2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.1 基本不等式学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 基本不等式基本不等式 1 理解基本不等式的推导过程 掌握基本不等式及成立条件 2 会用基本不等式证明简单的不等式 两个不等式 叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 a b 2ab 基本不等式表明 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 温馨提示 当且仅当a b时 等号成立 是指若a b 则a2 b2 2ab ab 即只能有a2 b2 2ab 0 时 a 2 当a 0 时 a 2 1 a 1 a 3 判断正误 正确的打 错误的打 1 对任意a b r r a2 b2 2ab a b 2均成立 ab 2 若a 0 则a 2 4 4 a a 4 a 3 若a b r r 则ab 2 a b 2 答案 1 2 3 题型一对基本不等式的理解 典例 1 给出下面三个推导过程 因为a b 0 所以 2 2 b a a b b a a b 因为a r r a 0 所以 a 2 4 4 a 4 a a 因为x y r r xy 0 所以 x y y x x y y x 2 2 x y y x 其中正确的推导过程为 a b c d 思路导引 根据基本不等式中的条件进行判断 解析 从基本不等式成立的条件考虑 因为a b 0 所以 0 符合基本不等式成立的条件 故 b a a b 的推导过程正确 因为a r r a 0 不符合基本不等式成立的条件 所以 a 2 4 是错误的 4 a 4 a a 由xy0 b 0 的 2 个关注点 a b 2ab 1 不等式成立的条件 a b都是正数 2 当且仅当 的含义 当a b时 的等号成立 a b 2ab 即a b a b 2ab 仅当a b时 的等号成立 a b 2ab 即 a b a b 2ab 针对训练 1 下列命题中正确的是 a 当a b r r 时 2 2 a b b a a b b a b 当a 0 b 0 时 a b 4 1 a 1 b c 当a 4 时 a 2 6 9 a a 9 a d 当a 0 b 0 时 2ab a bab 解析 a 项中 可能 0 2 0 相乘得 a b 4 当且仅当a b时等号成立 所 ab 1 a 1 b 1 ab 1 a 1 b 以正确 c 项中 a 2 6 中的等号不成立 所以不正确 d 项中 由基本不等 9 a a 9 a 式知 a 0 b 0 所以 d 不正确 2ab a bab 答案 b 题型二利用基本不等式证明不等式 典例 2 1 已知a b c为不全相等的正实数 求证 a b c abbcca 4 2 已知a b c为正实数 且a b c 1 求证 8 1 a 1 1 b 1 1 c 1 思路导引 1 左边是和式 右边是带根号的积式之和 所以用基本不等式 将和变 积 并证得不等式 2 不等式右边数字为 8 使我们联想到左边因式分别使用基本不等式 可得三个 2 连乘 又 1 可由此变形入手 1 a 1 a a b c a 2bc a 证明 1 a 0 b 0 c 0 a b 2 0 b c 2 0 c a 2 0 abbcca 2 a b c 2 abbcca 即a b c abbcca 由于a b c为不全相等的正实数 故等号不成立 a b c abbcca 2 a b c为正实数 且a b c 1 1 1 a 1 a a b c a 2bc a 同理 1 1 1 b 2ac b 1 c 2ab c 由上述三个不等式两边均为正 分别相乘 得 8 1 a 1 1 b 1 1 c 1 2bc a 2ac b 2ab c 当且仅当a b c 时 等号成立 1 3 1 利用基本不等式证明不等式 关键是所证不等式中必须有 和 式或 积 式 通 过将 和 式转化为 积 式或将 积 式转化为 和 式 从而达到放缩的效果 2 注意多次运用基本不等式时等号能否取到 3 解题时要注意技巧 当不能直接利用不等式时 可将原不等式进行组合 构造 以 满足能使用基本不等式的形式 针对训练 2 已知a b c r r 求证 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 证明 由基本不等式可得 5 a4 b4 a2 2 b2 2 2a2b2 同理 b4 c2 2b2c2 c4 a4 2a2c2 a4 b4 b4 c4 c4 a4 2a2b2 2b2c2 2a2c2 从而a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 课堂归纳小结 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 1 注意基本不等式成立的条件 2 多次使用基本不等式 要注意等号能否成立 3 对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合 形成基本不等式模型 再使用 1 若ab 0 则下列不等式不一定能成立的是 a a2 b2 2abb a2 b2 2ab c d 2 a b 2ab b a a b 解析 c 选项由条件可得到a b同号 当a b均为负号时 不成立 答案 c 2 已知a 1 则 三个数的大小顺序是 a 1 2a 2a a 1 a b a 1 2a 2a a 1a a 1 2 2a a 1 c d 1 即a b 故上式不能取等号 选 c 2a a 1a a 1 2 答案 c 3 2 成立的条件是 b a a b 解析 只要 与 都为正 即a b同号即可 b a a b 答案 a与b同号 4 设a b c都是正数 试证明不等式 6 b c a c a b a b c 6 证明 因为a 0 b 0 c 0 所以 2 2 2 b a a b c a a c b c c b 所以 6 b a a b c a a c b c c b 当且仅当 b a a b c a a c c b b c 即a b c时 等号成立 所以 6 b c a c a b a b c 课后作业 十一 复习巩固 一 选择题 1 不等式a2 1 2a中等号成立的条件是 a a 1 b a 1 c a 1 d a 0 解析 a2 1 2a a 1 2 0 a 1 时 等号成立 答案 b 2 对x r r 且x 0 都成立的不等式是 a x 2 b x 2 1 x 1 x c d 2 x x2 1 1 2 x 1 x 解析 因为x r r 且x 0 所以当x 0 时 x 2 当x0 所以 1 x x 2 所以 a b 都错误 又因为x2 1 2 x 所以 所以 1 x x 1 x x x2 1 1 2 c 错误 故选 d 答案 d 3 若 0 a b且a b 1 则下列四个数中最大的是 a b a2 b2 1 2 c 2abd a 解析 a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2 2 a b 2 1 2 7 a2 b2 2ab a b 2 0 a2 b2 2ab 0 a b且a b 1 a0 b 0 则 a b 4 是 ab 4 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充分必要条件d 既不充分又不必要条件 解析 当a 0 b 0 时 a b 2 则当a b 4 时有 2 a b 4 解得 abab ab 4 充分性成立 当a 1 b 4 时满足ab 4 但此时a b 5 4 必要性不成立 综上所述 a b 4 是 ab 4 的充分不必要条件 答案 a 5 已知x 0 y 0 x y 则下列四个式子中值最小的是 a b 1 x y 1 4 1 x 1 y c d 1 2 x2 y 2 1 2xy 解析 解法一 x y 2 xy 1 x y 1 2xy 1 4 1 x 1 y x y 4xy 1 4xy x y 排除 b x y 2 x2 y2 2xy 排除 1 x y 2 x y 1 x y 1 x y 1 2 x2 y 2 a 解法二 取x 1 y 2 则 1 x y 1 3 1 4 1 x 1 y 3 8 1 2 x2 y 2 1 10 1 2xy 1 2 2 1 8 其中最小 1 10 答案 c 二 填空题 6 已知a b c 则与的大小关系是 a b b c a c 2 解析 a b c a b 0 b c 0 当且仅当a b b c 即 2b a c时取等 a c 2 a b b c 2 a b b c 8 号 答案 a b b c a c 2 7 若不等式 2 恒成立 则当且仅当x 时取 号 x2 2 x2 1 解析 x2 2 x2 1 x2 1 1 x2 1x2 1 1 x2 1 2 2 其中当且仅当 x2 1 1 x2 0 x 0 时成 x2 1 1 x2 1 x2 1 1 x2 1 立 答案 0 8 若a 0 b 0 a b 2 则下列不等式对一切满足条件的a b恒成立的是 填序号 ab 1 a2 b2 2 a3 b3 3 2 ab2 1 a 1 b 解析 令a b 1 排除 由 2 a b 2 ab 1 正确 a2 b2 a b ab 2 2ab 4 2ab 2 正确 2 正确 1 a 1 b a b ab 2 ab 答案 三 解答题 9 设a b c都是正数 求证 a b c bc a ac b ab c 证明 因为a b c都是正数 所以 也都是正数 bc a ac b ab c 所以 2c 2a 2b bc a ac b ac b ab c bc a ab c 三式相加得 2 2 a b c bc a ac b ab c 即 a b c 当且仅当a b c时取等号 bc a ac b ab c 10 已知a 0 b 0 a b 1 求证 9 1 1 a 1 1 b 证明 证法一 因为a 0 b 0 a b 1 所以 1 1 2 同理 1 2 1 a a b a b a 1 b a b 故 1 1 a 1 1 b 2 b a 2 a b 9 5 2 5 4 9 b a a b 所以 9 当且仅当a b 时取等号 1 1 a 1 1 b 1 2 证法二 因为a b为正数 a b 1 所以 1 1 1 1 1 a 1 1 b 1 a 1 b 1 ab a b ab 1 ab 2 ab ab 2 于是 4 8 a b 2 1 4 1 ab 2 ab 因此 1 8 9 1 1 a 1 1 b 当且仅当a b 1 2时等号成立 综合运用 11 已知a 0 b 0 则 中最小的是 a b 2ab a2 b2 2 2ab a b a b a b 2ab c d a2 b2 2 2ab a b 解析 因为a 0 b 0 所以 2ab a b 2ab 2abab a b 2ab a2 b2 2 2 a2 b 2 4 当且仅当a b 0 时 等号成立 所以 中最小的 a b 2 4 a b 2 a b 2ab a2 b2 2 2ab a b 是 故选 d 2ab a b 答案 d 12 已知a b 0 且a b 1 则下列各式恒成立的是 a 8 b 4 1 ab 1 a 1 b c d ab 1 2 1 a2 b2 1 2 解析 当a b 0 时 a b 2 又a b 1 2 1 即 abab ab 4 故选项 a 不正确 选项 c 也不正确 对于选项 ab 1 2 1 4 1 ab d a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 当a b 0 时 由ab 可得 1 4 a2 b2 1 2ab 所以 2 故选项 d 不正确 对于选项 1 2 1 a2 b2 10 b a 0 b 0 a b 1 a b 1 1 4 当且仅当a b时 1 a 1 b 1 a 1 b b a a b 等号成立 故选 b 答案 b 13 已知不等式 x y 9 对任意正实数x y恒成立 则正实数a的最小值为 1 x a y a 2 b 4 c 6 d 8 解析 x y 1 a 1 a 2 1 2 1 x a y ax y y xaa x y 9 对任意正实数x y恒成立 1 当且仅当 y x a时取等号 1 x a y a 2 9 a 4 答案 b 14 给出下列结论 若a 0 则a2 1 a 若a 0 b 0 则 4 1 a a b 1 b 若a 0 b 0 则 a b 4 1 a 1 b 若a r r 且a 0 则 a 6 9 a 其中恒成立的是 解析 因为 a2 1 a 2 0 a 1 2 3 4 所以a2 1 a 故 恒成立 因为a 0 所以a 2 因为b 0 所以b 2 1 a 1 b 所以当a 0 b 0 时 4 故 恒成立 a 1 a b 1 b 因为 a b 2 1 a 1 b b a a b 又因为a b 0 所以 2 b a a b 所以 a b 4 故 恒成立 1 a 1 b 因为a r r 且a 0 不符合基本不等式的条件 故 a 6 是错误的 9 a 答案