2006年江西省南昌市高中数学竞赛试卷

20062006 年江西省南昌市高中数学竞赛试卷年江西省南昌市高中数学竞赛试卷 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 i 高一 设集合 若 则中元素个数 22 8 29 AaaNBbbN ABP P 为 C 0 1 2 至少 3 个ABCD ii 高二 三个互不重合的平面 能把空间分成部分 则的所有可能的值是 D nn 4 6 8 4 6 7 4 5 7 8 4 6 7 8ABCD 2 i 高一 若三角形的三条高线长分别为 12 15 20 则此三角形的形状为 B 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 形状不确定ABCD ii 高二 抛物线顶点在原点 对称轴为 x 轴 焦点在直线 3x 4y 12 上 则抛物线方程为 D A 2 12yx B 2 12yx C 2 16yx D 2 16yx 3 i 高一 设 记 若则 B x x xf 1 1 1 fxf x xffxf nn 1 xf 2006 AxB x 1 C x x 1 1 D 1 1 x x ii 高二 四棱锥的底面是单位正方形 按反时针方向排列 侧PABCD ABCD A B C D 棱垂直于底面 且 记 则 C PBPB3APD sin A 2 2 B 3 3 C 5 5 D 6 6 4 若 则以下诸式中错误的是 B sintana coscotb Asin 1 1 b ab Bcos 1 1 a ab Ctancot 1 1 21 1 2 ba abba Dtancot 1 1 2 ba baba 5 的末位数字是 D 2006 1003 1 3 7 9ABCD 6 设 且 则的最小值是 C a b cR 108abbcca b ca a bc c ab 6 12 18 36ABCD 二 填空题 每小题 9 分 共 54 分 7 i 高一 设 1 2 100 是的子集 且中至少含有一个立方数 则这种子集MAMA 的个数是 A 10096 22 ii 高二 甲 乙两人进行乒乓球单打决赛 采用五局三胜制 即先胜三局者获冠军 对于每局 比赛 甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 则爆出冷门 乙获冠军 的概率为 3 2 3 117 81 8 i 高一 等腰直角三角形的直角顶点对应的向量为 重心对应的向量为A 1 0AG 则三角形另二个顶点 对应的向量为 2 0GBC 53 22 ii 高二 棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 则的最大值为 ss 1 2 9 i 高一 已知 则 sincos 5 2 2 tancot 8 6 23 ii 高二 函数 的最小值是 x xf 2 sin 1 x 2 cos 2 2 0 x32 2 10 若曲线与直线恰有三个公共点 则的值为 无解 2 2 yx 3yxk k 11 数列的各项为正数 其前 n 项和满足 则 n a n S 1 2 1 n nn a aS n a1nn 12 在一次晚会上 9 位舞星共上演个 三人舞 节目 若在这些节目中 任二人都曾合作过一n 次 且仅合作一次 则 n12 三 解答题 13 20 分 i 高一 将等差数列 中所有能被 3 或 5 整除的数删去 n a 41 n annN 后 剩下的数自小到大排成一个数列 求的值 n b 2006 b 解 由于 故若是 3 或 5 的倍数 当且仅当是 3 或 5 的倍数 60 15 nn aa n a 15 n a 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段 0 0 60 60 120 120 180 注 意第一个区间段中含有 的项 15 个 即 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59 其中属 n a 于 的项 8 个 为 于 n b7 1 b11 2 b19 3 b23 4 b31 5 b43 6 b47 7 b59 8 b 是每个区间段中恰有 15 个 的项 8 个 的项 且有 k N 1 r 8 n a n bkbb rrk 60 8 由于 2006 8 250 6 而 所以 43 6 b15043432506025060 62006 bb ii 高二 给定圆 P 及抛物线 S 过圆心 22 2xyx 2 4yx 作直线 此直线与上述两曲线的四个交点 自上而下顺次记为Pl 如果线段的长按此顺序构成一个等差数列 A B C D AB BC CD 求直线 l 的方程 解 圆的方程为 则其直径长 圆心P 2 2 11xy 2BC 为 设 l 的方程为 即 代入抛物线方程得 1 0P1kyx 1xky 2 44yky 设 1122 A x yD xy 有 则 4 4 21 21 yy kyy 21 2 21 2 21 4 yyyyyy 故 4 2 2 2 12 21 2 21 2 21 2 yy yyxxyyAD 因此 222212 21 1 16 4 1 k yy yy 1 4 2 kAD 据等差 所以 即 则BCADCDABBC 263 BCAD6 1 4 2 k 2 2 k l 方程为或 1 2 2 yx1 2 2 yx 14 20 分 如图 四边形内接于圆 是的ABCDPAB 中点 是线段和PEAD PFBC PGCD MPG 的交点 求证 EFMEMF 证 作 为垂足 1 AFBC 1 BEAD 11 E F x y o A B C D P K M F1 E1 P C A B D E F G 则 设 PG k 因共圆 11 1 2 PEABPF 11 PEPF 11 E F 11 ABFE 11 CFEAC 故 是的中点 因 为等腰三角形 11 E FCD PK 11 E F K 11 E FP 11 E F PEKF 为平行四边形 因 P E K F 为四边形各边中点 对角线互相平分 11 ABFE MEMF 15 20 分 若正整数满足 证明 存在 使以下三式 m n k 2 1mnk a b c dN 同时成立 2222 mab ncdkacbd 证 不妨设 对归纳 时 由于 则 此时有mn k1k 2mn 1 2mn 结论成立 设当时结论成立 当时 由 2222 01 11mn 0 1 1 1k 2krr kr 2 1mnr 1 则 故可令 222 11 1 11 rrrr nrmr nrr nrs mrts tN 式成为 即 两边同加得 1 2 1 rtrsr 21rststr 2 t 因为故 2 1rtstt 30 rtm 0 st 0 sttr 由归纳假设知 对于 存在 使 t 1111 a b c dN 22 11 rtab 22 11 stcd 1 1