2010届高三数学专题复习：数列求通项公式和及求和

用心 爱心 专心 专题补充 数列求通项公式和及求和专题补充 数列求通项公式和及求和 一 一 通项公式通项公式 用于 1 nn aaf n 型已知条件 先写出数列前几项 观察数列变化规律 猜测出通项后 用数学归纳法证明 退一步 思想 即由已知推出相邻的 递推式后将两式作差化简得出结论 构造 等差 等比 数列 等 公式法 叠加法 用于等差 等比 数列相关公式 递推方法 猜想归纳法 构造辅 助数列 叠乘法 chengch eng 法 观察法 数列求通数列求通项项的一般方法的一般方法 n S与 n a的关系 利用 1 1 2 1 nn ssn ns n a 易漏 n 1 哟 用于 1 nn aaf n A型已 知条件 二 数列求和数列求和 把一组需要求和的数列拆分成两组或 两组以上的特殊数列来求和 把通项公式是分子为非零常数 分母为非 常数列的等差数列的两项积的形式拆成两 个分式差的形式之后再求和 倒序相加 法 裂项相消法 错位相减法 分组求和法 主要是针对等差等比数列 直接 应用求和公式 公 式 法 数列求和的一般数列求和的一般 方法 五种 方法 五种 若某数列中 与首末两项等距离的两相和等 于首末两项和 可采用把正着写的和倒着写 的两个式子相加 就得到一个与常数数列求 和相关的式子 设数列 n a的等比数列 数列 n b是等差数列 求 数列 nnb a的前n项和时 常常将 nnb a的各项 乘以 n b的公比 并向后错一项与 nnb a的同次 项对应相减 即可转化为特殊数列求和 补充 补充 22 2233 1 21 1 2 2 64 n nnnn nn 23 11 用心 爱心 专心 典典型型例例题题 一一 通通项项 类类型型1 1 等等差差求求通通项项思思想想 叠叠加加求求通通项项 用用于于 11 nnnn aaf naaf n 型型 例例1 1 03 全国 19 已知数列 n a 满足 2 3 1 1 1 1 naaa n n n I 求 32 aa II 证明 2 13 n n a 变式 1 08 四川 设数列 an中 1 2a 1 1 nn aan 则通项an 变式 2 08 江西 5 在数列 n a中 1 2a 1 1 ln 1 nn aa n 则 n a A 2lnn B 2 1 lnnn C 2lnnn D 1lnnn 类类型型2 2 等等比比求求通通项项思思想想 叠叠乘乘求求通通项项 用用于于 1 1 n nn n a f naaf n a 型型 例例2 2 在数列 n a中 1 1 1 2 1 n n an an an 则 n a 变式 1 设 n a是首项为 1 的正项数列 1 22 1 1 0 1 2 nn nn nanaaan 则它的通项公式是 n a 变式 2 在数列 n a中 已知 2 1 1 nn aSn a 求通项 n a 类类型型3 3 已已知知 n S求求通通项项 n a 1 1 2 1 nn ssn ns n a 例例3 3 07 福建 21 数列 n a的前n项和为 n S 1 1a 1 2 nn aSn N 求数 列 n a的通项 n a 求数列 n na的前n项和 n T 用心 爱心 专心 变式 1 09 全国 19 设数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 1 1a 1 42 nn Sa 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 求数列 n a的通项公式 变式 2 07 重庆 已知各项均为正数的数列 n a的前n项和 n S满足 1 1S 6 1 2 nnn Saa n N 求 n a的通项公式 设数列 n b满足 21 1 n b n a 并记 n T为 n b的前n项和 求证 2 31log 3 nn Tan N 变式 3 若 2 log 1 n Sn 则 n a 变式 4 正项数列 n a满足 1 1 a n S是其前n项之和 且 1 2 1 n nn SSa 求 nn Sa 类类型型4 4 构造等比或等差数列 构造等比或等差数列 递归递归数列 数列 类类型一 用于型一 用于 1nn akab 型已知条件 型已知条件 转转化方法 化方法 设设 n am 1 n k am 由 由 km m b 求求 出出 m 的的值值 则则数列数列 1 nn b ba k 是以是以k为公比的等比数列 为公比的等比数列 通通过过求出求出 n b间间接求出通接求出通项项 n a 类类型二 用于型二 用于 1 n nn akap 型已知条件 型已知条件 转转化步化步骤骤 1 等式两 等式两边边同同时时除以除以 n p 1 1 1 nn nn aak pp p 2 令 令 n n n a b p 则 则 1 1 nn k bb p 当当1 k p 时 时 n b是以是以 1 为公差的等差数列 为公差的等差数列 当当1 k p 时 转化为类型一构造等比数列 时 转化为类型一构造等比数列 类类型三 用于型三 用于 1nn akalnc 型已知条件 型已知条件 转转化步化步骤骤 设设 1 1 nn axnyk ax ny 由 由 1 kxnln k yxyc 求出 求出 用心 爱心 专心 2 1 1 lk lcc xy kk 则 2 1 1 nn lk lcc ban kk 是以k为公比 1 2 1 1 lk lcc a kk 为首项的等比数列 通通过过求出求出 n b间间接求出通接求出通项项 n a 例例4 4 06 重庆 在数列 n a中 若 11 1 23 1 nn aaan 则该数列的通项 n a 变式 1 08 四川 21 已知数列 an的前 n 项和 22n n n Sa 求 34 aa 证明 数 列 1 2aa nn 是一个等比数列 求 an的通项公式 变式 2 06 福建 22 已知数列 n a满足 1221 1 3 3 nn aaaa 2 n a nN I 证 明 数列 1nn aa 是等比数列 II 求数列 n a的通项公式 例例5 5 08 全国 19 在数列 n a中 1 1a 1 22n nn aa 求数列 n a的前n项和 n S 变式 1 08 四川 21 已知数列 an的前 n 项和 22n n n Sa 求 34 aa 2 求 an的通项公式 例例6 6 08 全国 19 在数列 n a中 1 1a 1 22n nn aa 设 1 2 n n n a b 证明 数列 n b是等差数列 求数列 n a的前n项和 n S 变式 1 08 天津 20 已知数列 n a中 1 1a 2 2a 且 11 1 nnn aq aqa 20 nq 设 1 nnn baa n N 证明 n b是等比数列 求数列 n a的通项公式 小小结结 先先证证明明新新数数列列为为等等差差或或等等比比再再求求通通项项问问题题 先先从从问问题题入入手手按按证证明明等等差差或或等等比比方方法法证证明明问问 题题 再再由由等等差差或或等等比比的的通通项项公公式式间间接接解解决决问问题题 类类型型5 5 分式型分式型递归递归数列数列 1 n n n pa a qar 解决办法 解决办法 用心 爱心 专心 解决步骤 解决步骤 1 两边颠倒分子分母 两边颠倒分子分母 得到 得到 1 11 nn rq ap ap 2 令 令 1 n n b a 则 则 1nn rq bb pp 当当1 r p 时时 1 n n b a 为等差数列 当为等差数列 当1 r p 时时 转化为类型转化为类型 4 中问题中问题 例例7 7 数列 n a中 11 2 1 2 n n n a aanN a 则 100 a 变式 1 08 陕西 22 已知数列 n a的首项 1 3 5 a 1 3 21 n n n a a a 12n 求 n a的通项公式 类类型型6 6 指指数数型型递递归归数数列列 两两边边取取对对数数 如如 1 r nn apapr 为常数 两边取对数得到 1 1 lglglg nn apa r 令lg nn ba 则 11 lg nn ba 则 1 1 lg nn bbp r 转化为类型 4 例例 数列 n a满足 1 2 a 5 1 4 nn aa 求 n a的通项 类类型型8 8 递递推推思思想想 升升标标或或降降标标法法 据据已已知知条条件件推推出出类类似似等等量量关关系系后后两两式式再再作作差差 用用于于知知n s 与与 n a 或或 n a与相邻项之间的关系与相邻项之间的关系 例例7 7 04 全国卷 若数列 n a满足 1121 1 2 1 nn aaaana 2 n 则 n a的通项 n a 1 1 2 n n 变式 1 数列 n a满足 123 23 1 2 n aaanan nnnN 2 n 则 n a 综合练习 综合练习 1 05 天津 在数列 an 中 a1 1 a2 2 且 1 1 2 Nnaa n nn 则 100 S 2 07 江西 已知数列 n a对于任意 pq N 有 pqp q aaa 若 1 1 9 a 则 36 a 3 04 全国 19 数列 an 的前 n 项和记为 Sn 已知 a1 1 an 1 n n2 Sn n 1 2 3 证明 数列 n Sn 是等比数列 Sn 1 4an 用心 爱心 专心 4 08 四川 20 设数列 n a的前项为 n S 已知2 1 n nn babS 证明 当2b 时 1 2 n n an 是等比数列 求 n a的通项公式 5 09 四川 22 设数列 n a的前n项和为 n S 对任意的正整数n 都有51 nn aS 成立 记 4 1 n n n a bnN a I 求数列 n b的通项公式 6 07 福建 等差数列 n a的前n项和为 13 1293 2 n SaS 求 n a的通 项 n a与前n项和 n S 设 n n S bn n N 求证 数列 n b中任不同的三项不可能成 为等比数列 7 07 北京 数列 n a中 1 2a 1nn aacn c是常数 12 3n 且 123 aaa 成公比不为1的等比数列 I 求c的值 II 求 n a的通项公式 8 07 山东 设 n a是公比大于 1 的等比数列 n S为数列 n a的前n项和 已知 3 7S 且 123 334aaa 构成等差数列 1 求数列 n a的通项公式 2 令 31 ln12 nn ban 求数列 n b的前n项和T 9 06 陕西 已知正项数列 an 其前 n 项和 Sn满足 10Sn an2 5an 6 且 a1 a3 a15成等比数列 求数列 an 的通项 an 二 数列求和 例例1 1 求下列数列的前n项和 2 222 101010 1 lg lg lg 333 n n 用心 爱心 专心 2 320042008求分母为 包含在正整数与之间的所有不可约分数的和 1 2 3 3 2 4 82n n 变式 数列 n a为等差数列 1123 2 12 aaaa 1 求 n a通项公式 2 n nn baxxR 求数列 n b前n项和 1111 4 1 5 3 7 5 9 21 23 nn 1 111111 5 1 1 1 1 224242n 小小结结求求和和方方法法 1 1 公公式式法法 用用于于等等差差与与等等比比数数列列 2 倒序相加法 倒序相加法 若某数列中 与首末两若某数列中 与首末两项项等距离的两相和等于首末两等距离的两相和等于首末两项项和 可采用把正着和 可采用把正着 写的和倒着写的两个式子相加 就得到一个与常数数列求和相关的式子写的和倒着写的两个式子相加 就得到一个与常数数列求和相关的式子 3 错位相减法 错位相减法 设设数列数列 n a的等比数列 数列的等比数列 数列 n b是等差数列 是等差数列 则则求数列求数列 nnb a的前的前n项项 和和时时 常常将 常常将 nnb a的各的各项项乘以乘以 n b的公比 并向后的公比 并向后错错一一项项 4 裂项相消法 裂项相消法 把通把通项项公式是分子公式是分子为为非零常数 分母非零常数 分母为为非常数列的等差数列的两非常数列的等差数列的两项积项积的形的形 式拆成两个分式差的形式之后再求和 式拆成两个分式差的形式之后再求和 11 nan anna 11 11 n nkk nnk 1111 1 2 2 1 1 2 n nnn nnn 5 分组求和法 分组求和法 把一把一组组需要求和的数列拆分成两需要求和的数列拆分成两组组或两或两组组以上的特殊数列来求和以上的特殊数列来求和 练习练习 1 07 福建 数列 n a的前n项和为 n S 若 1 1 n a n n 则 5 S 1 1 nn aa nn 100 2 的通项则S 222222 123499100 123410 12345678910 n aaaaaa 3 数列中 则 363 nn aan 1230 4 数列满足 则aaa 用心 爱心 专心 111 5 1 1212312 s n 6 等差数列前 3 项之和为 12 后 3 项之和为 132 所有各项之和为 240 则项数 n 7 2 21 n n nn 数列 a 满足 a 求前 n 项和 n S 8 函数 1 x f x x 求 111 1 2 2008 1 200820072 fffffff 等差数列独有特点 等差数列独有特点 1 若 nn ab为等差数列 前n项和分别为 nn ST 若 n n S f n T 则 21 n n a fn b 2 判定等差数列 n S何时取最大值 法 1 根据 n S相应二次函数的对称性 法 2 判定 n a何时开 始为负 3 判定等差数列 n S何时开始0 或0 由 1 2 n n n aa S 即判定 1n aa 何时正负发生 改变 补充补充 等差 等比数列中 利用对称性设出相邻几项 如等比相邻等差 等比数列中 利用对称性设出相邻几项 如等比相邻 3 项设为 项设为 1 aqa aq 等比相邻等比相邻 4 项设为 项设为 313 aqaqaq aq 等差相邻等差相邻 3 项 项 ad a ad 数列清单 函数与数列比较数列清单 函数与数列比较 一般函数 一般函数 yf x 数列 数列 n a 自变量x 对应法则f项数n 通项公式 n af n 函数值y 观察自变量与函数值变化关系 项 n a 前n项和 n S 观察项的下标之间的关系 单调性判定 定义法 图象法 已有函 数单调性 复合函数单调性 同增异减 单调性判定 1 转化为相应函数的单调性 2 作差或作商 比较 1 0 0 nn aa 或或 1 1 1 n n a a 或 对任意数列成立的关系式 对任意数列成立的关系式 数列 n a前n项和 n S 则 1 1 2 1 nn ssn ns n a 见见 n S写出写出 1n S 做差做差 二 等差与等比数列 五要素 二 等差与等比数列 五要素 1 nn adqnaS 或 知三求知三求 用心 爱心 专心 二 二 数列数列等差数列等差数列 nn ab与 一次函数型 一次函数型 等比数列等比数列 nn ab与 指数函数型 指数函数型 定