【步步高】2014届高三数学大一轮复习 专题三 三角函数与平面向量的综合应用教案 理 新人教A版

1 专题三专题三 三角函数与平面向量的综合应用三角函数与平面向量的综合应用 1 三角恒等变换 1 公式 同角三角函数基本关系式 诱导公式 和差公式 2 公式应用 注意公式的正用 逆用 变形使用的技巧 观察三角函数式中角之间的 联系 式子之间以及式子和公式间的联系 3 注意公式应用的条件 三角函数的符号 角的范围 2 三角函数的性质 1 研究三角函数的性质 一般要化为y Asin x 的形式 其特征 一角 一次 一函数 2 在讨论y Asin x 的图象和性质时 要重视两种思想的应用 整体思想和数 形结合思想 一般地 可设t x y Asin t 通过研究这两个函数的图象 性 质达到目的 3 解三角形 解三角形问题主要有两种题型 一是与三角函数结合起来考查 通过三角变换化简 然 后运用正 余弦定理求值 二是与平面向量结合 主要是数量积 判断三角形形状或结 合正 余弦定理求值 试题一般为中档题 客观题 解答题均有可能出现 4 平面向量 平面向量的线性运算 为证明两线平行提供了重要方法 平面向量数量积的运算解决了 两向量的夹角 垂直等问题 特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合 体现 了向量应用的广泛性 1 已知角 终边上一点P 4 3 则的值为 cos 2 sin cos 11 2 sin 9 2 答案 3 4 解析 tan cos 2 sin cos 11 2 sin 9 2 sin sin sin cos 2 根据三角函数的定义得 tan y x 3 4 所以 cos 2 sin cos 11 2 sin 9 2 3 4 2 已知f x sin x cos x 的一条对称轴为y轴 且 0 则 3 答案 6 解析 f x sin x cos x 3 2sin 由 k k Z Z 及 0 可得 x 3 3 2 6 3 如图所示的是函数f x Asin x B A 0 0 图象 0 2 的一部分 则f x 的解析式为 答案 f x 2sin 1 2 3x 6 解析 由于最大值和最小值之差等于 4 故A 2 B 1 由于 2 2sin 1 且 得 0 2 6 由图象知 2k k Z Z 2 得 2k k Z Z 又 2 2 3 2 0 1 2 3 函数f x 的解析式是f x 2sin 1 2 3x 6 4 2012 四川改编 如图 正方形ABCD的边长为 1 延长BA至E 使AE 1 连接EC ED 则 sin CED 答案 10 10 解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解 由题意知 在 Rt ADE中 AED 45 在 Rt BCE中 BE 2 BC 1 CE 则 sin CEB cos CEB 5 1 5 2 5 3 而 CED 45 CEB sin CED sin 45 CEB cos CEB sin CEB 2 2 2 2 2 5 1 5 10 10 方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解 由题意得ED EC 212 225 在 EDC中 由余弦定理得 cos CED CE2 DE2 DC2 2CE DE 3 10 10 又 0 CED sin CED 1 cos2 CED 1 3 10 10 2 10 10 5 如图 在梯形ABCD中 AD BC AD AB AD 1 BC 2 AB 3 P是BC上的一个动点 当 取得最小值时 tan DPA的 PD PA 值为 答案 12 35 解析 如图 以A为原点 建立平面直角坐标系xAy 则A 0 0 B 3 0 C 3 2 D 0 1 设 CPD BPA P 3 y 0 y 2 3 1 y 3 y PD PA y2 y 9 2 PD PA y 1 2 35 4 当y 时 取得最小值 此时P 1 2 PD PA 3 1 2 易知 DP AP 在 ABP中 tan 6 3 1 2 tan DPA tan 2tan tan2 1 12 35 4 题型一 三角恒等变换 例 1 设 sin 求的值 3 3 4 4 3 5 sin cos 2 1 tan 思维启迪 可以先将所求式子化简 寻求和已知条件的联系 解 方法一 由 3 3 4 得 0 7 25 由于 故 0 0 y 2 f x 的部分图象如图所示 P Q分别为该图象的最高点和最低点 点P的坐标为 1 A 1 求f x 的最小正周期及 的值 2 若点R的坐标为 1 0 PRQ 求A的值 2 3 思维启迪 三角函数图象的确定 可以利用图象的周期性 最值 已知点的坐标列方程 来解决 解 1 由题意得T 6 2 3 因为P 1 A 在y Asin x 的图象上 3 所以 sin 1 3 又因为 0 0 所以 RP2 RQ2 PQ2 2RP RQ A2 9 A2 9 4A2 2A 9 A2 1 2 A 3 探究提高 本题确定 的值时 一定要考虑 的范围 在三角形中利用余弦定理求A 是本题的难点 已知函数f x Asin x Bcos x A B 是常数 0 的最小正周 期为 2 并且当x 时 f x max 2 1 3 1 求f x 的解析式 2 在闭区间上是否存在f x 的对称轴 如果存在 求出其对称轴方程 如果 21 4 23 4 不存在 请说明理由 解 1 因为f x sin x 由它的最小正周期为 2 知 A2 B2 2 又因为当x 时 f x max 2 知 2k k Z Z 2 1 3 1 3 2 2k k Z Z 6 所以f x 2sin 2sin x 2k 6 x 6 故f x 的解析式为f x 2sin x 6 2 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时 该直线就是正弦曲线的对称 轴 令 x k k Z Z 解得x k 由 k 解得 k 6 2 1 3 21 4 1 3 23 4 59 12 65 12 又k Z Z 知k 5 由此可知在闭区间上存在f x 的对称轴 其方程为x 21 4 23 4 16 3 题型三 三角函数 平面向量 解三角形的综合应用 例 3 已知向量m m n n 3sin x 4 1 cos x 4 cos2 x 4 1 若m nm n 1 求 cos的值 2 3 x 2 记f x m nm n 在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 且满足 2a c cos B bcos C 求函数f A 的取值范围 思维启迪 1 由向量数量积的运算转化成三角函数式 化简求值 2 在 ABC中 求 7 出 A的范围 再求f A 的取值范围 解 1 m nm n sin cos cos2 3 x 4 x 4 x 4 sin sin 3 2 x 2 1 cos x 2 2 x 2 6 1 2 m nm n 1 sin x 2 6 1 2 cos 1 2sin2 x 3 x 2 6 1 2 cos cos 2 3 x x 3 1 2 2 2a c cos B bcos C 由正弦定理得 2sin A sin C cos B sin Bcos C 2sin Acos B sin Ccos B sin Bcos C 2sin Acos B sin B C A B C sin B C sin A 0 cos B 0 B B 0 A 1 2 3 2 3 sin 6 A 2 6 2 A 2 6 1 2 1 又 f x sin x 2 6 1 2 f A sin A 2 6 1 2 故函数f A 的取值范围是 1 3 2 探究提高 1 向量是一种解决问题的工具 是一个载体 通常是用向量的数量积运算 或性质转化成三角函数问题 2 三角形中的三角函数要结合正弦定理 余弦定理进行转化 注意角的范围对变形过 程的影响 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且 lg a lg b lg cos B lg cos A 0 1 判断 ABC的形状 2 设向量m m 2a b n n a 3b 且m m n n m m n n n n m m 14 求a b c的 值 解 1 因为 lg a lg b lg cos B lg cos A 0 8 所以 1 所以 sin 2A sin 2B且a b a b cos B cos A 因为A B 0 且A B 所以 2A 2B 即A B 且A B 2 所以 ABC是非等腰的直角三角形 2 由m m n n 得m nm n 0 所以 2a2 3b2 0 由 m m n n n n m m 14 得n n2 m m2 14 所以a2 9b2 4a2 b2 14 即 3a2 8b2 14 联立 解得a b 2 所以c 6a2 b210 故所求的a b c的值分别为 2 610 高考中的平面向量 三角函数客观题 典例 1 5 分 2012 山东 函数y 2sin 0 x 9 的最大值与最小值之和为 x 6 3 A 2 B 0 C 1 D 1 33 考点分析 本题考查三角函数的性质 考查整体思想和数形结合思想 解题策略 根据整体思想 找出角x 的范围 再根据图象求函数的最值 6 3 解析 由题意 3 x 6 3 7 6 画出y 2sin x的图象如图 知 当x 时 ymin 6 3 33 当x 时 ymax 2 6 3 2 故ymax ymin 2 3 答案 A 解后反思 1 函数y Asin x 可看作由函数y Asin t和t x 构成的 复合函数 2 复合函数的值域即为外层函数的值域 可以通过图象观察得到 典例 2 5 分 2012 天津 在 ABC中 A 90 AB 1 AC 2 设点P Q满足 AP 1 R R 若 2 则 等于 AB AQ AC BQ CP 9 A B C D 2 1 3 2 3 4 3 考点分析 本题考查向量的线性运算 考查向量的数量积和运算求解能力 解题策略 根据平面向量基本定理 将题中的向量 分别用向量 表示出来 BQ CP AB AC 再进行数量积计算 解析 1 BQ AQ AB AC AB CP AP AC AB AC 1 2 2 4 1 3 4 2 即 BQ CP AC AB 2 3 答案 B 解后反思 1 利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的 基础 2 本题在求解过程中利用了方程思想 方法与技巧 1 研究三角函数的图象 性质一定要化成y Asin x B的形式 然后利用数形结 合思想求解 2 三角函数与向量的综合问题 一般情况下向量知识作为一个载体 可以先通过计算转化 为三角函数问题再进行求解 失误与防范 1 三角函数式的变换要熟练公式 注意角的范围 2 向量计算时要注意向量夹角的大小 不要混同于直线的夹角或三角形的内角 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2012 大纲全国 ABC中 AB边的高为CD 若 a a b b a a b b 0 a a 1 b b 2 则等于 CB CA AD 10 A a a b b B a a b b 1 3 1 3 2 3 2 3 C a a b b D a a b b 3 5 3 5 4 5 4 5 答案 D 解析 利用向量的三角形法则求解 如图 a a b b 0 a a b b ACB 90 AB AC2 BC25 又CD AB AC2 AD AB AD a a b b a a b b 4 5 5 AD 4 5AB 4 5 4 5 4 5 2 已知向量a a 2 sin x b b cos2x 2cos x 则函数f x a ba b的最小正周期是 A B C 2 D 4 2 答案 B 解析 f x 2cos2x 2sin xcos x 1 cos 2x sin 2x 1 sin T 2 2x 4 2 2 3 已知a b c为 ABC的三个内角A B C的对边 向量m m 1 n n cos 3 A sin A 若m m n n 且acos B bcos A csin C 则角A B的大小分别为 A B C D 6 3 2 3 6 3 6 3 3 答案 C 解析 由m m n n得m nm n 0 即cos A sin A 0 3 即 2cos 0 A 6 A b B 6 C A B 2 6 在直角坐标系xOy中 已知点A 1 2 B 2cos x 2cos 2x C cos x 1 其中 x 0 若 则x的值为 AB OC 答案 或 2 3 解析 因为 2cos x 1 2cos 2x 2 cos x 1 AB OC 所以 2cos x 1 cos x 2cos 2x 2 1 AB OC 2cos2x cos x 0 可得 cos x 0 或 cos x 所以x的值为或 1 2 2 3 7 已知函数f x sin x cos x 且f x 2f x f x 是f x 的导函数 则 12 1 sin2x cos2x sin 2x 答案 19 5 解析 由题意知 f x cos x sin x 由f x 2f x 得 cos x sin x 2 sin x cos x 得 tan x 3 所以 1 sin2x cos2x sin 2x 1 sin2x cos2x 2sin xcos x 2sin2x cos2x cos2x 2sin xcos x 2tan2x 1 1 2tan x 19 5 三 解答题 共 22 分 8 10 分 已知A B C的坐标分别为A 3 0 B 0 3 C cos sin 2 3 2 1 若 求角 的值 AC BC 2 若 1 求的值 AC BC 2sin2 sin 2 1 tan 解 1 cos 3 sin cos sin 3 AC BC 2 cos 3 2 sin2 10 6cos AC 2 cos2 sin 3 2 10 6sin BC 由 可得 2 2 AC BC AC BC 即 10 6cos 10 6sin 得 sin cos 又 2 3 2 5 4 2 由 1 AC BC 得 cos 3 cos sin sin 3 1 sin cos 2 3 又 2sin cos 2sin2 sin 2 1 tan 2sin2 2sin cos 1 sin cos 由 式两边分别平方 得 1 2sin cos 4 9 2sin cos 5 9 2sin2 sin 2 1 tan 5 9 13 9 12 分 设锐角三角形ABC的内角A B C的对边分别为a b c a 2bsin A 1 求B的大小 2 求 cos A sin C的取值范围 解 1 由a 2bsin A 根据正弦定理得 sin A 2sin Bsin A 所以 sin B 由 ABC为锐角三角形可得B 1 2 6 2 由 1 可知A C B 故C A 5 6 5 6 故 cos A sin C cos A sin 5 6 A cos A sin cos A cos A sin A 6 A 1 2 3 2 cos A sin A 3 2 3 23 3 2 cos A 1 2sin A sin 3 A 3 由 ABC为锐角三角形可得 0 C 2 故 0 A 解得 A 5 6 2 3 5 6 又 0 A 所以 A 2 3 2 故 A 所以 sin 2 3 3 5 6 1 2 A 3 3 2 所以 sin 3 23 A 3 3 2 即 cos A sin C的取值范围为 3 2 3 2 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 2012 江西 已知f x sin2 若a f lg 5 b f 则 x 4 lg 1 5 A a b 0 B a b 0 C a b 1 D a b 1 14 答案 C 解析 将函数整理 利用奇函数性质求解 由题意知f x sin2 x 4 令g x sin 2x 1 cos 2x 2 2 1 sin 2x 2 1 2 则g x 为奇函数 且f x g x 1 2 a f lg 5 g lg 5 b f g 1 2 lg 1 5 lg 1 5 1 2 则a b g lg 5 g 1 g lg 5 g lg 5 1 1 故a b 1 lg 1 5 2 已知a a b b 1 则 a a tb b t R R 的最小值等于 1 2 3 2 3 A 1 B C D 3 2 1 2 2 2 答案 B 解析 方法一 a a tb b 1 2 t 3 2 3t a a tb b 2 2 2 1 2 t 3 2 3t 4t2 2t 1 4 2 t