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第一章空间几何体 知识点1 棱柱的结构特征 棱柱 一般地 有两个面 其余各面都是 并且每相邻两个四边形的公共边都 由这些面所围成的多面体叫棱柱 互相平行 四边形 互相平行 棱柱中 两个 叫底面 互相平行的面 简称 其余各面叫做 底 侧面 相邻侧面的公共边叫做棱柱的 侧棱 侧面与底面的 叫做顶点 公共点 知识点1 棱柱的结构特征 底面是三角形 四边形 五边形的棱柱分别叫做 三棱柱 四棱柱 五棱柱 我们用表示 如图所示的六棱柱表示为 底面各顶点的字母 棱柱ABCDEF A B C D E F 直棱柱 的棱柱叫做直棱柱 侧棱与底面垂直 正棱柱 的直棱柱叫做正棱柱 底面是正多边形 知识点1 棱柱的结构特征 例 下列几何体哪些是棱柱 1 2 3 5 6 7 解析 考查棱柱的定义 1 3 5 知识点1 棱柱的结构特征 练习1 以下说法中正确的是 填序号 1 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱 2 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 3 有两个面平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱 4 用一个平面去截棱柱 底面与截面之间的部分组成的几何体是棱柱 知识点1 棱柱的结构特征 解析 说法 1 不满足侧面是平行四边形 反例如图1 说法 2 不满足侧棱互相平行 反例如图2 图1 图2 说法 4 不能保证底面和截面平行 故只有说法 3 正确 故填 3 知识点2 棱锥的结构特征 一般地 有一个面是 其余各面都是有一个公共顶点的 由这些面所围成的 叫棱锥 多边形 三角形 多面体 这个多边形面叫做 或 棱锥的底面 底 叫做棱锥的侧面 有公共顶点的各个三角形面 叫做棱锥的顶点 各侧面的公共顶点 叫做棱锥的侧棱 相邻侧面的公共边 底面是三角形 四边形 五边形的棱锥分别叫做 其中 又叫四面体 三棱锥 四棱锥 五棱锥 三棱锥 棱锥也用表示顶点和底面各顶点的 表示 如图所示四棱锥表示为 知识点2 棱锥的结构特征 字母 S ABCD S 正棱锥 如果一个棱锥的底面是 并且顶点在底面上的 是 这样的棱锥叫 正多边形 射影 底面的中心 正棱锥 正四面体 的棱锥叫做正四面体 侧面和底面都是 各棱长均相等 等边三角形 知识点2 棱锥的结构特征 例 下列说法正确的是 一个棱锥至少有四个面 如果四棱锥的底面是正方形 那么这个四棱锥的四条侧棱都相等 五棱锥只有五条棱 用与底面平行的平面去截三棱锥 得到的截面三角形和底面三角形相似 解析 主要考查棱锥的结构特征 答案 知识点2 棱锥的结构特征 练习 有下面五个命题 1 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 2 侧棱都相等的棱锥是正棱锥 3 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 4 正四面体就是正四棱锥 5 顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心 又是底面多边形的外心的棱锥是正棱锥 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 各侧面都是全等的等腰三角形 并不能保证底面是正多边形 也不能保证顶点在底面内的射影是底面的中心 故不是正棱锥 如图 1 中的三棱锥S ABC 可令SA SB BC AC 3 SC AB 1 则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形 但它不是正三棱锥 故 1 错误 知识点2 棱锥的结构特征 如图 2 中的三棱锥S ABC 可令SA SB BC 1 AB AC BC 1 三条侧棱都相等 但不是正三棱锥 故 2 错误 命题 3 中的 底面是正方形的棱锥 其顶点在底面内的射影不一定是底面的中心 如图 3 从正方体中截取一个四棱锥D1 ABCD 底面是正方形 但不是正四棱锥 故 3 错误 知识点2 棱锥的结构特征 命题 4 中的 正四面体 是正三棱锥 三棱锥共有4个面 所以也叫四面体 故 4 错误 命题 5 中的 顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心 又是底面多边形的外心 说明底面是一个正多边形 故 5 正确 答案 A 知识点2 棱锥的结构特征 知识点3 棱台的结构特征 棱台 用一个 的平面去截棱锥 的部分 这样的多面体叫 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 和 平行于棱锥底面 底面和截面之间 棱台 下底面 上底面 由三棱锥 四棱锥 五棱锥截得的棱台分别叫做 如图所示 四棱台表示为 三棱台 四棱台 五棱台 棱台ABCD A B C D 知识点3 棱台的结构特征 例 判断下列几何体是不是台体 并说明为什么 点拨 台体是由平行于棱锥和圆锥底面的平面截得的截面和底面之间的几何体 台体有两个明显的结构特征 一是所有的侧棱或母线延长相交于一点 二是截面与底面是平行的相似形 解 1 不是台体 因为各侧棱延长后不交于同一点 不是由棱锥截得 2 不是台体 因为截面与底面不平行 3 不是台体 理由同 2 知识点3 棱台的结构特征 知识点3 棱台的结构特征 练习 下列三种叙述 其中正确的有 1 用一个平面去截棱锥 棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2 两个底面平行且相似 其余的面都是梯形的多面体是棱台 3 有两个面互相平行 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A 0个B 1个C 2个D 3个 知识点3 棱台的结构特征 点拨 利用棱台的定义和结构特征知 棱台的两个底面互相平行 而且侧棱延长线交于一点 解 1 不正确 因为根据棱台的定义 要求棱锥底面和截面平行 2 不正确 因为不能保证各侧棱的延长线交与一点 3 不正确 因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点 综上 三个命题全部不正确 故选A 知识点4 圆柱的结构特征 以 为旋转轴 旋转形成的面所围成的 叫做圆柱 叫圆柱的轴 叫做圆柱的底面 叫做圆柱的侧面 叫做圆柱侧面的母线 圆柱和棱柱统称为 矩形的一边所在直线 其余三边 旋转体 旋转轴 垂直于轴的边旋转而成的圆面 平行于轴的边旋转而成的曲面 不垂直于轴的边 柱体 如图 圆柱表示为 圆柱O O 知识点4 圆柱的结构特征 例 下列7种几何体哪些是棱柱和圆柱 点拨 主要考查棱柱和圆柱的结构特征 解 棱柱为def 圆柱为a 知识点4 圆柱的结构特征 练习 下列四种说法 在圆柱的上 下两底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 圆柱的两底面全等 圆柱的轴有无数条 圆柱的任意两条母线相互平行 其中正确的是 点拨 考查圆柱的结构特征 答案 知识点5 圆锥的结构特征 以 为旋转轴 形成的面所围成的 叫做圆锥 直角三角形的一条直角边所在直线 其余两边旋转 旋转体 和 统称为锥体 棱锥 圆锥 如图 圆锥表示为 圆锥SO 知识点5 圆锥的结构特征 例 根据下列对于几何结构特征的描述 说出几何体的名称 1 由7个面围成 其中两个面是互相平行且全等的五边形 其他面都是全等的矩形 2 一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180 形成的封闭曲面所围成的图形 点拨 考查多面体和旋转体的结构特征 答案 1 直五棱柱 2 圆锥 知识点5 圆锥的结构特征 练习 以下命题 直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 圆柱 圆锥的底面都是圆 其中正确命题的个数为 A OB 1C 2D 3 点拨 主要考查圆柱和圆锥的结构特征 答案 C 知识点6 圆台的结构特征 用 的平面去截圆锥 之间的部分叫做圆台 与 统称为台体 平行于圆锥底面 底面与截面 棱台 圆台 如图圆台可以表示为 圆台O O 知识点6 圆台的结构特征 例 下列四种说法 在圆柱的上 下两底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 在圆台上 下两底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆台的母线 圆柱的任意两条母线相互平行 其中正确的是 A B C D 点拨 圆锥和圆台的结构特征 答案 D 知识点6 圆台的结构特征 练习 以下命题 直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆 一个平面截圆锥 得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为 A OB 1C 2D 3 点拨 考查旋转体的结构特征 答案 B 知识点7 球的结构特征 以 所在直线为旋转轴 旋转一周形成的 叫做球体 简称 叫做球心 叫球的半径 叫球的直径 如图所示 球表示为 半圆的直径 半圆面 旋转体 球 半圆的圆心 半圆的半径 半圆的直径 球O 知识点7 球的结构特征 例 正方体内接于一个球 过球心作一截面 如图所示 则截面可能的图形是 A B C D 点拨 本题主要考查截面问题 关键考虑过球心的正方体截面位置的可能情形 解 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得 当截面过正方体的体对角线时得 当截面平行于正方体的一个侧面时得 但无论如何都不能截出 故答案为 C 练习 如图 各棱长都相等的三棱锥内接于一个球 则经过球心的一个截面图形可能是 A B C D 知识点7 球的结构特征 知识点7 球的结构特征 点拨 本题主要考查截面问题 关键考虑过球心的正方体截面位置的可能情形 解 正确 截面过三棱锥底面的一边 错误 截面圆内三角形的一条边不可能过圆心 正确 为截面平行于三棱锥底面 错误 截面圆不可能过三棱锥的底面 故选A 知识点8 空间几何体的三视图 由于光的照射 在 物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 这种现象叫投影 我们把光线叫 把留下物体影子的屏幕叫做 不透明 影子 投影线 投影面 我们把光由 向外散射形成的 叫中心投影 一点 投影 我们把在一束 照射下形成的 叫做 平行投影的投影线是 在平行投影中 投影线 投影面时 叫做正投影 否则叫做斜投影 平行光线 投影 平行光线 平行的 正对着 知识点8 空间几何体的三视图 光线从几何体的 正投影得到的投影图叫做几何体的正视图 光线从几何体的 正投影得到的投影图叫做几何体的侧视图 光线从几何体的 正投影得到的投影图叫做几何体的俯视图 前面向后面 左面向右面 上面向下面 几何体的 统称为几何体的三视图 正视图 侧视图 俯视图 知识点8 空间几何体的三视图 例1 如图所示的长方体的长 宽 高分别为5cm 4cm 3cm 画出这个长方体的三视图 正侧高平齐 俯侧宽相等 正俯长对正 5cm 3cm 4cm 总结提升 长对正 高平齐 宽相等 知识点8 空间几何体的三视图 知识点8 空间几何体的三视图 练习1 画出下列几何体的三视图 解析 主要考查空间几何体三视图 答案 1 2 知识点8 空间几何体的三视图 知识点8 空间几何体的三视图 练习2 观察下列几何体的三视图 想象并说出它们的几何结构待征 然后画出它们的示意图 知识点8 空间几何体的三视图 1 是底面为直角梯形的直四棱柱 如图 1 所示 解 2 是上部为半球体 下部为圆锥体的组合体 如图 2 所示 知识点8 空间几何体的三视图 3 是上部为小球体 下部为正四棱柱的组合体 如图 3 所示 4 是上 下两个全等的圆台的组合体 如图 4 所示 知识点9 空间几何体的直观图 要画空间几何体的直观图 首先要学会 的平面图形的画法 对于平面多边形 我们常用 画它们的直观图 是一种特殊的 画法 水平放置 斜二测画法 斜二测画法 平行投影 斜二测画法步骤 1 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点O 画直观图时 把它们画成对应的x 轴与y 轴 两轴交点O 且使 x O y 它们确定的平面表示水平面 45 或135 知识点9 空间几何体的直观图 2 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成 与x 轴或y 轴的线段 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持 平行于y轴的线段 长度为 平行 原长度不变 原来一半 知识点9 空间几何体的直观图 例 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 解析 1 以正六边形的中心为原点建立如图 1 所示的直角坐标系xOy 再建立如图 2 所示的坐标系x O y 使 2 在x 轴上取A O O D 在y 轴上取O G O H 且 以H 为中点画F E 平行于x 轴 且等于FE 再以G 为中点画B C 平行于x 轴 且等于BC 3 连接A B C D D E F A 所得六边形A B C D E F 就是正六边形ABCDEF的直观图 知识点9 空间几何体的直观图 知识点9 空间几何体的直观图 练习1 利用斜二测画法得到的 三角形的直观图是三角形 平行四边形的直观图是平行四边形 正方形的直观图是正方形 菱形的直观图是菱形 以上结论 正确的是 A B C D 点拨 考查直观图 解 斜二测画法会使直观图中的角度和沿垂直于水平线方向的长度与原图中不相同 而平面多边形的边数不会改变 并且在原图中相等的多个角度 知识点9 空间几何体的直观图 在直观图中依然相等 故三角形的直观图还是三角形 由于平行四边形的两组对角在原图中和直观图中都相等 故平行四边形的直观图还是平行四边形 但由于角度改变 正方形的直观图变为不包含直角的平行四边形 由于长度的变化 菱形的直观图也变为邻边不相等的平行四边形 答案为A 例2 用斜二测画法画正五边形的直观图 知识点9 空间几何体的直观图 点拨 考查斜二测画法 解 1 如图 1 以BE所在的直线为x轴 经过点A且与BE所在的直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系 画对应的x 轴和y 轴 使 x O y 45 2 在图 2 中 以O 为中点 在x 轴上截取O B O E OB OE 在y 轴上截取O F OF O A OA 经过点F 作与x 轴平行的直线 且在该直线上截取F C F D FC FD 3连结A B B C D E E A 所得五边形A B C D E 就是五边形ABCDE的水平放置的直观图 如图 3 知识点9 空间几何体的直观图 知识点9 空间几何体的直观图 练习3 用斜二测画法画长 宽 高分别为4cm 3cm 2cm的长方体ABCD A B C D 的直观图 点拨 主要考查斜二测画法 解 1 画轴 如图 画x轴 y轴 z轴 三轴相交于点O 使 xOy 45 xOz 90 知识点9 空间几何体的直观图 2 画底面 以点O为中点 在x轴上取线段MN 使MN 4cm 在y轴上取线段PQ 使PQ cm 分别过点M和N作y轴的平行线 过点P和Q作x轴的平行线 设它们的交点分别为A B C D 四边形ABCD就是长方体的底面ABCD 3 画侧棱 过A B C D各点分别作z轴的平行线 并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA BB CC DD 知识点9 空间几何体的直观图 4 成图 顺次连接A B C D 并加以整理 去掉辅助线 将被遮挡的部分改为虚线 就得到长方体的直观图 知识点10 空间几何体的表面积 1 棱柱 棱锥 棱台的表面积 我们通常分别求 的面积 再将所求结果相加 各个面 2 圆柱表面积 S r为底面半径l为母线 3 圆锥表面积 S r为底面半径 l为母线 4 圆台表面积 S r 上底面半径 r下底面半径 l母线 5 球的表面积 S R为球半径 知识点10 空间几何体的表面积 例 一个正三棱台的上 下底面边长分别是3cm和6cm 高是cm 1 求三棱台的斜高 2 求三棱台的侧面积和表面积 点拨 考查多面体的侧面积和表面积 解 1 设O1 O分别为正三棱台ABC A1B1C1的上 下底面正三角形的中心 如图所示 则O1O 过O1作O1D1 B1C1 OD BC 则D1D为三棱台的斜高 知识点10 空间几何体的表面积 过D1作D1E AD于E 则D1E O1O 因O1D1 3 OD 6 则DE OD O1D1 在Rt D1DE中 D1D 2 设c c 分别为上 下底的周长 h 为斜高 知识点10 空间几何体的表面积 知识点10 空间几何体的表面积 练习1 已知正四棱锥V ABCD的底面面积为16 一条侧棱长为 则它的斜高为 点拨 考查多面体的斜高求法 解 正四棱锥V ABCD的底面面积为16 AE AD 2 在直角三角形PAE中 斜高PE 知识点10 空间几何体的表面积 练习2 已知球的两个平行截面的面积分别为 且两个截面之间的距离为9 求球的表面积 点拨 考查球的表面积 解 下图为球的一个大圆截面 1 当两截面在球心同侧时 知识点10 空间