椭圆标准方程及几何性质PPT课件.ppt

5 2椭圆 1 第一节椭圆的标准方程 2 2008年9月25日晚21时10分04秒 神舟七号 载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空 实现了太空行走 标志着我国航天事业又上了一个新台阶 3 4 生活中的椭圆 5 数学实验 新课讲解 6 结合实验以及 圆的定义 思考讨论一下应该如何定义椭圆 思考 7 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 这两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距 1 椭圆的定义 如果设轨迹上任一点M到两定点F1 F2的距离和为常数2a 两定点之间的距离为2c 则椭圆定义还可以用集合语言表示为 P M MF1 MF2 2a 2a 2c 8 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 这两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距 1 平面曲线 2 到两定点F1 F2的距离等于定长2a 3 定长 F1F2 2a 2c 理解 椭圆上的点要满足怎样的几何条件 9 动点M的轨迹 线段F1F2 F1 F2 动点M的轨迹 不存在 10 O X Y F1 F2 M 步骤一 建立直角坐标系 步骤二 设动点坐标 步骤三 列方程 步骤四 化简方程 求曲线方程的步骤 2 椭圆的标准方程 步骤五 完备性检验 11 解 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 想一想 下面怎样化简 由椭圆的定义 代入坐标 12 则方程可化为 观察左图 你能从中找出表示c a的线段吗 即 a2 c2有什么几何意义 13 焦点在y轴 焦点在x轴 椭圆的标准方程 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 14 注意理解以下几点 在椭圆的两种标准方程中 都有 的要求 在椭圆的两种标准方程中 由于 所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上 椭圆的三个参数 之间的关系是 其中 大小不确定 15 思考 1 将一个底面圆半径为5的圆柱沿与底面成600角作一个截面 截面为椭圆 求其标准方程 2 椭圆的中心在点 m n 标准方程式什么 16 分母哪个大 焦点就在哪个坐标轴上 反之亦然 注意 1 下列方程哪些表示的是椭圆 如果是 判断它的焦点在哪个坐标轴上 跟踪练习 17 变式一 将上题焦点改为 0 4 0 4 结果如何 变式二 将上题改为两个焦点的距离为8 椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 结果如何 已知两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 当焦点在X轴时 方程为 当焦点在Y轴时 方程为 18 例1 椭圆两个焦点的坐标是 0 2 和 0 2 并且经过点P 求标准方程 解 法1 因为椭圆的焦点在y轴上 设它的标准方程为 c 2 且c2 a2 b2 4 a2 b2 又 椭圆经过点P 联立 可求得 椭圆的标准方程为 例题讲解 19 法2 设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以所求椭圆的标准方程为 求椭圆标准方程的步骤 1 先判断焦点的位置 设出标准方程 先定位 2 根据椭圆定义或待定系数法求a b 后定量 20 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 3 焦点在x轴 2 a 5 c 2 焦点在y轴上 2 椭圆 的焦距是 焦点坐标为 的弦 则 的周长为 若CD为过左焦点 跟踪练习 21 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 a2 c2 b2 a b 0 P M MF1 MF2 2a 2a 2c 知识总结 22 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别为 4 0 和 4 0 且椭圆经过点 5 0 2 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 一 求椭圆的标准方程 例题讲解 23 24 25 跟踪练习 26 27 28 例2 已知动圆M过定点A 3 0 并且内切于定圆B x 3 2 y2 64 求动圆圆心M的轨迹方程 二 利用椭圆的定义求轨迹方程 例3 已知圆B x 1 2 y2 16 A 1 0 C为圆上任意一点 AC中垂线与CB交于点P 求点P的轨迹方程 29 30 例4 有一颗地球卫星沿地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行 卫星近地点约200公里 远地点约500公里 地球半径R约6400公里 求运行轨道方程 x o F F1 A B y 规律 近地点和远地点一定是长轴的两个端点 31 1 已知动圆M和定圆C1 x2 y 3 2 64内切 而和定圆C2 x2 y 3 2 4外切 求动圆圆心M的轨迹方程 跟踪练习 32 解 设动圆 M 的半径为 r 圆心 M x y 两定圆 圆心 C 1 0 3 C 2 0 3 半径 r 1 8 r 2 2 则 MC 1 8 r MC 2 r 2 MC 1 MC 2 8 r r 2 10 又 C 1 C 2 6 动圆圆心 M 的轨迹是椭圆 且焦 点为 C 1 0 3 C 2 0 3 且 2 a 10 a 5 c 3 b 2 a 2 c 2 25 9 16 动圆圆心 M 的轨迹方程是 y 2 25 x 2 16 1 33 2 设点A B的坐标分别为 5 0 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的斜率之积为 求点M的轨迹方程 思考 斜率之积为m m 0 34 三 椭圆的应用 例5 方程表示椭圆 求k的范围 35 36 1 本例中其他条件不变 F1PF2 60 改为 F1PF2 90 求 F1PF2的面积 跟踪练习 37 思考 当 F1PF2 时 焦点三角形面积S 38 第二节椭圆的几何性质 39 平面内与两个定点F1 F2的距离之和为常数2a 2a 2c 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距 2c 1 椭圆的定义 注意 常数2a 的条件 2a 2c等于 线段2a 2c小于 无轨迹 知识回顾 40 按照坐标法的基本步骤推导 注意带根号的式子的化简 当焦点在x轴上时 椭圆的标准方程为 焦点坐标为 F1 c 0 F2 c 0 其中 2 椭圆的标准方程 41 当椭圆的焦点在y轴上时 椭圆的标准方程为 依然成立 焦点坐标为 F1 0 c F2 0 c 42 范围 对于椭圆 a b 0 为例 由标准方程可知 椭圆上点的坐标 x y 都适合不等式 1 即x2 a2 y2 b2 x a y b 1 椭圆的几何性质 新课讲解 43 x 这说明椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形里 o y a a b b 44 在椭圆上 任取一点 x y 其关于x轴 y轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上 所以椭圆关于x轴 y轴和坐标原点都是对称的 x o x y x y x y x y y 对称性 其中坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 45 顶点 椭圆与它的对称轴有四个交点 这四个交点叫做椭圆的顶点 线段A1A2 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴 a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 x o a 0 0 b a 0 0 b y A1 A2 B1 B2 46 4 离心率 定义 焦距与长轴长的比 范围 0 e 1 几何意义 e 1 椭圆越扁 e 0 椭圆越趋近于圆 变形公式 47 5 准线方程 右准线的方程是 左准线的方程是 如图所示 x y o 48 x y o 6 椭圆第二定义平面内到定点F C 0 距离与到定直线L 的距离之比为的点的轨迹是椭圆 F d M M 2 任何椭圆上的点到其焦点和对应准线距离之比一定是其离心率 注 1 平面内动点到定点与定直线距离之比为定值的轨迹一定是椭圆 但不一定是标准方程形式 要化简求得 49 图象 方程 性质 范围 顶点 离心率 对称性 x a y b 关于x轴 y轴 都对称 a 0 0 b y a x b 坐标原点 关于x轴 y轴 都对称 坐标原点 0 a b 0 a b 0 a b 0 e e 准线 知识总结 50 例1 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点的坐标 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 经过点P 3 0 Q 0 2 2 长轴的长等于20 离心率等于0 6 例题讲解 51 例3 点M x y 与定点F 4 0 的距离和它到直线l 的距离之比是常数 求点M的轨迹方程 52 第三节直线与椭圆的位置关系 53 一 椭圆中常见的量 1 离心率 2 焦半径 设 左焦半径 右焦半径 3 通径 4 焦点三角形MF1F2面积 54 1 椭圆上有一点M 1 若MF1与MF2垂直 求三角形MF1F2面积及对应的两条焦半径长 2 若角F1MF2为600 求三角形MF1F2面积及点M坐标 3 若点P 2 1 求 MP MF2 的最小值及此时点M坐标 x o F2 M x0 y0 F1 y 55 2 正六边形ABCDEF的顶点A D为一椭圆的两个焦点 其余四个顶点B C E F均在椭圆上 求椭圆离心率 x o F B A y D E C 56 3 椭圆中心在原点 F是左焦点 直线AC与BF交于D 且 BDC 900 求椭圆的离心率 x o F C A B y D 57 4 椭圆上有一点P PF1与x轴垂直 x o F2 F1 P Q A B 1 若PF2 AB 求e 2 若PO AB 求e y x o F2 F1 P Q A B y 58 5 以椭圆的右焦点F为圆心 FO为半径作圆与椭圆的一个交点为M 且 MF MO 求e x o F F1 A M y 59 6 椭圆的焦点三角形MF1F2中 两底角分别为150和750 求e x o F2 F1 M y 规律 焦点三角形两底角为 则 60 7 椭圆上一点M F1 F2为两焦点 1 求证 M为短轴顶点B时 最大 2 若存在一点M 使 求离心率e的范围 x o F2 F1 M y 规律 存在一点M使则 61 8 椭圆F1 c 0 F2 c 0 为两焦点 若椭圆上存在一个点P 使成立 求e范围 x o F2 F1 P y 62 9 椭圆F1 c 0 F2 c 0 为两焦点 在直线存在一个点P 使线段PF1中垂线经过点F2 求e范围 x o F2 F1 P y 63 二 直线与椭圆的位置关系 一 直线与椭圆相切 1 若点P x0 y0 与圆 1 若点P在圆内 满足什么条件 圆外 2 若点P在圆上 过P的切线方程是什么 3 若点P在圆外 直线l 与圆的位置关系 点P在圆内呢 64 2 若点P x0 y0 与椭圆 1 若点P在椭圆内 满足什么条件 椭圆外 2 若点P在圆上 过P的切线方程是什么 3 直线l y kx 1与椭圆C 总有交点 求m范围 65 4 P为椭圆C 上一点 求点P到直线3x 2y 16 0的最值 5 求以 2 0 2 0 为焦点 且与直线x y 4 0相切的椭圆方程 66 二 直线与椭圆相交 1 过椭圆的左焦点作倾斜角为60 的弦AB 求AB弦长 2 已知椭圆被直线l截的弦的中点为 求直线l的方程 67 4 已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 1 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 2 求弦长的最值 68 5 椭圆中心在原点 焦点在x轴上 直线y x 1与椭圆交于两点P Q 且求椭圆方程 x o P Q y 6 直线l y x 1与椭圆C 交于A B 以AB为直径的圆过椭圆左焦点F 求m 69 1 椭圆一个顶点A 0 1 焦点在x轴上 其右焦点到直线距离为3 1 求椭圆方程 2 若椭圆与直线y kx m k不为0 交于不同两点M N且 AM AN 求m范围 三 综合应用 70 2 椭圆C 1 若椭圆与斜率为2的直线交于A B 求AB中点M的轨迹方程 2 若椭圆与过定点P 0 2 的直线交于A B 求AB中点M的轨迹方程 4 若椭圆存在两点关于直线l y 2x b对称 求b范围 5 若椭圆存在两点关于直线l y kx 1对称 求k范围 3 若椭圆与过定点P 0 2 的直线交于A B 求t PA PB 的范围 71 x o A B y P 1 1 2 解 1 法一 显然l斜率存在 设l y 1 2 k x 1 即y kx k 1 2代入椭圆方程x2 4y2 4得 4k2 1 x2 4k 1 2k x 4 1 2 k 2 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 2即 4k 1 2k 4k2 1 2 Delta 0即3k2 k 3 4 0恒成立 事实上 点P在椭圆内 直线与椭圆恒相交 K 1 2 所以l y 1 2 x 1 法二 设A x1 y1 B x2 y2 x12 4y12 4 x22 4y22 4 点差得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0即2 4k 0 K 1 2 所以l y 1 2 x 1 代入方程由弦长公式得到弦长 72 3 椭圆C中心在原点 交点在x轴上 过点P 1 0 的直线L与椭圆交于A B 直线y x 2 过AB中点 同时 椭圆上存在一点N与右焦点F关于L 对称 求L及椭圆C x o A B y F N 73 4 长轴为4的椭圆上有A B C三点 A为长轴一端点 BC过椭圆中心