数列知识点及常用结论

1 数列知识点及常用结论数列知识点及常用结论 一 等差数列一 等差数列 1 等差数列的基本公式 等差数列的基本公式 通项公式 通项公式 从第 1 项开始为等差 1 1 n aand 1 a 从第 m 项开始为等差 nm aanm d m a nm nm nm aand aanm d aa d nm 前前项和公式 项和公式 n 1 1 1 22 n n n aan n Snad 2 证明等差数列的法方 证明等差数列的法方 定义法 定义法 对任意的 n 都有 d 为常数 为等差数列 1nn aad n a 等差中项法 等差中项法 n 为等差数列 12 2 nnn aaa N n a 通项公式法 通项公式法 pn q p q 为常数且 p 0 为等差数列 n a n a 即 即 通项公式位 n 的一次函数 公差 首项dp 1 apq 前前项和公式法 项和公式法 p q 为常数 为等差数列n 2 n Spnqn n a 即 即 关于 n 的不含常数项的二次函数 3 3 常用结论 常用结论 若数列 为等差数列 则数列 n a n b n ak n k aA nn ab n kab k b 为非零常数 均为等差数列 若 m n p q m n p q 则 N nm aa pq aa 特别的 当 n m 2k 时 得 nm aa 2 k a 在等差数列中 每隔 k k 项取出一项 按原来的顺序排列 所得的数列仍 n a N 为等差数列 且公差为 k 1 d 例如 仍为公差为 3d 的等差数 1 a 4 a 7 a 10 a 列 2 若数列为等差数列 则记 n a 12kk Saaa 则 2122kkkkk SSaaa 3221223kkkkk SSaaa k S 2kk SS 仍成等差数列 且公差为d 32kk SS 2 k 若为等差数列的前 n 项和 则数列也为等差数列 n S n a n S n 此性质对任何一种数列都适用此性质对任何一种数列都适用 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 求求最值的方法 最值的方法 n S I I 若 0 公差 d 0 则当时 则有最大值 且最大 1 a 1 0 0 k k a a n S k S 若0 则当时 则有最小值 且最小 1 a 1 0 0 k k a a n S k S IIII 求前项和的对称轴 再求出距离对称轴最近的正整数 n 2 n Spnqn k 当 时 为最值 是最大或最小 通过的开口来判断 nk k S n S 二 等比数列二 等比数列 1 等比数列的基本公式 等比数列的基本公式 通项公式 通项公式 从第 1 项开始为等比 1 1 n n aa q 1 a 从第 m 项开始为等差 n m nm aa q m a 前前项和公式 项和公式 n 1 1 1 1 n n aq Sq q 1 1 n Snaq 2 证明等比数列的法方 证明等比数列的法方 定义法 定义法 对任意的 n 都有 q0 为等比数列 1 0 nnn aqa a 1n n a q a n a 等比中项法 等比中项法 0 为等比数列 2 11nnn aaa 11nn aa n a 3 通项公式法 通项公式法 为等比数列 1 0 n n aaqa q 是不为的常数 n a 3 3 常用结论 常用结论 若数列 为等比数列 则数列 n a n b 1 n a n k aA 2 n a 21 n a nn a b n n a b k 为非零常数 均为等比数列 若 m n p q m n p q 则 N nm a aA pq aaA 特别的 当 n m 2k 时 得 nm a aA 2 k a 在等比数列中 每隔 k k 项取出一项 按原来的顺序排列 所得的数列仍为 n a N 等比数列 且公比为 例如 仍为公比的等比数列 1k q 1 a 4 a 7 a 10 a 3 q 若数列为等差数列 则记 n a 12kk Saaa 2122kkkkk SSaaa 3221223kkkkk SSaaa 则 仍成等比数列 且公差为 k S 2kk SS 32kk SS k q 4 三 求任意数列通项公式三 求任意数列通项公式的方法的方法 n a 1 累加法 累加法 若满足 an 1 an f n 利用累加法求 n a n a 12132431 nnn aaaaaaaaaa 例题 例题 若 且 求 1 1 a 1 2 nn aan n a 练习题 练习题 若数列满足 且 n a 1 1 20 n nn aa 1 0 a 5 2 累乘法 累乘法 若满足利用累乘法求 n a 1 nn af na n a 324 1 1231 n n n aaaa aa aaaa AAAAA 例题 例题 在数列 an 中 求 11 11 2 nn n aaa n n a 练习题 练习题 在数列 an 中 且 求 提示 1 1a 1nn ana n a1 2 3 nn 6 3 3 递推公式中既有递推公式中既有 又有 又有 用逐差法 用逐差法 n S n a 特别注意 该公式对一切数列都成立 1 1 n nn S a SS n 1 n2 7 4 4 若 若满足满足 则两边加 在提公因式 P 构 n a 1 nn apaqpq 1 q x p 造出一个等比数列 再出求 n a 例题 已知数列例题 已知数列 满足 且 求 n a 1 21 nn aa 1 1 a n a 习题习题 1 1 已知数列满足 且 求 n a 1 31 nn aa 1 1 a n a 习题习题 2 2 已知数列满足 且 求 n a 1 2a nn San n a 8 5 5 若 若满足满足 则两边同时除以 则两边同时除以 构造出一个等差数列 构造出一个等差数列 n a 1 n k nn apap 1 n p 再求出 再求出 n a 例题 已知满足 求 n a 1 1 a 1 1 22 n nn aa n a 解 既有 1 1 1 1 22 222 n nn nn nn aa aa 1 1 222 nn nn aa 所以 是首项为 公差的等差数列 2 n n a 1 1 22 a1 2 d 所以 11 1 2222 n n an n 1 22 2 nn n n an 习题 1 已知且 求 1 1 33 n nn aa 1 1 a n a 习题 2 已知且 求 1 1 23 2n nn aa 1 1a n a 9 六 待定系数法 六 待定系数法 若满足以下关系 n a 都可用待定系数法转变成一个等比数列来 1nn akaf n 温馨提示 温馨提示 提 对待定系数k f n 例题例题 1 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 23 56 n nn aaa n a 解 解 与原式对应得 1 11 52 5 235 nnn nnnn axaxaax1 x 1 1 1 1 5 52 5 2 5 n nn n nn n n a aa a 所以 是首项 公比的等比数列 5 n n a 1 1 51 a2 q 既有 11 5252 nnnn nn aa 例题例题 2 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 35 241 n nn aaa n a 解 1 11 23 2 322 nnn nnnn axyaxyaaxy 与原式对应得 5 2 xy 1 1 1 1 5 22 5 223 5 22 3 5 22 n nn n nn n n a aa a 所以 是首项为 公比的等比数列 5 22 n n a 1 1 5 2213 a3 q 既有 11 5 2213 313 35 22 nnnn nn aa 10 七 颠倒法 七 颠倒法 若满足 用颠倒法 n a 1 n n n C a a aC 1 1 111 nnn n nnnnnn C aaCaC a aCaC aC aC aCa 所以 所以 是以首项为 公差的等差数列 1 111 nn aaC 1 n a 1 1 a 1 d C 例题例题 1 已知 已知 且 求 1 2 2 n n n a a a 1 2a n a 例题 2 已知 且 求 11 33 nnnn aaaa 1 1a n a 11 八 倒数换元法 八 倒数换元法 若数列满足 则颠倒变成 n a 1 n n n A a a B aC 1 11 n nnn B aCCB aA aA aA 然后再用两边加 或者待定系数法既可求出 再颠倒就可得到 1 q p 1 n a n a 例题 若数列满足 且 求 n a 1 2 3 n n n a a a 1 1 a n a 解 两边加 1 得 1 1 21311 322 n n nnn a a aaa 1 1313 1 22 nn aa 1 1 1 1 1313 1 1 1 22 1 n nn n a aa a 所以 是首项为 公比 的等比数列 1 1 n a 1 1 12 a 3 2 q 既有 122 1 212 131322 12 2232 nnn n n nnn nn a aa 若用待定系数法 若用待定系数法 1 11 21311131 3222 n n nnnnn a axx aaaaa 与原式子对应得 然后的方 11 13 1313 11 2222 nnnn xxx aaaa 1 x 法同上 习题 习题 已知且 求 11 32 nnnn aaaa 1 1a n a 12 四 求前四 求前 n n 项和项和 S Sn n的方法的方法 1 错位相减求和 错位相减求和 主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前 n 项和 或者是等差与 等比的商的前 n 项和 是商的时候 适当转变一下就变成了乘积形式 既 设为等差数列 为等比数列 求 或的前 n 项和常用此方法 都转变 n a n b nn ab n n a b n n a b 为乘积形式 例题例题 1 1 已知数列 数列的前项和 求数列的2n n a n bn 2 2 n Snn nn ab 前项和n n T 例题例题 2 2 求数列 求数列的的前项和 31 2 n n n a nn ab n n S 13 习题 1 求 23 1 24 272 32 2n n Sn 习题 2 设数列 求的前 n 项和 1 21 3 n n n a n a n S 14 2 裂项相消求和 裂项相消求和 适用于的形式 变形为 1 n a nnk 11 11 n a nnkk nnk 例题 求数列的前 n 项和 1 1 n a n n n S 习题 1 求数列的前 n 项和 1 2 n a n n n S 习题 2 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 15 3 分组法求和 分组法求和 有些数列是和可以分成几部分分开求 在进行加减 例题 求的前和 321 n n an n n S 习题 1 已知是一个递增的等差数列且 前 n 项和为 n a 2415 45 14aaa