工程数学练习册答案

1 工程数学工程数学 练习册参考答案练习册参考答案 一 一 行列式的概念行列式的概念 1 1 2 3 141 32 452 2 1 2 偶排列 2 19 奇排列 3 偶排列 1 nn 4 为偶数时 偶排列 为奇数时 奇排列 2 nnn 3 1 2 3 8 ki6 3 ki 4 2 5 ji 5 1 2 3 243 1 1 n n 二 行列式的性质 二 行列式的性质 1 A B C B 2 1 2 3 4 0297 1 1 nnn xy 120 三 行列式按行展开 克拉默法则 三 行列式按行展开 克拉默法则 1 A 2 D 3 11 7A 12 12A 13 3A 21 6A 22 4A 23 1A 31 5A 32 5A 33 5A 4 1 2 32 452 1 adcdababcd 5 32 或 四 矩阵的概念及运算 四 矩阵的概念及运算 1 ABE 2 C 3 D 4 2 2 14 5 ca cbba cca X 232 121 22142 6 1 2 3 963 642 321 3717 129 1111 2 333323223 2 222 313113212112 2 111 xaxxaaxa xxaaxxaaxa 2 3 7 00 00 25229 103413 152321 523 2 EAAAf 五 五 逆矩阵和分块矩阵逆矩阵和分块矩阵 1 1 2 3 4 11 AB 1 1 A K T A 11 TT BA 2 D 3 C 4 可交换 或 可逆BA BAAB A 5 1 2 111 3 231 1 2 5 2 3 1 A A A 35 4 35 1 35 11 5 1 5 1 5 1 35 8 35 2 35 13 1 1 A A A 6 EEAAEEAAEAA 2 3 1 3 2 032 2 所以可逆 且A 2 3 1 1 EAA EEAEAEEAEAEAA 2 5 1 4 5 2 4 032 2 所以可逆 且EA4 2 5 1 4 1 EAEA 7 166400 01600 006250 000625 4 A 六 矩阵的初等变换 初等矩阵 六 矩阵的初等变换 初等矩阵 1 1 2 3 1 2 1 2 0 1 3 1 0 0 13 1 1 1 2 1 0 0 3 0 4 1 0 0 0 4 0 1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 注意 化阶梯形的答案不唯一 3 1 1 4 3 1 5 3 1 6 4 A 4 1 2 1 2 0 X 1 8 1 11 2 6 8 2 X 七 矩阵的秩 七 矩阵的秩 3 1 1 2 3R 4R 2 2R A 1 1 4 3 1 3 当且时 秩为 满秩 当且 2000 0100 2110 3021 b a A1a 2b 41a 或且时 秩为 3 当且时 秩为 2 2b 1a 2b 1a 2b 4 当时 当时 2 1 300 33220 321 kk kk k A1 k1 Ar2 k 当时 2 Ar2 1 kk且3 Ar 八 线性方程组的解 八 线性方程组的解 1 B 2 C 3 1 方程组的全部解为 01000 00210 00101 A 0 2 4 3 2 1 x Cx Cx Cx RC 2 方程组的全部解为 00000 37310 410701 A 24 13 212 211 733 1074 Cx Cx CCx CCx RCC 21 4 当时 方程组无解 当 2 2 3 00 1210 0301 aaa a a A3 a 时 方程组有唯一解 当时 方程组有无穷多解 其全部解为23 aa且2 a 为任意常数 Cx Cx Cx 3 2 1 41 5 C 5 当时 方程组无解 当时 方程组 3500 1110 1201 ba A35 ba且5 a 4 有唯一解 当时 方程组有无穷多解 其全部解为 35 ba且 Cx Cx Cx 3 2 1 1 21 为任意常数 C 九 向量及向量的线性相关性 九 向量及向量的线性相关性 1 2 T 9 10 10 0 3 1 ba 3 1 向量能由向量组 0100 5010 7001 321 A3 nARAR 唯一线性表示 A 21 57 2 向量不能由 00000 50000 20110 22111 4321 A ARAR 向量组线性表示 A 4 1 向量组线性相关 000 110 121 A32 SAR 2 向量组线性相关 000 000 110 121 A32 SAR 5 设有 使得 321 kkk 00 332321321332211 kkkkkkkkk 因为向量组线性无关 所以 而 所以方程组 321 0 0 0 3 32 321 k kk kkk 0 100 110 111 只有零解 即 所以 向量组线性无关0 321 kkk 321 十 向量组的秩 十 向量组的秩 5 1 1 最大无关组为 且 3 2 100 3 1 010 3 1 001 A 321 3214 3 2 3 1 3 1 2 最大无关组为 且 0000 0000 11 6 11 9 10 11 7 11 5 01 A 21 213 11 9 11 5 214 11 6 11 7 2 因为向量组线性相关 所以向量组线性相关 321 4321 而向量组线性无关 所以向量组是向量组的一个最大 432 432 4321 无关组 所以向量组的秩为 3 4321 3 当时 秩为 4 最大无关组为 03000 0000 12110 11101 k k A30 kk且 当时 秩为 3 最大无关组为 当时 秩为 3 最 4321 0 k 421 3 k 大无关组为 321 十一 线性方程组解的结构 十一 线性方程组解的结构 1 D 2 D 3 B 4 基础解系 通解 是任意常数 01000 00 2 3 10 00 2 1 01 A 1 2 3 2 1 0 Xc c 6 5 基础解系 全部解为 13100 48010 1119001 A 1 3 8 19 是任意常数 1 3 8 19 0 11 4 1 cXc 6 当时 唯一解 当且时 无 01000 10100 12210 01101 a ba A1a 1a 1b 解 当且时 无穷多解 当有无穷多解时 其通解为1a 1b 为任意常数 12 110 221 100 010 Xcc 12 c c 十二 特征值与特征向量 十二 特征值与特征向量 1 1 矩阵的特征值为 对应于特 2 1 1 AE2 1 321 征值的所有特征向量为 对应于特1 21 为任意常数 0 1 2 1 1111 CCPC 征值的所有特征向量为 2 3 为任意常数 0 1 0 0 2222 CCPC 2 矩阵的特征值为 对应于特征值 3 1 AE1 321 的所有特征向量为 1 321 为任意常数 0 1 1 1 1111 CCPC 3 矩阵的特征值为 对应于特征值 3 1 AE3 1 0 321 7 的所有特征向量为 对应于特征值0 1 为任意常数 0 1 2 0 1111 CCPC 的所有特征向量为 对应于特征值1 2 为任意常数 0 1 1 2 2222 CCPC 的所有特征向量为 3 3 为任意常数 0 1 1 0 3333 CCPC 2 1 的特征值为 1 1 8 的特征值为 1 1 3 A 1 A 2 1 2 3 2 1 1 3 1 1 2 ffff 所以的特征值为 3 1 3EAAAf 2 3 9313 2 EAA 十三 相似矩阵 实对称矩阵的相似矩阵 十三 相似矩阵 实对称矩阵的相似矩阵 1 相似于对角阵1 2 321 1 1 0 1 0 1 0 1 0 321 PPPA 1 2 2 2 102 6416 215 214 113 215 0 1 1 211 122 101 1 PPA 十五 线性代数总复习 十五 线性代数总复习 一 1 C 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 B 9 C 10 B 二 1 4 3 2 1 2 0 2 3 可交换 或 可逆BA BAAB A 4 5 6 22 22 22 BABBAA BABBAA BABBAA ABAB 22 22 22 22 2 2 BA BA BABA BA 1 r 6 5 6 19 7 或者 8 11 4 3 9 10 1 321 421 3214 8 27 8 三 1 9 2 5 306 204 102 321 000 642 5 TTTT ABBABAAB 3 255 854 223 44 2 EAAAf 4 1716100 3010 012001 100145 010243 001121 2 1 2 13 EA 验证 1716 3 012 2 1 2 13 1 AEAA 1 5 验证 3 0 5 3100 0010 5001 0523 1312 2111 1B AXBABAX 6 当时 秩为 4 当 2000 0100 2110 3021 b a A21 ba且 时 秩为 3 当时 秩为 2 2120 baba且或且21 ba且 7 相似于对角阵1 2 321 1 0 1 1 0 0 1 3 4 1 2 4 1 1 PPPA 1 2 2 8 当 即时 向量 2 3 00 1 3 28 0 023 321 a a A 3 AR4 2 3 aa或 组线性相关 当时 向量组 321 43 4321 SR Ra 线性相关 4321 9 9 基础解系为 通解为 01000 00210 00101 A 0 1 2 1 RCCCX 0 1 2 1 10 方程组的特解为 导出组的一个基础解系为 1100 0010 1001 2 1 2 3 2 3 A 0 1 0 1 非齐通解为 1 2 1 2 3 2 3 RCCCX 10 1 0 1 2 1 2 3 2 3 11 当时 方程组无解 当时 01000 0100 12110 01201 a ba A01 ba且1 a 方程组有唯一解 当时 方程组有无穷多解 此时01 ba且 方程组的特解为 导出组的一个基础解系为 00000 00000 12110 01201 A 0 0 1 0 非齐通解为 0 1 1 2 1 1 0 2 1 2 RCCCCCCX 21212211 1 0 2 1 0 1 1 2 0 0 1 0 10 13 066 630 643 9 1 212 122 221 9 1 1 0 1 212 122 221 1 PPA 15 最大无关组为 且 000 110 101 321 A 21 213 四 1 EEAAEEAAEAA 2 2 1 2 02 2 所以可逆 且A 2 1 1 EAA EEAEAEEAEAEAA 3 4 1 2 4 3 2 02 2 所以可逆 且EA2 3 4 1 2 1 EAEA 2 设有 使得 321 kkk 00 33222113113332221