2019-2020学年高中数学 课时作业15 解三角形的实际应用举例 北师大版必修5

1 课时作业课时作业 十五十五 1 在某次测量中 在 a 处测得同一方向的 b 点的仰角为 60 c 点的俯角为 70 则 bac 等于 a 10 b 50 c 120 d 130 答案 d 2 一只船速为 2 米 秒的小船在水流速度为 2 米 秒的河水中行驶 假设两岸平行 要 3 想使过河时间最短 则实际行驶方向与水流方向的夹角为 a 120 b 90 c 60 d 30 答案 b 3 一艘客船上午 9 30 在 a 处 测得灯塔 s 在它的北偏东 30 之后它以每小时 32 海里 的速度继续沿正北方向匀速航行 上午 10 00 到达 b 处 此时测得船与灯塔 s 相距 8 2 海里 则灯塔 s 在 b 处的 a 北偏东 75 b 南偏东 15 c 北偏东 75 或南偏东 15 d 以上方位都不对 答案 c 4 某人朝正东方向走了 x km 后 向左转 150 然后朝新方向走了 3 km 结果他离出发 点恰好为 km 那么 x 的值是 3 a b 2 33 c 或 2 d 3 33 答案 c 5 一船以 4 km h 的速度沿着与水流方向成 120 的方向航行 已知河水流速为 2 km h 则经过 h 后 该船实际航行为 3 a 2 km b 6 km 15 c km d 8 km 84 答案 b 6 有货轮航行到 m 处 测得灯塔 s 在货轮的北偏东 15 与灯塔 s 相距 20 海里 随后货 2 轮按北偏西 30 的方向航行 30 分钟后 又测得灯塔在货轮的东北方向 则货轮的速度为 a 20 海里 小时b 20 海里 小时 6262 c 20 海里 小时d 20 海里 小时 6363 答案 b 7 2015 厦门高二检测 如图所示 在坡度一定的山坡 a 处测得山顶上 一建筑物 cd 的顶端 c 对于山坡的斜率 15 向山顶前进 100 m 到达 b 处 又测得 c 对于山坡的斜度为 45 若 cd 50 m 山坡对于地平面 的坡度为 则 cos a b 3 23 c 1 d 1 32 答案 c 8 台风中心从 a 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动 离台风中 心 30 千米内的地区为危险区 城市 b 在 a 的正东 40 千米处 b 城市处于危险区内的时间 为 a 0 5 小时 b 1 小时 c 1 5 小时 d 2 小时 答案 b 9 河两岸 a b 两点 现测得 bc 32 米 abc 75 acb 45 则 a b 两点间的 距离为 米 结果不要求取近似值 答案 32 6 3 解析 ab 米 bc sinc sina 32 sin45 sin60 32 6 3 10 某市全运会上举行升旗仪式 如图 在坡度为 15 的观礼台上 某一列座位所在直线 ab 与旗杆所在直线 mn 共面 在该列的第一个座位 a 和最后一个座位 b 测得旗杆顶端 n 的 仰角分别为 60 和 30 且座位 a b 的距离为 10 米 则旗杆的高度为 米 6 3 答案 30 解析 由题意可知 bam 105 bna 30 由正弦定理得 解得 an sin45 10 6 sin30 an 20米 在 amn 中 mn 20 sin60 30 米 故旗杆的高度为 30 米 33 11 如图 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度 在海岸上选取距离 1 千米的两个 观察点 c d 在某天 10 00 观察到该航船在 a 处 此时测得 adc 30 2 分钟后该船 行驶至 b 处 此时测得 acb 60 bcd 45 adb 60 则船速为 千 米 分钟 答案 6 4 解析 在 bcd 中 bdc 30 60 90 cd 1 bcd 45 bc 2 在 acd 中 cad 180 60 45 30 45 ac cd sin45 ac sin30 2 2 在 abc 中 ab2 ac2 bc2 2ac bc cos60 3 2 ab 船速为 千米 分钟 6 2 6 2 2 6 4 4 12 在山脚 a 处测得山顶 s 的仰角为 45 沿倾斜角为 15 的该斜坡向上走 100 m 到 b 又测得 s 的仰角为 75 求山高 sd 解析 在 abs 中 sab 45 15 30 asb 30 abs 120 ab 100 m 由正弦定理 得 sa 100 m 100 sin120 sin30 3 在 rt sad 中 sd sa sin45 100 50 m 3 2 26 所以山高 sd 为 50 m 6 13 2015 辽宁高二检测 如图 a b 是海面上位于 东西方向相距 5 3 海里的两个观测点 现位于 3 a 点北偏东 45 b 点北偏西 60 的 d 点有一艘轮船 发出求救信号 位于 b 点南偏西 60 且与 b 点相距 20 海里的 c 点的救援船立即前往营救 其航行速 3 度为 30 海里 小时 求该救援船到达 d 点需要多长时 间 解析 由题意知 ab 5 3 dba 90 60 3 30 dab 90 45 45 所以 adb 180 45 30 105 在 dab 中 由正弦定理 得 db sin dab ab sin adb 所以 db ab sin dab sin adb 5 3 3 sin45 sin105 5 3 3 sin45 sin45 cos60 cos45 sin60 10 5 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 3 23 又 dbc dba abc 30 90 60 60 bc 20 3 5 在 dbc 中 由余弦定理 得 cd2 bd2 bc2 2bd bc cos dbc 10 2 20 2 2 10 20 900 所以 3333 1 2 cd 30 又航行速度为 30 海里 小时 所以该救援船到达 d 点需要 1 小时 14 2013 江苏 如图 游客从某旅游景区的景点 a 处下山至 c 处有两种路径 一种是从 a 沿直线步行到 c 另一种是先从 a 沿索道乘缆车到 b 然后从 b 沿直线步行到 c 现有甲 乙两位游客从 a 处下山 甲沿 ac 匀速步行 速度为 50 m min 在甲出发 2 min 后 乙从 a 乘缆车匀速直线运行的速度为 130 m min 山路 ac 长为 1 260 m 经测量 cosa cosc 12 13 3 5 1 求索道 ab 的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 解析 1 在 abc 中 因为 cosa cosc 12 13 3 5 所以 sina sinc 5 13 4 5 从而 sinb sin a c sin a c sinacosc cosasinc 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65 由 得 ab sinc ac sinb ab sinc 1 040 m ac sinb 1 260 63 65 4 5 所以索道 ab 的长为 1 040 m 2 设乙出发 t 分钟后 甲 乙两游客距离为 d 此时 甲行走了 100 50t m 乙距离 a 处 130t m 所以由余弦定理得 6 d2 100 50t 2 130t 2 2 130t 100 50t 200 37t2 70t 50 12 13 因 0 t 即 0 t 8 故当 t min 时 甲 乙两游客距离最短 1 040 130 35 37 3 由 得 bc sina ac sinb bc sina 500 m ac sinb 1 260 63 65 5 13 乙从 b 出发时 甲已走了 50 2 8 1 550 m 还需走 710 m 才能到达 c 设乙步行的速度为 v m min 由题意得 3 3 解得 v 所以为使 500 v 710 50 1 250 43 625 14 两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 分钟 乙步行的速度应控制在 单位 1 250 43 625 14 m min 范围内 为了测量两山顶 m n 间的距离 飞机沿水平 方向在 a b 两点进行测量 a b m n 在同 一个铅垂平面内 如示意图 飞机能够测量的 数据有俯角和 a b 间的距离 请设计一个方 案 包括 指出需要测量的数据 用字母表 示 并在图中标出 用文字和公式写出计 算 m n 间的距离的步骤 解析 方法一 需要测量的数据有 a 点到 m n 点的俯角 1 1 b 点到 m n 点的俯 角 2 2 a b 的距离 d 如图所示 第一步 计算 am 由正弦定理 得 am dsin 2 sin 1 2 第二步 计算 an 由正弦定理 得 7 an dsin 2 sin 2 1 第三步 计算 mn 由余弦定理 mn am2 an2 2am ancos 1 1 方法二 需要测量的数据有 a 点到 m n 点的俯角 1 1 b 点到 m n 点的俯角 2 2 a b 间的距离 d 如图所 示 第一步 计算 bm 由正弦定理 得 bm dsin 1 sin 1 2 第二步 计算 bn 由正弦定理 得 bn dsin 1 sin 2 1 第三步 计算 mn 由余弦定理 得 mn bm2 bn2 2bm bncos 2 2 1 2013 辽宁 在 abc 中 内角 a b c 的对边分别为 a b c 若 asinbcosc csinbcosa b 且 a b 则 b 1 2 a b 6 3 c d 2 3 5 6 答案 a 解析 根据正弦定理 得 asinbcosc csinbcosa b 等价于 sinacosc sinccosa 即 1 2 1 2 sin a c 1 2 又 a b a c b 故选 a 项 5 6 6 2 2014 福建 在 abc 中 a 60 ac 4 bc 2 则 abc 的面积等于 3 答案 2 3 解析 方法一 在 abc 中 根据正弦定理 得 所以 解得 ac sinb bc sina 4 sinb 2 3 sin60 sinb 1 因为 b 0 120 所以 b 90 所以 c 30 所以 abc 的面积 s abc ac bc sinc 2 1 23 方法二 在 abc 中 根据正弦定理 得 所以 解得 sinb 1 ac sinb bc sina 4 sinb 2 3 sin60 因为 b 0 120 所以 b 90 所以 ab 2 42 2 3 2 8 所以 abc 的面积 s abc ab bc 2 1 23 3 设 abc 的内角 a b c 所对的边分别为 a b c 若 a b c a b c ab 则角 c 答案 2 3 解析 由 a b c a b c ab 整理 可得 a2 b2 c2 ab cosc c a2 b2 c2 2ab ab 2ab 1 2 2 3 4 2014 安徽 设 abc 的内角 a b c 所对边的长分别是 a b c 且 b 3 c 1 a 2b 1 求 a 的值 2 求 sin的值 a 4 解析 1 因为 a 2b 所以 sina sin2b 2sinbcosb 由正 余弦定理得 a 2b a2 c2 b2 2ac 因为 b 3 c 1 所以 a2 12 a 2 3 2 由余弦定理得 cosa b2 c2 a2 2bc 9 1 12 6 1 3 由于 0 a 所以 sina 1 cos2a 1 1 9 2 2 3 故 sin sinacos cosasin a 4 4 4 2 2 3 2 2 1 3 2 2 4 2 6 5 2013 北京 在 abc 中 a 3 b 2 b 2 a 6 1 求 cosa 的值 2 若 c 的值 解析 1 因为 a 3 b 2 b 2 a 6 所以在 abc 中 由正弦定理 得 3 sina 2 6 sin2a 所以 故 cosa 2sinacosa sina 2 6 3 6 3 2 由 1 知 cosa 所以 sina 6 31 cos2a 3 3 又因为 b 2 a 所以 cosb 2cos2a 1 1 3 所以 sinb 1 cos2b 2 2 3 9 在 abc 中 sinc sin a b sinacosb cosasinb 5 3 9 所以 c 5 asinc sina 6 2013 四川 在 abc 中 角 a b c 的对边分别为 a b c 且 2cos2cosb sin a b sinb cos a c a b 2 3 5 1 求 cosa 的值 2 若 a 4 b 5 求向量在方向上的投影 2 ba bc 解析 1 由 2cos2cosb sin a b sinb cos a c 得 cos a b 1 a b 2 3 5 cosb sin a b sinb cosb 3 5 即 cos a b cosb sin a b sinb 3 5 则 cos a b b 即 cosa 3 5 3 5 2 由 cosa 0 ab 则 a b 故 b 4 根据余弦定理 有 4 2 52 c2 2 5c 解得 c 1 或 c 7 舍去 2 3 5 故向量在方向上的投影为 cosb ba bc ba 2 2 7 2013 重庆 在 abc 中 内角 a b c 的对边分别为 a b c 且 a2 b2 c2 bc 3 1 求 a 2 设 a s 为 abc 的面积 求 s 3cosbcosc 的最大值 并指出此时 b 的值 3 解析 1 由余弦定理 得 cosa b2 c2 a2 2bc 3bc 2bc 3 2 又因为 0 a 所以 a 5 6 2 由 1 得 sina 又由正弦定理及 a 得 1 23 s bcsina asinc 3sinbsinc 1 2 1 2 asinb sina 因此 s 3cosbcosc 3 sinbsinc cosbcosc 3cos b c 10 所以 当 b c 即 b 时 s 3cosbcosc 取最大值 3 a 2 12 8 2012 新课标全国 已知 a b c 分别为 abc 三个内角 a b c 的对边 acosc asinc b c 0 3 1 求 a 2 若 a 2 abc 的面积为 求 b c 3 解析 1 由 acosc asinc b c 0 及正弦定理 得 3 sinacosc sinasinc sinb sinc 0 3 因为 b a c 所以sinasinc cosasinc sinc 0 3 由于 sinc 0 所以 sin a 6 1 2 又 0 a 故 a 3 2 abc 的面积 s bcsin