高考-不等式专题的三大考点

1 不等式专题的几个常考点不等式专题的几个常考点 考点一 用均值不等式求最值的类型及方法 一 几个重要的均值不等式一 几个重要的均值不等式 当且仅当 a b 时 号成立 2 2 22 22 Rba ba ababba 当且仅当 a b 时 号成立 2 2 2 Rba ba ababba 当且仅当 a b c 时 号成立 3 3 333 333 Rcba cba abcabccba 当且仅当 a b c 时 号成立 3 3 3 3 Rcba cba abcabccba 注 注 注意运用均值不等式求最值时的条件 一 正 二 定 三 等 熟悉一个重要的不等式链 ba 11 2 2 ab ab 2 22 ba 二 函数二 函数图象及性质图象及性质 0 b f xaxab x 1 函数图象如图 0 ba x b axxf 2 函数性质 0 ba x b axxf 值域 2 2 abab 单调递增区间 单调递减区间 b a b a 0 b a 0 b a 三 用均值不等式求最值的常见类型三 用均值不等式求最值的常见类型 类型类型 求几个正数和的最小值 求几个正数和的最小值 例例 1 求函数的最小值 2 1 1 2 1 yxx x 注意注意 利用均值不等式求几个正数和的最小值时 关键在于构造条件 使其积为常数 通常要通过添加 常数 拆项 常常是拆底次的式子 等方式进行构造 类型类型 求几个正数积的最大值 求几个正数积的最大值 例例 2 求下列函数的最大值 x a b ab2 ab2 a b o y 2 2 3 32 0 2 yxxx 注意注意 利用均值不等式求几个正数积的最大值 关键在于构造条件 使其和为常数 通常要通过乘以或 除以常数 拆因式 常常是拆高次的式子 平方等方式进行构造 类型类型 用均值不等式求最值等号不成立 用均值不等式求最值等号不成立 例例 3 若 x y 求的最小值 R 4 f xx x 10 x 注意注意 求解此类问题 要注意灵活选取方法 一般利用函数图象即可 0 b f xaxab x 类型类型 条件最值问题 条件最值问题 例例 4 已知正数 x y 满足 求的最小值 81 1 xy 2xy 注意注意 此类问题是学生求解易错得一类题目 想方设法凑成两个倒数的和的形式 类型类型 利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题 利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题 例例 5 已知正数满足 试求 的范围 xy 3xyxy xyxy 注意注意 一定要注意 xy x y x y x 方 y 方 之间的关系 综上所述 应用均值不等式求最值要注意 综上所述 应用均值不等式求最值要注意 一要正 各项或各因式必须为正数 二可定 必须满足 和为定值 或 积为定值 要凑出 和为定值 或 积为定值 的式子结构 如果找不 出 定值 的条件用这个定理 求最值就会出错 三能等 要保证等号确能成立 如果等号不能成立 那么求出的仍不是最值 考点二 一元二次不等是恒成立问题 基本的题型有 1 一元二次不等式在 R 上恒成立 2 一元二次不等式在 a b 恒成立 3 一元二次不等式在 a 恒成立 一 主元变更转化法 给定一次函数 y f x ax b a 0 若 y f x 在 m n 内恒有 f x 0 则根据函数的图象 直线 可 得上述结论等价于 或 亦可合并定成 0 0 mf a 0 0 nf a 0 0 nf mf 同理 若在 m n 内恒有 f x 2p x 恒成立的 x 的取值范围 二 利用判别式求解 把不等式转化为一元二次不等式 利用在 R 上恒成立0 2 cbxax 的充要条件是 可以求 在实数集 R 上恒成立 这一类问题 0 0a 例 2 不等式对一切实数均成立 求实数的取值范围 1 364 22 2 2 xx mmxx xm 三 分离变量 巧妙求解 若在等式或不等式中出现两个变量 其中一个变量的范围已知 另一个变量的范围为所求 且容易通 过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 例3 已知当 xR 时 不等式 a cos2x 5 4sinx 恒成立 求实数 a 的取值范围 45 a 分析 在不等式中含有两个变量 a 及 x 其中 x 的范围已知 xR 另一变量 a 的范围即为所求 故可考虑将 a 及 x 分离 例 4 对于 求使不等式恒成立的的取值范围 11 a 12 2 1 2 1 2 axaxx x 四 数形结合求解 若把等式或不等式进行合理的变形后 能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象 则可以通 过画图直接判断得出结果 尤其对于选择题 填空题这种方法更显方便 快捷 例 5 当时 不等式恒成立 求实数的取值范围 0 x0 2 3 2 1 2 22 aaaxxa x y o 1 2 y1 x 1 2 y2 logax 4 考点三 简单的线性规划 1 二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 直线把平面内不在直线上的点分成两部分 对于同一侧所有点的坐标代入0 CByAxl Ax By C 中所得的值的符号都相同 异侧所有点的坐标代入 Ax By C 所得的值的符号都相反 2 对于直线Ax By C 0 当 B 0 时 可化为 y kx b 的形式 对于二元一次不等式 l 表示的平面区域在直线 y kx b 的上方 包括直线 y kx b 对于二元一次不等式bkxy 表示的平面区域在直线 y kx b 的下方 包括直线 y kx b bkxy 注意 二元一次不等式与二元一次不等式所表示的 0 0 或CByAx 0 0 CByAx 平面区域不同 前者不包括直线 Ax By C 0 后者包括直线 Ax By C 0 2 线性规划 我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题 解决这类问题的基本步骤 是 1 确定好线性约束条件 准确画出可行域 2 对目标函数 z ax by 若 b 0 则取得最大值 或最小值 时 z 也取得最大值 或最小 b z 值 若 b 0 则反之 3 一般地 可行域的边缘点有可能是最值点 有些问题可直接代入边缘点找最值 4 注意实际问题中的特殊要求 题型一 二元一次不等式 组 表示的平面区域题型一 二元一次不等式 组 表示的平面区域 例例 1 1 不等式组表示的平面区域是 20 1 20 2 yx xy A B C D 例例 2 如图 若不等式组所表示的平面区域 43 43 0 yx yx x 被直线分为面积相等的两部分 则 3 4 kxy k 题型二 求目标函数的最值及线性规划知识的实际应用题型二 求目标函数的最值及线性规划知识的实际应用 5 例例 3 设变量 x y 满足不等式组 1 2553 34 x yx yx 则的最大值是 最小值是 yxz 2 例例4 已知不等式组 求下列目标函数的最值或取 052 04 02 yx yx yx 值范围 1 求 z x 2y 4 的最大值 2 求的最小值 2510z 22 yyx 3 求的取值范围 1 12 x y z 例例 5 实际应用题 制订投资计划时 不仅要考虑可能获得的盈利 而