大值转化为 y 轴上的截距 可知答案选 A 本题主要考察了用平面区域二元一次 不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的思想 属中档题 10 10 20102010 重庆理数 重庆理数 7 已知 x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则 x 2y 的最小值是 A 3 B 4 C D 11 2 答案 B 解析 考察均值不等式 2 2 2 8 2 82 yx yxyx 整理得 032242 2 yxyx 9 2 用心 爱心 专心 即 08242 yxyx 又02 yx 42 yx 11 11 20102010 重庆理数 重庆理数 4 设变量 x y 满足约束条件 0 10 30 y xy xy 则 z 2x y 的最大值为 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B 3 0 的时候 z 取得最大值 6 12 12 20102010 北京理 北京理 7 设不等式组 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面区域为 D 若指数函数 y x a的图像上存在区域 D 上的点 则 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 答案 A 13 13 20102010 四川理 四川理 12 设0abc 则 22 11 21025 aacc aba ab 的最 小值是 A 2 B 4 C 2 5 D 5 解析 22 11 21025 aacc aba ab 22 11 5 acaabab aba ab 2 11 5 acaba ab aba ab 0 2 2 4 当且仅当a 5c 0 ab 1 a a b 1 时等号成立 用心 爱心 专心 y 0 x70 48 80 70 15 55 如取a 2 b 2 2 c 2 5 满足条件 答案 B 14 14 20102010 四川理 四川理 7 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品 由乙车间加工出B产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品 每千克A产品获利 40 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品 每千克B产品获利 50 元 甲 乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时 甲 乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 设甲车间加工原料x箱 乙车间加工原料y箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数z 280 x 300y 结合图象可得 当x 15 y 55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验 15 15 20102010 天津文 天津文 2 设变量 x y 满足约束条件 3 1 1 xy xy y 则目标函数 z 4x 2y 的最大值 为 A 12 B 10 C 8 D 2 答案 B 解析 本题主要考查目标函数最值的求法 属于容易题 做 出可行域 如图由图可知 当目标函数过直线 y 1 与 x y 3 的交 点 2 1 时 z 取得最大值 10 16 16 20102010 福建文 福建文 用心 爱心 专心 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0 20lxy L0 2 2 A 17 17 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 10 设 1 2 3 log 2 ln2 5abc 则 A abc B bca C cab D cba 答案 C 命题意图 本小题以指数 对数为载体 主要考查指数函数与对数函数的性质 实数大小 的比较 换底公式 不等式中的倒数法则的应用 解析 1 a 3 log2 2 1 log 3 b In2 2 1 log e 而 22 log 3log1e 所以 a b c 1 2 5 1 5 而 22 52log 4log 3 所以 c a 综上 c a b 解析 2 a 3 log2 3 2 1 log b ln2 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge c 1 2 111 5 254 c a b 18 18 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 3 若变量 x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy 则2zxy 的最大值 为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 B 命题意图 本小题主要考查线性规划知识 作图 识图能力及计算能力 解析 画出可行域 如右图 11 2 22 zxyyxz 由图可知 当直线l经过点 A 1 1 时 z 最大 且最大值为 max 1 2 1 3z 用心 爱心 专心 19 19 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 8 设a 3 log2 b ln2 c 1 2 5 则 A a b c B b c a C c a b D c b a 20 20 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 21 21 20102010 四川文 四川文 11 设0a b 则 2 11 a aba ab 的最小值是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 D 解析 2 11 a aba ab 2 11 aabab aba ab 11 aba ab aba ab 用心 爱心 专心 2 2 4 当且仅当ab 1 a a b 1 时等号成立 如取a 2 b 2 2 满足条件 22 22 20102010 四川文 四川文 8 某加工厂用某原料由车间加工出A产品 由乙车间加工出 B产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克A产品 每千克A产品获利 40 元 乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克B产品 每千克B产品获利 50 元 甲 乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工 每天甲 乙车间耗费工时总和不得 超过 480 小时 甲 乙两车间每天获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料 10 箱 乙车间加工原料 60 箱 B 甲车间加工原料 15 箱 乙车间加工原料 55 箱 C 甲车间加工原料 18 箱 乙车间加工原料 50 箱 D 甲车间加工原料 40 箱 乙车间加工原料 30 箱 答案 B 解析 解析 设甲车间加工原料x箱 乙车间加工原料y箱 则 70 106480 xy xy x yN 目标函数z 280 x 300y 结合图象可得 当x 15 y 55 时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验 y 0 x70 48 80 70 15 55 用心 爱心 专心 23 23 20102010 山东理 山东理 24 24 20102010 福建理 福建理 8 设不等式组 x1 x 2y 30 yx 所表示的平面区域是 1 平面区域是 2 与 1 关于直线3490 xy 对称 对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B AB的最 小值等于 A 28 5 B 4 C 12 5 D 2 答案 B 解析 由题意知 所求的 AB的最小值 即为区域 1 中的点到直线3490 xy 的距 离的最小值的两倍 画出已知不等式表示的平面区域 如图所示 用心 爱心 专心 可看出点 1 1 到直线3490 xy 的距离最小 故 AB的最小值为 3 1 4 1 9 24 5 所以选 B 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 2 不等式 2 0 4 x x 的解集是 答案 24 xx 解析 考查分式不等式的解法 2 0 4 x x 等价于 x 2 x 4 0 所以 4 x0 b 0 称 2ab ab 为 a b 的调和平均数 如图 C 为线段 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为 直径做半圆 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D 连结 OD AD BD 过 点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术 平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 答案 CD DE 解析 在 Rt ADB 中 DC 为高 则由射影定理可得 2 CDAC CB 故CDab 即 CD 长 度为a b的几何平均数 将 OC 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为a b的调和平均数 17 17 20102010 江苏卷 江苏卷 12 设实数 x y 满足 3 2 xy 8 4 y x2 9 则 4 3 y x 的最大值是 答案 27 解析 考查不等式的基本性质 等价转化思想 用心 爱心 专心 2 2 16 81 x y 2 11 1 8 3xy 32 2 42 1 2 27 xx yyxy 4 3 y x 的最大值是 27 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 广东理 广东理 19 本小题满分 12 分 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物 6 个单位 的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水 化合物 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐 解 设该儿童分别预订 x y个单位的午餐和晚餐 共花费z元 则 2 54zxy 可行域为 12 x 8 y 64 6 x 6 y 42 6 x 10 y 54 x 0 x N y 0 y N 即 3 x 2 y 16 x y 7 3 x 5 y 27 x 0 x N y 0 y N 作出可行域如图所示 经试验发现 当 x 4 y 3 时 花费最少 为2 54zxy 2 5 4 4 3 22 元 2 2 20102010 广东文 广东文 19 本题满分 12 分 用心 爱心 专心 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物 6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 另外 该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳 水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 解 设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐 设费用为 F 则 Fyx45 2 由题意知 64812 yx 4266 yx 54106 yx 0 0 yx 画出可行域 变换目标函数 48 5F xy 用心 爱心 专心 3 3 20102010 湖北理 湖北理 15 设 a 0 b 0 称 2ab ab 为 a b 的调和平均数 如图 C 为线段 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为 直径做半圆 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D 连结 OD AD BD 过 点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术 平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 答案 CD DE 解析 在 Rt ADB 中 DC 为高 则由射影定理可得 2 CDAC CB 故CDab 即 CD 长 度为a b的几何平均数 将 OC 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为a b的调和平均数 用心 爱心 专心 20092009 年高考题年高考题 第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一 选择题 1 2009 安徽卷理 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p ac b d q a b 且 c d B p a 1 b 1 q 01 x f xab aa 且的图像不过第二象限 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q log 01 a f xx aa 且在 0 上为增函数 答案 A 解析 由a b 且 c d ac b d 而由ac b d a b 且 c d 可举反例 选 A 2 2009 安徽卷文 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得abcd 时必有acbd 若acbd 时 则可能有adcb 选 A 3 2009 四川卷文 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然 充分性不成立 又 若a c b d和c d都成立 则同向不等式相加得 a b 即由 a c b d a b 4 2009 天津卷理 ab 10 若关于 x 的不等式 2 xb 2 ax的解集中的整数恰有 3 个 则 用心 爱心 专心 A 01 a B 10 a C 31 a D 63 a 答案 C 5 2009 四川卷理 已知 a b c d为实数 且cd 则 ab 是 acbd 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点定位 本小题考查不等式的性质 简单逻辑 基础题 同文 7 答案 B 解析 ba 推不出acbd 但bdcbadbca 故选择 B 解析 2 令2 1 3 5abcd 则13 5 8acbd 由 acbd 可得 abcd 因为cd 则0cd 所以ab 故 ab 是 acbd 的必要而不充分条件 6 2009 重庆卷理 不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 则实数a的取值 范围为 A 1 4 B 2 5 C 1 2 D 1 2 答案 A 解析 因为 2 4314313xxxxaa 对对任意 x 恒成立 所以 22 343041aaaaaa 即 解得或 二 填空题 7 2009 年上海卷理 若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中 元素 4 的代数余子式大于 0 则 x 满足的条件是 答案 8 3 x 解析 依题意 得 1 2 9x 24 0 解得 8 3 x 三 解答题 8 2009 江苏卷 本小题满分 16 分 用心 爱心 专心 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单 价为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度 为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交 易的综合满意度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h 1 求h 和h 关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h h 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最 大的综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 和 0 hh 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 本小题主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查数学建模能力 抽 象概括能力以及数学阅读能力 满分 16 分 1 当 3 5 AB mm 时 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 h h 2 当 3 5 AB mm 时 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 用心 爱心 专心 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当 11 20 B m 即20 12 BA mm 时 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 方法一 由 2 知 0 h 10 5 由 0 10 1255 AB AB mm hh mm 甲 得 1255 2 AB AB mm mm 令 35 AB xy mm 则 1 1 4 xy 即 5 14 1 2 xy 同理 由 0 10 5 hh 乙 得 5 1 14 2 xy 另一方面 1 1 4 xy 141xx 5 1 4y 2 5 1 y 2 2 55 1 4 1 1 1 4 22 xyxy 当且仅当 1 4 xy 即 A m B m时 取等号 所以不能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 和 0 hh 同时成立 但等号不同时成 立 第二节第二节 基本不等式基本不等式 一 选择题 用心 爱心 专心 1 2009 天津卷理 设0 0 ab 若 11 333 ab ab 是与的等比中项 则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化 以及均值不等式求最值的运用 考查了 变通能力 答案 C 解析 因为333 ba 所以1 ba 4222 11 11 b a a b b a a b ba ba ba 当且仅当 b a a b 即 2 1 ba时 成立 故选择 C 2 2009 重庆卷文 已知0 0ab 则 11 2 ab ab 的最小值是 A 2B 2 2C 4D 5 答案 C 解析 因为 1111 2222 4ababab ababab 当且仅当 11 ab 且 即ab 时 取 号 二 填空题 3 2009 湖南卷文 若0 x 则 2 x x 的最小值为 答案 222 解析 0 x 2 2 2x x 当且仅当 2 2xx x 时取等号 三 解答题 4 2009 湖北卷文 本小题满分 12 分 围建一个面积为 360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维修 其它三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙的长度为 x 单位 元 将 y 表示为 x 的函数 用心 爱心 专心 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解 1 如图 设矩形的另一边长为 a m 则 2 y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知 xa 360 得 a x 360 所以 y 225x 0 360 3602 x x II 108003602252 360 225 0 2 2 x xx 10440360 360 225 2 x xy 当且仅当 225x x 2 360 时 等号成立 即当 x 24m 时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是 10440 元 第三节第三节 不等式组与简单的线性规划不等式组与简单的线性规划 一 选择题 1 2009 山东卷理 设 x y 满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的是最大值为 12 则 23 ab 的最小值为 A 6 25 B 3 8 C 3 11 D 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 用心 爱心 专心 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 故选 A 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能 准确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 23 ab 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 2 2009 安徽卷理 若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx 分为面 积相等的两部分 则k的值是 A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 答案 B 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ABC 由 34 34 xy xy 得 A 1 1 又 B 0 4 C 0 4 3 S ABC 144 4 1 233 设ykx 与34xy 的 交点为 D 则由 12 23 BCD SS ABC 知 1 2 D x 5 2 D y 5147 2233 kk 选 A 3 2009 安徽卷文 不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A 2 3 B 3 2 C 3 4 D 4 3 解析 由 340 340 xy xy 可得 1 1 C 故S阴 阴 14 23 c ABx 选 C 答案 C 4 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D 解析 设生产甲产品x吨 生产乙产品y吨 则有关系 A x D y C O y kx 4 3 3 4 0 6 O 0 3 13 y x9 13 用心 爱心 专心 A 原 料 B 原 料 甲产品x吨 3x 2x 乙产品 y吨 y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 高考学习网 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当x 3 y 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 D 5 2009 宁夏海南卷理 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知 当zxy 过点 2 0 时 min 2z 但无最大值 选 B 6 2009 宁夏海南卷文 设 x y满足 24 1 22 xy xy xy 则zxy A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域 如右图 由 z x y 得 y x z 令 z 0 画出 y x 的图象 当它的平行线经过 A 2 0 时 z 取得最小值 最小值为 z 2 无最大 值 故选 B 用心 爱心 专心 7 2009 湖南卷理 已知 D 是由不等式组 20 30 xy xy 所确定的平面区域 则圆 22 4xy 在区域 D 内 的弧长为 B A 4 B 2 C 3 4 D 3 2 答案 B 解析 解析如图示 图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求 易知图中两直线的斜率 分别是 1 2 1 3 所以圆心角 即为两直线的所成夹角 所以 11 23 tan1 11 1 23 所 以 4 而圆的半径是 2 所以弧长是 2 故选 B 现 8 2009 天津卷理 设变量 x y 满足约束条件 3 1 23 xy xy xy 则目标函数 z 2x 3y 的最小 值为 A 6 B 7 C 8 D 23 答案 B 考点定位 本小考查简单的线性规划 基础题 用心 爱心 专心 解析 画出不等式 3 1 23 xy xy xy 表示的可行域 如右图 让目标函数表示直线 33 2zx y 在可行域上平移 知在点 B 自目标函数取到最小值 解方 程组 32 3 yx yx 得 1 2 所以734 min z 故选择 B 8 6 4 2 2 4 15 10 551015 2x y 3 x y 1 x y 3 q x 2 x 3 7 h x 2 x 3 g x x 1 f x x 3 A B 9 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D 考点定位 本小题考查简单的线性规划 基础题 同文 10 解析 设甲 乙种两种产品各需生产x y吨 可使利润z最大 故本题即 已知约束条件 0 0 1832 133 y x yx yx 求目标函数yxz35 的最大 值 可求出最优解为 4 3 y x 故271215 max z 故选 择 D 10 2009 福建卷文 在平面直角坐标系中 若不等式组 10 10 10 xy x axy 为常数 所表 用心 爱心 专心 示的平面区域内的面积等于 2 则a的值为 A 5 B 1 C 2 D 3 答案答案 D D 解析解析 如图可得黄色即为满足010101 yaxyxx的可行域 而与 的直线恒过 0 1 故看作直线绕点 0 1 旋转 当 a 5 时 则可行域不是一个封 闭区域 当 a 1 时 面积是 1 a 2 时 面积是 2 3 当 a 3 时 面积恰好为 2 故选 D 二 填空题 11 2009 浙江理 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小值是 答案 4 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 12 2009 浙江卷文 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小 是 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画线性 区域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 13 2009 北京文 若实数 x y满足 20 4 5 xy x x 则sxy 的最大值为 用心 爱心 专心 答案 9 解析 本题主要考查线性规划方面的基础知 属于基础知识 基本运算的考查 如图 当4 5xy 时 459sxy 为最大值 故应填 9 14 2009 北京卷理 若实数 x y满足 20 4 5 xy x y 则syx 的最小值为 答案 6 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当4 2xy 时 246syx 为最小值 故应填6 15 2009 山东卷理 不等式0212 xx的解集为 答案 11 xx 用心 爱心 专心 解析 原不等式等价于不等式组 2 21 2 0 x xx 或 1 2 2 21 2 0 x xx 或 1 2 21 2 0 x xx 不等式组 无解 由 得 1 1 2 x 由 得 1 1 2 x 综上 得11x 所以原不等式的解集为 11 xx 16 2009 山东卷文 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类 产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备 甲每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 元 答案 2300 解析 设甲种设备需要生产x天 乙种设备需要生产y天 该公司所需租赁费为z元 则 200300zxy 甲 乙两种设备生产 A B 两类产品的情况为下表所示 产品 设备 A 类产品 件 50 B 类产品 件 140 租赁费 元 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 5650 1020140 0 0 xy xy xy 即 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 作出不等式表示的平面区域 当200300zxy 对应的直线过两直线 6 10 5 214 xy xy 的交点 4 5 时 目标函数200300zxy 取得最低为 2300 元 命题立意 本题是线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关 系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 用心 爱心 专心 17 2009 上海卷文 已知实数 x y 满足 2 2 3 yx yx x 则目标函数 z x 2y 的最小值是 答案 9 解析 画出满足不等式组的可行域如右图 目标函数化为 xy 2 1 z 画直线xy 2 1 及 其平行线 当此直线经过点 A 时 z 的值最大 z 的值最小 A 点坐标为 3 6 所以 z 的最小值为 3 2 6 9 20052005 20082008 年高考题年高考题 第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一 选择题一 选择题 1 2008 天津 已知函数 2 0 2 0 xx f x xx 则不等式 2 f xx 的解集是 A 1 1 B 2 2 C 2 1 D 1 2 答案 A 用心 爱心 专心 2 2008 江西 若 12121212 0 01aabbaabb 且 则下列代数式中值最大 的是 A 1 122 aba b B 121 2 a abb C 1 22 1 aba b D 1 2 答案 A 3 2008 浙江 已知a b都是实数 那么 22 ba 是 a b 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 D 4 2008 海南 已知 123 0aaa 则使得 2 1 1 i a x 1 2 3 i 都成立的x取值范 围是 A 0 1 1 a B 0 1 2 a C 0 3 1 a D 0 3 2 a 答案 B 5 2008 山东 不等式 2 5 2 1 x x 的解集是 A 1 3 2 B 1 3 2 C 1 113 2 D 1 113 2 解析 本小题主要考查分式不等式的解法 易知1x 排除 B 由0 x 符合可排除 C 由 3x 排除 A 故选 D 也可用分式不等式的解法 将 2 移到左边直接求解 答案 D 6 2007 广东 设 a bR 若 0ab 则下列不等式中正确的是 A 0ba B 33 0ab C 22 0ab D 0ba 解析 利用赋值法 令1 0ab 排除 A B C 选 D 答案 D 7 2007 湖南 不等式 2 0 1 x x 的解集是 用心 爱心 专心 A 1 12 B 12 C 1 2 D 12 答案 D 8 2007 福建 已知集合 A x xa B 12 xx 且 R ABR 则实数a 的取值范围是 A 2a B a2 答案 C 9 2007 安徽 若对任意 xR R 不等式x ax恒成立 则实数a的取值范围是 A a 1 B a 1 C a 1 D a 1 答案 B 10 2007 浙江 x 1 是 x2 x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 11 2007 湖南 1 不等式 2 xx 的解集是 A 0 B 01 C 1 D 0 1 答案 D 12 2007 广东 已知集合 M x 1 x 0 N x 0 则 M N 1 1 A x 1 x 1 B x x 1 C x 1 x 1 D x x 1 答案 C 13 2006 安徽 不等式 11 2x 的解集是 A 2 B 2 C 0 2 D 2 2 答案 D 解 由 11 2x 得 112 0 22 x xx 即 2 0 xx 故选 D 14 2006 山东 设f x 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex xx 则不等式f x 2 的解集为 A 1 2 3 B 10 用心 爱心 专心 C 1 2 10 D 1 2 答案 C 15 2006 江西 若 a 0 b 0 则不等式 b 1 x a 等价于 A 1 b x 0 或 0 x 1 a B 1 a x 1 b C x 1 a 或 x 1 b D x 1 b 或 x 1 a 答案 D 解析 故选 D 16 2006 上海 如果0 0ab 那么 下列不等式中正确的是 A 11 ab B ab C 22 ab D ab 答案 A 解析 如果0 0ab 那么 11 0 0 ab 11 ab 选 A 答案 A 17 2006 上海春 若bacba R 则下列不等式成立的是 A ba 11 B 22 ba C 11 22 c b c a D cbca 答案 C 解析 应用间接排除法 取 a 1 b 0 排除 A 取 a 0 b 1 排除 B 取 c 0 排除 D 故应该选 C 显然 对不等式 a b 的两边同时乘以 立得 成立 18 2006年陕西 已知不等式 1 9 a xy xy 对任意正实数 x y 恒成立 则正实数a的 最小值为 8 6 C 4 D 2 11bx b00 1 xx ba 11axx a00 xx 1 x0 x xbx10 11 b xx x 1ax01ba xx0 a 或 或 或 用心 爱心 专心 答案 D 19 2005 福建 不等式0 13 12 x x 的解集是 A 2 1 3 1 xxx或B 2 1 3 1 xx C 2 1 xxD 3 1 xx 答案 A 20 2005 辽宁 在 R 上定义运算 1 yxyx 若不等式1 axax对任 意实数x成立 则 A 11 aB 20 aC 2 3 2 1 aD 2 1 2 3 a 答案 C 21 21 2005 山东 01a 下列不等式一定成立的是 A 1 1 log 1 log 1 2 aa aa B 1 1 log 1 log 1 aa aa C 1 1 log 1 log 1 aa aa 1 1 log 1 log 1 aa aa D 1 1 log 1 log 1 aa aa 1 1 log 1 log 1 aa aa 答案 A 二 二 填空题填空题 22 2008 上海 不等式11x 的解集是 答案 0 2 23 2008 山东 若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1 2 3 则b的取值范围 答案 5 7 24 2008 江西 不等式 3 1 1 2 2 x x 的解集为 答案 3 0 1 25 2007 北京 已知集合 1Ax xa 2 540Bx xx 若AB 则实数a的取值范围是 2 3 用心 爱心 专心 26 2006 江苏 不等式3 6 1 log2 x x的解集为 思路点拨 本题考查对数函数单调性和不等式的解法 答案 32 2 32 2 1x 解析 1 6 8 22 log3log x x 0 1 68x x 1 2 1 60 x x x x 解得 32 2 32 2 1x 27 2006 浙江 不等式 1 0 2 x x 的解集是 答案 x 1 或 x 2 解析 1 0 2 x x x 1 x 2 0 x 1 或 x 2 28 2006 上海 不等式0 1 21 x x 的解集是 答案 解析 应用结论 不等式 等价于 1 2x x 1 0 也就 是 所以 从而应填 三 解答题三 解答题 29 2007 北京 记关于x的不等式0 1 xa x 的解集为P 不等式11x 的解集为Q I 若3a 求P II 若QP 求正数a的取值范围 解 I 由 3 0 1 x x 得 13Pxx II 1102Qx xxx 由0a 得 1Pxxa 又QP 所以2a 即a的取值范围是 2 30 2007 湖北湖北 已知m n为正整数 用心 爱心 专心 用数学归纳法证明 当x 1 时 1 x m 1 mx 对于n 6 已知 2 1 3 1 1 n n 求证 mn n m 2 1 3 1 m 1 1 2 n 求出满足等式 3n 4m n 2 m n 3 n的所有正整数n 解 证 当x 0 或m 1 时 原不等式中等号显然成立 下用数学归纳法证明 当x 1 且x 0 时 m 2 1 x m 1 mx 1 i 当m 2 时 左边 1 2x x2 右边 1 2x 因为x 0 所以x2 0 即左边 右边 不等式 成立 ii 假设当m k k 2 时 不等式 成立 即 1 x k 1 kx 则当m k 1 时 因为x 1 所以 1 x 0 又因为x 0 k 2 所以kx2 0 于是在不等式 1 x k 1 kx两边同乘以 1 x得 1 x k 1 x 1 kx 1 x 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以 1 x k 1 1 k 1 x 即当m k 1 时 不等式 也成立 综上所述 所证不等式成立 证 当 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 6 m n mm nn nmn 而由 3 1 3 1 1 n m n m 2 1 3 1 1 3 1 m n mn nn m 解 假设存在正整数 00 3 2 436 00 00 0 nnnn nnn 成立 即有 0 3 3 0 n n 00 3 2 3 4 0 0 0 nn n n n 1 又由 可得 0 3 3 0 n n 0000 3 1 1 3 1 3 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 nnnn n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 0 000 1 0 n nnn n 与 式矛盾 故当n 6 时 不存在满足该等式的正整数n 故只需要讨论n 1 2 3 4 5 的情形 用心 爱心 专心 当n 1 时 3 4 等式不成立 当n 2 时 32 42 52 等式成立 当n 3 时 33 43 53 63 等式成立 当n 4 时 34 44 54 64为偶数 而 74为奇数 故 34 44 54 64 74 等式不成立 当n 5 时 同n 4 的情形可分析出 等式不成立 综上 所求的n只有n 2 3 第二节第二节 基本不等式基本不等式 一 选择题 1 2008 陕西 1 8 a 是 对任意的正数x 21 a x x 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 2 2007 北京 如果正数abcd 满足4abcd 那么 A abcd 且等号成立时abcd 的取值唯一 abcd 且等号成立时abcd 的取值唯一 abcd 且等号成立时abcd 的取值不唯一 abcd 且等号成立时abcd 的取值不唯一 答案 A 3 2006 江苏 设 a b c 是互不相等的正数 则下列等式中不恒成立的是 A cbcaba B a a a a 11 2 2 C 2 1 ba ba D aaaa 213 思路点拨 本题主要考查 不等式恒成立的条件 由于给出的是不完全提干 必须结合选 择支 才能得出正确的结论 答案 C 解析 运用排除法 C 选项2 1 ba ba 当 a b0 a 1 的图象恒过定点A 若点A在直线mx ny 1 0 上 其中mn 0 则 nm