《探索勾股定理》试题精练

中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 1 1 探索勾股定理探索勾股定理 一 选择题 共一 选择题 共 13 小题 小题 1 2012 广州 在 Rt ABC 中 C 90 AC 9 BC 12 则点 C 到 AB 的 距离是 A B C D 2 若三角形 ABC 中 A B C 2 1 1 a b c 分别是 A B C 的对边 则下列等式中 成立的是 A a2 b2 c2B a2 2c2C c2 2a2D c2 2b2 3 2012 梧州 如图 AOC BOC 点 P 在 OC 上 PD OA 于点 D PE OB 于点 E 若 OD 8 OP 10 则 PE 的长为 A 5B 6C 7D 8 4 2012 本溪 如图在直角 ABC 中 BAC 90 AB 8 AC 6 DE 是 AB 边的垂直平分线 垂足为 D 交边 BC 于点 E 连接 AE 则 ACE 的周长 为 A 16B 15C 14D 13 5 2010 钦州 如图是一张直角三角形的纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将 ABC 折叠 使点 B 与点 A 重合 折痕为 DE 则 BE 的长为 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 A 4cmB 5cmC 6cmD 10cm 6 2009 衡阳 如图 矩形纸片 ABCD 中 AB 4 AD 3 折叠纸片使 AD 边 与对角线 BD 重合 折痕为 DG 则 AG 的长为 A 1B C D 2 7 2009 滨州 已知 ABC 中 AB 17 AC 10 BC 边上的高 AD 8 则边 BC 的长为 A 21B 15C 6D 以上均不对 8 2008 清远 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 已知 BC 8 AC 6 则斜边 AB 上的高是 A 10B 5C D 9 如图 阴影部分是一个矩形 它的面积是 A 5cm2B 3cm2C 4cm2D 6cm2 10 张大爷离家出门散步 他先向正东走了 30m 接着又向正南走了 40m 此 时他离家的距离为 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 A 30mB 40mC 50mD 70m 11 如图在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 64 且 BD CD 9 7 则点 D 到 AB 边的距离为 A 18B 32C 28D 24 12 2010 河池 如图所示 是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌 而成的正方形图案 已知大正方形面积为 49 小正方形面积为 4 若用 x y 表 示直角三角形的两直角边 x y 下列四个说法 x2 y2 49 x y 2 2xy 4 49 x y 9 其中说法正确的是 A B C D 13 2003 山东 2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代 数学家赵爽的 勾股圆方图 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 如图 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形较短的直角边为 a 较长的直角边为 b 那么 a b 2的值为 A 13B 19C 25D 169 二 填空题 共二 填空题 共 2 小题 小题 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 14 2009 长沙 如图 等腰 ABC 中 AB AC AD 是底边上的高 若 AB 5cm BC 6cm 则 AD cm 15 2006 安徽 如图 直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B 点 A C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 则正方形的边长是 三 解答题 共三 解答题 共 3 小题 小题 16 请选择一个图形来证明勾股定理 可以自己选用其他图形进行证明 17 下图甲是任意一个直角三角形 ABC 它的两条直角边的边长分别为 a b 斜边长为 c 如图乙 丙那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三角形 放 在边长为 a b 的正方形内 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 图乙 图丙中 1 2 3 都是正方形 由图可知 1 是以 为边长的正方形 2 是以 为边长的正方形 3 的四条边长都 是 且每个角都是直角 所以 3 是以 为边长的 正方形 图中 1 的面积 2 的面积为 3 的面积 为 图中 1 2 面积之和为 图中 1 2 的面积之和与正方形 3 的面积有什么关系 为什么 由此 你能得到关于直角三角形三边长的关系吗 18 拓展创新 在教材中 我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关 系 利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确 性 问题 1 以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形 探究 S1 S2与 S3的关 系 如图 1 问题 2 以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形 探究 S S 与 S 的关系 如图 2 问题 3 以直角三角形的三边为直径向形外作半圆 探究 S1 S2与 S3的关系 如图 3 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 参考答案参考答案 一 选择题 共一 选择题 共 13 小题 小题 1 2012 广州 在 Rt ABC 中 C 90 AC 9 BC 12 则点 C 到 AB 的 距离是 A B C D 考点 勾股定理 点到直线的距离 三角形的面积 专题 计算题 分析 根据题意画出相应的图形 如图所示 在直角三角形 ABC 中 由 AC 及 BC 的长 利用勾股定理求出 AB 的长 然后过 C 作 CD 垂直于 AB 由直 角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求 也可以由斜边 AB 乘以 斜边上的高 CD 除以 2 来求 两者相等 将 AC AB 及 BC 的长代入求出 CD 的长 即为 C 到 AB 的距离 解答 解 根据题意画出相应的图形 如图所示 在 Rt ABC 中 AC 9 BC 12 根据勾股定理得 AB 15 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 过 C 作 CD AB 交 AB 于点 D 又 S ABC AC BC AB CD CD 则点 C 到 AB 的距离是 故选 A 点评 此题考查了勾股定理 点到直线的距离 以及三角形面积的求法 熟练掌 握勾股定理是解本题的关键 2 若三角形 ABC 中 A B C 2 1 1 a b c 分别是 A B C 的对边 则下列等式中 成立的是 A a2 b2 c2B a2 2c2C c2 2a2D c2 2b2 考点 等腰直角三角形 三角形内角和定理 勾股定理 分析 本题可根据三角形内角和 180 得出 A B C 三个角的大小 它们的比值 即为边的比值 将三边代入三角形的勾股定理中 即可得出答案 解答 解 已知三角形 ABC 中 A B C 2 1 1 并且三角的和是 180 度 因而可以求得 A 90 B C 45 即这个三角形是等腰直角三角形 b c a 是斜边 根据勾股定理得到 a2 b2 c2 2c2 故选 B 点评 解决本题的关键是通过三角形的角的比值 求出角度 得到三角形是等腰 直角三角形 3 2012 梧州 如图 AOC BOC 点 P 在 OC 上 PD OA 于点 D PE OB 于点 E 若 OD 8 OP 10 则 PE 的长为 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 A 5B 6C 7D 8 考点 角平分线的性质 勾股定理 分析 由 PD OA OD 8 OP 10 利用勾股定理 即可求得 PD 的长 然后由 角平分线的性质 可得 PE PD 解答 解 PD OA PDO 90 OD 8 OP 10 PD 6 AOC BOC 点 P 在 OC 上 PD OA PE OB PE PD 6 故选 B 点评 此题考查了角平分线的性质与勾股定理 此题比较简单 注意角的平分线 上的点到角的两边的距离相等 4 2012 本溪 如图在直角 ABC 中 BAC 90 AB 8 AC 6 DE 是 AB 边的垂直平分线 垂足为 D 交边 BC 于点 E 连接 AE 则 ACE 的周长 为 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 A 16B 15C 14D 13 考点 线段垂直平分线的性质 勾股定理 分析 首先连接 AE 由在直角 ABC 中 BAC 90 AB 8 AC 6 利用勾 股定理即可求得 BC 的长 又由 DE 是 AB 边的垂直平分线 根据线段垂 直平分线的性质 即可得 AE BE 继而可得 ACE 的周长为 BC AC 解答 解 连接 AE 在 Rt ABC 中 BAC 90 AB 8 AC 6 BC 10 DE 是 AB 边的垂直平分线 AE BE ACE 的周长为 AE EC AC BE CE AC BC AC 10 6 16 故选 A 点评 此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理 此题难度不大 注意掌握 数形结合思想与转化思想的应用 注意垂直平分线上任意一点 到线段两 端点的距离相等定理的应用 5 2010 钦州 如图是一张直角三角形的纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将 ABC 折叠 使点 B 与点 A 重合 折痕为 DE 则 BE 的长为 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 A 4cmB 5cmC 6cmD 10cm 考点 翻折变换 折叠问题 勾股定理 分析 由勾股定理求得 AB 的长 由题意知 BE 是 AB 的一半 解答 解 两直角边 AC 6cm BC 8cm AB 10cm 由题意知 点 E 是 AB 的中点 故 BE AB 5cm 故选 B 点评 本题考查图形的翻折变换 解题过程中应注意折叠是一种对称变换 它属 于轴对称 对应边相等 6 2009 衡阳 如图 矩形纸片 ABCD 中 AB 4 AD 3 折叠纸片使 AD 边 与对角线 BD 重合 折痕为 DG 则 AG 的长为 A 1B C D 2 考点 勾股定理 角平分线的性质 翻折变换 折叠问题 分析 根据折叠的性质和角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算 解答 解 由已知可得 ADG A DG BD 5 A G AG A D AD 3 A B 5 3 2 BG 4 A G 在 Rt A BG 中 BG2 A G2 A B2可得 A G 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 则 AG 故选 C 点评 本题主要考查折叠的性质 由已知能够注意到 ADG A DG 是解决的 关键 7 2009 滨州 已知 ABC 中 AB 17 AC 10 BC 边上的高 AD 8 则边 BC 的长为 A 21B 15C 6D 以上答案都不 对 考点 勾股定理 专题 分类讨论 分析 高线 AD 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部 本题应分两种情况 进行讨论 分别依据勾股定理即可求解 解答 解 在直角三角形 ABD 中 根据勾股定理 得 BD 15 在直角三角形 ACD 中 根据勾股定理 得 CD 6 当 AD 在三角形的内部时 BC 15 6 21 当 AD 在三角形的外部时 BC 15 6 9 则 BC 的长是 21 或 9 故选 D 点评 当涉及到有关高的题目时 注意由于高的位置可能在三角形的内部 也可 能在三角形的外部 所以要注意考虑多种情况 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 8 2008 清远 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 已知 BC 8 AC 6 则斜边 AB 上的高是 A 10B 5C D 考点 勾股定理 分析 根据勾股定理求得 AB 的长 再根据三角形的面积公式求得 CD 即可 解答 解 BC 8 AC 6 AB 10 S ABC 6 8 10 CD CD 故选 C 点评 此题运用了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用 9 如图 阴影部分是一个矩形 它的面积是 A 5cm2B 3cm2C 4cm2D 6cm2 考点 几何体的表面积 勾股定理 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 分析 根据勾股定理先求出斜边的长度 再根据长方形的面积公式求出带阴影的 矩形面积 解答 解 5 厘米 带阴影的矩形面积 5 1 5 平方厘米 故选 A 点评 本题考查了勾股定理和长方形的面积公式 10 张大爷离家出门散步 他先向正东走了 30m 接着又向正南走了 40m 此 时他离家的距离为 A 30mB 40mC 50mD 70m 考点 正数和负数 勾股定理 专题 计算题 分析 根据勾股定理直接求得斜边 即为他离家的距离 解答 解 50m 故选 C 点评 本题考查了正数和负数的意义以及勾股定理的运用 题目比较简单 11 如图在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 64 且 BD CD 9 7 则点 D 到 AB 边的距离为 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 A 18B 32C 28D 24 考点 角平分线的性质 勾股定理 分析 过 D 作 DE AB 于 E 根据角平分线的性质可以得到 DE CD 而根据已 知条件可以求出 CD 的长 也就求出了 DE 的长 解答 解 如图 过 D 作 DE AB 于 E AD 平分 BAC 交 BC 于 D 而 C 90 CD DE BC 64 且 BD CD 9 7 CD 64 28 DE 28 则点 D 到 AB 边的距离为 28 故选 C 点评 此题主要利用角平分线的性质解题 把求则点 D 到 AB 的距离转化成求 CD 的长 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 12 2010 河池 如图所示 是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌 而成的正方形图案 已知大正方形面积为 49 小正方形面积为 4 若用 x y 表 示直角三角形的两直角边 x y 下列四个说法 x2 y2 49 x y 2 2xy 4 49 x y 9 其中说法正确的是 A B C D 考点 勾股定理 分析 大正方形的面积是 49 则其边长是 7 显然 利用勾股定理可得 x2 y2 49 小正方形的面积是 4 则其边长是 2 根据图可发现 y 2 x 即 x y 2 还可以得出四个三角形的面积 小正方形的面积 大正方形的面积 即 4 xy 4 49 化简得 2xy 4 49 其中 x y 故不成立 解答 解 大正方形的面积是 49 则其边长是 7 显然 利用勾股定理可得 x2 y2 49 故选项 正确 小正方形的面积是 4 则其边长是 2 根据图可发现 y 2 x 即 x y 2 故选项 正确 根据图形可得四个三角形的面积 小正方形的面积 大正方形的面积 即 4 xy 4 49 化简得 2xy 4 49 故选项 正确 则 x y 故此选项不正确 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 故选 B 点评 本题利用了勾股定理 面积分割法等知识 13 2003 山东 2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代 数学家赵爽的 勾股圆方图 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形 如图 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形较短的直角边为 a 较长的直角边为 b 那么 a b 2的值为 A 13B 19C 25D 169 考点 勾股定理 分析 根据勾股定理 知两条直角边的平方等于斜边的平方 此题中斜边的平方 即为大正方形的面积 13 2ab 即四个直角三角形的面积和 从而不难求得 a b 2 解答 解 a b 2 a2 b2 2ab 大正方形的面积 四个直角三角形的面积和 13 13 1 25 故选 C 点评 注意完全平方公式的展开 a b 2 a2 b2 2ab 还要注意图形的面积和 a b 之间的关系 二 填空题 共二 填空题 共 2 小题 小题 14 2009 长沙 如图 等腰 ABC 中 AB AC AD 是底边上的高 若 AB 5cm BC 6cm 则 AD 4 cm 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 考点 勾股定理 分析 先根据等腰三角形的性质求出 BD 的长 再根据勾股定理解答即可 解答 解 根据等腰三角形的三线合一可得 BD BC 6 3cm 在直角三角 形 ABD 中 由勾股定理得 AB2 BD2 AD2 所以 AD 4cm 点评 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理 关键要熟知等腰三角形的三线 合一可得 15 2006 安徽 如图 直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B 点 A C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 则正方形的边长是 考点 勾股定理 直角三角形全等的判定 分析 两直角三角形的斜边是正方形的两边 相等 有一直角对应相等 再根据 正方形的角为直角 可得到有一锐角对应相等 易得两直角三角形全等 由三角形全等的性质可把 2 1 正方形的边长组合到直角三角形内得正 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 方形边长为 解答 解 如图 四边形 ABCD 是正方形 AB CD ABM CBN 90 而 AM MN CN BN BAM CBN AMB CNB 90 AMB BCN BM CN AB 为 点评 本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用 三 解答题 共三 解答题 共 3 小题 小题 16 请选择一个图形来证明勾股定理 可以自己选用其他图形进行证明 考点 勾股定理的证明 专题 证明题 开放型 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 分析 选第一个图形证明 都来表示中间正方形的面积 有两种表示方法 直接 表示正方形的面积 用大正方形的面积 4 个全等的直角三角形的面积 解答 解 外部是四个全等的直角三角形 中间的四边形为正方形 正方形的面积 c2 正方形的面积 a b 2 4 ab a2 b2 a2 b2 c2 点评 用构图法来解释勾股定理 通常情况下是运用不同的方式来表示面积得到 的结果 17 下图甲是任意一个直角三角形 ABC 它的两条直角边的边长分别为 a b 斜边长为 c 如图乙 丙那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三角形 放 在边长为 a b 的正方形内 图乙 图丙中 1 2 3 都是正方形 由图可知 1 是以 a 为边长 的正方形 2 是以 b 为边长的正方形 3 的四条边长都是 c 且每 个角都是直角 所以 3 是以 c 为边长的正方形 图中 1 的面积 a 2 2 的面积为 b 2 3 的面积为 c 2 图中 1 2 面积之和为 a2 b 2 图中 1 2 的面积之和与正方形 3 的面积有什么关系 为什么 由此 你能得到关于直角三角形三边长的关系吗 考点 勾股定理的证明 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 中小学各学科各版本精品课件 教案 试题 素材 尽在 分析 根据图形可以直接得出各正方形的边长 进而得出各正方形面积 再通过 两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理 解答 解 图乙 图丙中 1 2 3 都是正方形 由图可知 1 是以 a