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立体几何 第九章立体几何主讲 邓秋阳 立体几何 立体几何 有的同学会问道 老师 我们现在学习立体几何由有什么用处 完全是为了应付考试的吧 了解它对我们有什么帮助 在生活中我们有运用到它了吗 为什么学习立体几何 立体几何 学习立体几何会让你的立体感增强 以前看不出来的三维图形 现在都能看出来 当你的立体感增强后 在思考问题时 能做到从多个角度立体地看问题 你会发现实际中的应用实在是太多了 在我们生活中是随处可见的 房屋设计图纸 航天轨道 立体几何 9 1平面的基本性质 9 2直线与直线 直线与平面 平面与平面平行的判定与性质 9 1平面的基本性质 9 1平面的基本性质 平面没有大小 厚薄和宽窄 平面在空间是无限延伸的 9 1平面的基本性质 平面的概念 9 1平面的基本性质 平面的画法 1 水平放置的平面 2 垂直放置的平面 通常把表示平面的平行四边形的锐角画成45 且横边长等于其邻边长的2倍 9 1平面的基本性质 平面的画法 3 在画图时 如果图形的一部分被另一部分遮住 可以把遮住部分画成虚线 也可以不画 9 1平面的基本性质 平面的表示方法 平面可以用希腊字母表示 如 等 也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示 如平面ABCD 平面AC或平面BD 9 1平面的基本性质 知识巩固 表示出长方体ABCD A1B1C1D1的6个面 9 1平面的基本性质 平面的基本性质1 观察下图 你能得到什么结论 9 1平面的基本性质 平面的基本性质1 得出结论 如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 图形表述 符号表述 9 1平面的基本性质 例题 如图中 ABC 若AB BC在平面 内 判断AC是否在平面 内 解 AB在平面 内 A点一定在平面 内 又BC在平面 内 C点一定在平面 内 点A 点C都在平面 内 直线AC在平面 内 9 1平面的基本性质 平面的基本性质2 观察下图 你能发现到什么 9 1平面的基本性质 平面的基本性质2 得出结论 如果两个平面有一个公共点 那么它们一定还有其他公共点 并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线 即这两个平面相交 符号表述 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3 观察下图 你能发现到什么 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3 得出结论 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 图形表述 符号表述 ABC三点不共线推断出有且只有一个平面 使得A B C 即A B C不共线 A B C确定一平面 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3 1 不在一条直线上 和 三点 是基本性质3的重点字眼 如果没有前者 那么只能说 有一个平面 但不唯一 如果将 三点 改成 四点 那么过四点不一定确定一个平面 由此可见 不在一条直线上的三点 是确定一个平面的恰到好处的条件 2 深刻理解 有且只有 的含义 这里的 有 是说平面存在 只有 是说平面唯一 有且只有 强调平面存在并且唯一这两方面 这就表明这个图形是确定的 所以也可以说成 确定一个 9 1平面的基本性质 平面的基本性质3结论 1 直线与这条直线外的一点有且只有一个平面 2 两条相交直线有且只有一个平面 3 两条平行直线有且只有一个平面 1 2 3 9 2判定与性质 9 2直线与直线 直线与平面 平面与平面平行的判定与性质 9 2直线与直线平行 直线与直线平行 观察下面两张图 你能发现到什么 9 2直线与直线平行 直线与直线的位置关系 思考1平面内两条直线的位置关系有几种 相交直线 有一个公共点 平行线 无公共点 9 2直线与直线平行 直线与直线的位置关系 思考2空间中两条直线的位置关系有几种 相交 平行 异面 9 2直线与直线平行 异面直线的定义 观察 在左图正方体ABCD A1B1C1D1中 线段A1B与线段CC1所在直线有什么特点 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 思考 如图 A1C1 平面A1B1C1D1 BC平面ABCD 问A1C1 BC是否是异面关系 既不平行 又不相交 9 2直线与直线平行 知识巩固 9 2直线与直线平行 例题 如图所示 正方体的棱所在的直线中 与直线A1B异面的有哪些 D1C1C1CCDD1DAD 9 2直线与直线平行 直线与直线平行的性质 平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行 那么空间中的呢 9 2直线与直线平行 平行公理 思考1设直线a b 将直线a在空间中作平行移动 在平移过程中a与b仍保持平行吗 9 2直线与直线平行 平行公理 思考2如图 在长方体ABCD A B C D 中 BB AA DD AA 那么BB DD 吗 9 2直线与直线平行 平行公理 思考3取一块长方形纸板ABCD E F分别为AB CD的中点 将纸板沿EF折起 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 9 2直线与直线平行 平行公理 从上述观察及大量类似的事实中 归纳出平行直线的性质 平行于同一条直线的两条直线平行 我们常利用这个性质来判断两条直线平行 9 2直线与直线平行 例题 在长正方体ABCD A1B1C1D1中 已知E F分别是AB BC的中点 求证 EF A1C1 证明 连接AC 在 ABC中 E F分别是AB BC的中点 EF BC 又AA1 BB1 BB1 CC1AA1 CC1从而四边形AA1CC1是平行四边形 AC A1C1 从而EF A1C1 9 2直线与平面平行 直线与平面的位置关系 笔与平整的纸有多少种位置关系 9 2直线与平面平行 直线与平面的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 交点 a 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a 直线与平面平行 没有公共点 a 9 2直线与平面平行 直线与平面平行的判定 球门的横梁与地面所在平面之间的位置关系是什么 9 2直线与平面平行 直线与平面平行的判定 得出结论 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 则该直线与此平面平行 图形表述 9 2直线与平面平行 例题 如图 在长方体ABCD A B C D 中 1 与AB平行的平面是 2 与AA 平行的平面是 3 与AD平行的平面是 平面A C 平面CD 平面B C 平面CD 平面A C 平面BC 9 2直线与平面平行 直线与平面平行的性质 思考如果直线a与平面 平行 经过直线a的平面与平面 相交于直线b 那么直线a b的位置关系如何 为什么 已知 b求证 b证明 b b 又 与b无公共点又 b b 9 2直线与平面平行 直线与平面平行的性质 得出结论 一条直线和一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 图形表述 9 2直线与平面平行 例题 判断下列命题的真假 其中a b表示直线 表示平面 1 若直线a与平面 平行 则a与 内任一直线平行 2 若直线a b都和平面 平行 则a与b平行 3 若直线a和平面 都平行 则 与 平行 4 若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面 则另一条也平行于这个平面 异面直线 直线相交 平面相交 直线与平面平行性质 9 2平面与平面平行 平面与平面的位置关系 思考 拿出两本书 看作两个平面 上下 左右移动和翻转 它们之间的位置关系有几种 通过观察可以发现 两本书可以平行 也可以是相交 平面是无限延展的 所以位置关系有平行与相交两种 结论 1 两个平面平行 没有公共点 2 两个平面相交 有一条公共直线 9 2平面与平面平行 平面与平面的画法 思考 两个平面平行应怎样画 相交又怎样画 画两个互相平行的平面时 要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行 9 2平面与平面平行 平面与平面平行的判定 如何保证乒乓球台的台面与地面平行呢 水准器在台面上交叉放置两次 两次检测水准器内的水泡都在中间 表示乒乓球台的台面与地面平行 9 2平面与平面平行 平面与平面平行的判定 思考 1 如何用2根细绳来检查一把椅子的4条腿的下端是否在同一个平面呢 结论 如果一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行 那么这两个平面相互平行 2 当三角板ABC的一条边平行桌面时 ABC所在的平面是否平行桌面 3 当三角板ABC的两条边平行桌面时 ABC所在的平面是否平行桌面 9 2平面与平面平行 平面与平面平行的性质 思考 当第三个平面和两个平行平面都相交时 两条交线有什么关系 为什么 已知 平面 满足 b求证 b证明 b b 与b共面又 b 与b无公共点 b 9 2平面与平面平行 平面与平面平行的性质 文字表述 两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 9 2直线与平面平行 例题 判断下列结论是否成立 1