数列问题解题策略12

1 数学问题简单化数学问题简单化 谈高中数学备考谈高中数学备考 数列数列 的解题策略的解题策略 江西省大余中学 钟卫平 邮编 341500 在实践教学中 发现不少同学沉浸在题海不能自拨 总以为问题有自己不知的知识或 方法才能求解 倒致在数学问题面前不自信 萎缩不前 为更好的解决这一现象 现以数 列为例 阐述解决问题的一种观点 波利亚在 数学的发现 序言中说 掌握数学就是意味着善于解题 纵观近几年 高考 主要考查三方面的内容 等差等比问题 通项公式问题以及求和问题 这三类问题 的解决都有其固定的规律 若能掌握其内在的数学本质 则数列问题就简单化了 现归纳 如下 一 解数列问题首先是解等差等比数的问题 一 解数列问题首先是解等差等比数的问题 等差等比问题的解题策略是利用公式将 问题转化为方程 组 或性质求解 其中通项公式与求和公式是核心 它们的应用是解决 问题的关键 如下列 例例 1 1 由正数组成的等差数列的前 n 项和分别为 且 nn ba nn TS 2013 2013 13 12 T S n n b a n n 则 A B C D 1 3020 2012 2013 2012 3020 2013 点拨 由等差列性质有 取 则有 13 12 2 2 12 12 n n T S b a b a n n n n n n 1007 n 故选 C 本题的难点在于条件与结论如何有效的联系 3020 2013 110073 110072 2013 2013 T S n n b a 2013 2013 T S 起来 忽视了性质的转化功能 12 2 2 12 121 n S aaa n nn 例例 2 2 设公比为q q 0 的等比数列的前n项和为 若 n a n S S2 3a2 2 S4 3a4 2 则q 点拨 将条件等式转化为首项与公比的方程组求解 可解得Error Error 故应填 本题的易错点在 3 2 于忽视公比的分类 必须对q 1 加以讨论 否则易遗漏 由上两例 可知准确熟练把握等差等比 数列问题的公式 性质是解决这类问题的关键 它们的主要公式 性质如下 一 等差数列 等差数列 等差数列中 公式 n a n a 1 1and nm aanm d 性质 正整数 m n p q 满足 m n p q 则 n S 1 2 n n aa 2 n SAnBn 是等差数 qpmn aaaa n S 2 n SAnBn bknan kkkkk sssss 232 列 2 二 二 等比数列 等比数列 等比数列 n a 公式 当时 n a 1 1 n a q n m m aq 1q n S 当时 性质 若正整数 m n p q 满足 1 1 1 n aq q 1 1 n aa q q 1q n S 1 na m n p q 则 其中 如果 qpmn aaaa n n SA qB 0AB 中各项都不为零 则 为等比数列 232 mmmmm SSSSS 232 mmmmm SSSSS 二 解数列问题其次是求数列的通项公式 二 解数列问题其次是求数列的通项公式 由递推关系求数列的通项 核心是把所给递推 式变形构造成等差或等比数列来解决 应该熟练掌握这些常见的递推关系 以利于正确 快速地解决相关问题 如下例 例例 3 3 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 aa 1 3n nn aS n N 1 设3n nn bS 求数列 n b的通项公式 2 若 1nn aa n N 求a的取值范围 解 1 依题意 11 3n nnnn SSaS 即 1 23n nn SS 由此得 1 1 32 3 nn nn SS 因此 1 3 3 2 nn nn bSa n N 2 由上知 1 3 3 2 nn n Sa n N 于是 当2n 时 1nnn aSS 12 2 3 3 2 nn a 12 1 4 3 3 2 nn nn aaa 3 2 3 122 22 a nn 当2n 时 9a 又 211 3aaa 03 2 3 12 2 1 aaa n nn 综上 所求的a的取值范围是 9 点拨 递推式 1 23n nn SS 的处理是解决本题的关键 这种递推式的处理有两种方式 第一种是依据问题的提示 将 1 23n nn SS 转化成的形式 进 3 3 1 1 n n n n SfS 一步发现数列 n b的特点求解 第二种处理方式是利用递推式的解题 1 nfpaa nn 方法 两边同时除以得 然后使用叠加法求解 1 n p 11 1 nn n n n p nf p a p a 3 例例 4 4 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表 记表中的第 n a 一列数 构成的数列为 为数列 7421 aaaa n b n Sab 1 11 n b 的前n项和 且满足 2 1 2 2 n SSb b nnn n 1 证明数列 成等差数列 并求数列的通项公式 n S 1 n b 2 上表中 若从第三行起 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 且公 比为同一个正数 当时 求上表中第k k 3 行所有项的和 91 4 81 a 证明 1 由已知 当n 2 时 所以1 2 2 nnn n SSb b 1 2 2 1 1 nnnn nn SSSS SS 即所以又所以数列 是首 1 2 1 1 nn nn SS SS 2 111 1 nn SS 1 111 abS n S 1 项为 1 公差为的等差数列 即 2 1 1 2 n Sn 所以 当n 2 时时 1 22 1 2 1 nnnn SSb nnn 因此 2 1 2 1 1 n nn n bn 2 解 设上表中从第三行起 每行的公比都为q 且q 0 因为所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 an 的前 78 78 2 1312 1221 项 故a81在表中第 13 行的第三列 因此又 91 4 2 1381 qba 1413 2 13 b 所以q 2 记表中第k k 3 行所有项的和为S 则 3 21 1 2 21 21 1 2 1 1 k kkkkq qb S k kk k 点拨 本题的关键点在于 利用向目标转化 其中1 2 2 nnn n SSb b d SS nn 11 1 替代 同时 中关键点在于确定在表格中具体位置 本题的难点在于递 1 nnn SSb 用 81 a 推式形式复杂 把握不了数学问题的实质 其实问题的核心就是递推式的处理与列方程 由上可知 理解掌握常见求通项公式的方法 是解决本数问题的关键所在 现归纳几 10987 654 32 1 aaaa aaa aa a 4 种常见的递推式求通项公式的方法如下 叠加法 方法 叠乘法 其 1 nfaa nn nn anfa 1 qpaa nn 1 中 p q 是常数 且 参数法 递推关系由与的关系给出 运用0 p n a n S 互化解决 其中 p q r 是不为 0 的常数 2 1 1 1 nSS nS a nn n qpa ra a n n n 1 倒数法 构造法 其中 p q 为常数 且满 1 nfpaa nn nnn qapaa 12 足 待定系数法 04 2 qp 三 解数列问题最后一种题型是求数列的前三 解数列问题最后一种题型是求数列的前 n n 项和 项和 数列的前 n 项和是数列另一核心 要素 而数列前 n 项和的求法 从高考要求来看 仅局限于少数几种形式求和 理解掌握 了这几种常见求和方法 那么应对高考中的求和问题就易如反掌 如下例 例例 5 5 在数列 n a中 11 11 1 1 2 nn n n aaa n 1 设 n n a b n 求数列 n b的通项公式 2 求数列 n a的前n项和 n S 解 1 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的 通项公式 1 1 2 2 n n b nN 2 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 11 2 2 nn k kk k k 而 1 2 1 n k kn n 又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 数列求和 是近些年来高考中必考内容 求和的方式无非是以下几类 等差等比数列 用公式法 折项相消法 错位相减法 分组求和法 熟练掌握这几种求和方法 灵 活应用 面对高考 数列中的求和问题就不是难点了 面对一个数学问题 我们首先审题 进行模式识别 如果有现成的模式 则直接给出 解答 如果