高中数学 随机抽样知识点复习 湘教版选修3

1 第一节第一节随机抽样随机抽样 高考命题走向 高考命题走向 多以选择题 填空题的形式出现 以实际问题为背景 热点是随机抽样方法中的分层抽样 系统抽样 知识点 知识点 1 1 简单随机抽样 简单随机抽样 定义 设一个总体含有 N 个个体 从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 n N 如果每次抽取时总 体内的各个个体被抽到的机会都相等 就把这种抽样称为简单随机抽样 方法 抽签法和随机数表法 2 2 系统抽样 系统抽样 定义 当总体中的个数较多时 可将总体分成均衡的几组 然后按照预先定出的规则 从每组中抽取 1 个 个体 得到所需要的样本 这种抽样叫做系统抽样 从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本步骤可概括为 1 编号编号 先将总体的 N 个个体编号 2 分组分组 对编号进行分组 确定组间隔k 当 n N 是整数时 取 n N k 3 确定起始个体号确定起始个体号 在第 1 组中用简单随机抽样确定起始的个体编号l l k 4 抽取样本抽取样本 按照一定的规则抽取样本 通常是将l加上间隔k得到样本 knlklkll 1 2 注意 注意 当 n N 不是整数时 通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数 N 能被n整除 再重新编号 分 组 确定起始个体号 抽取样本 此时 n N k 3 3 分层抽样 分层抽样 定义 在抽样时 将总体分成互不交叉的层 然后按照一定的比例 从各层独立地抽取一定数量的个体 将各层取出的个体合在一起作为样本 这种抽样方法叫做分层抽样 4 4 三种抽样方法的区别 联系及它们的适用范围 三种抽样方法的区别 联系及它们的适用范围 典例解析典例解析 题型题型 1 1 统计概念及简单随机抽样 统计概念及简单随机抽样 1 为调查参加运动会的 1000 名运动员的年龄情况 从中抽查了 100 名运动员的年龄 就这个问题来说 下列说法正确的是 A 1000 名运动员是总体B 每个运动员是个体 C 抽取的 100 名运动员是样本D 样本容量是 100 2 今用简单随机抽样从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本 问 总体中的某一个体a在 第一次抽取时被抽到的概率是多少 个体a在第 1 次未被抽到 而是在第 2 次被抽到的概率是多少 在整 个抽样过程中 个体a被抽到的概率是多少 3 假设要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标 现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验 利 用随机数表抽取样本时 先将 800 袋牛奶按 000 001 799 进行编号 如果从随机数表第 8 行第 7 列的数 开始向右读 请你衣次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号 下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 2 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 题型题型 2 2 系统抽样 系统抽样 4 为了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩 请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本 5 一个总体中有 100 个个体 随机编号为 0 1 2 99 依编号顺序平均分成 10 个小组 组号依次 为 1 2 3 10 现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本 若在第 1 组中抽到的号码为6 那么在第 7 组中抽取的号码是 题型题型 3 3 分层抽样 分层抽样 6 甲校有 3600 名学生 乙校有 5400 名学生 丙校有 1800 名学生 为统计三校学生某方面的情况 计 划采用分层抽样法 抽取一个样本容量为 90 人的样本 应在这三校分别抽取学生 A 30 人 30 人 30 人 B 30 人 45 人 15 人 C 20 人 30 人 10 人 D 30 人 50 人 10 人 7 防疫站对学生进行身体健康检查 采用分层抽样法抽取 红星中学共有学生 1600 名 抽取一个容量为 200 的样本 已经女生比男生少抽了 10 人 则该校有女生 人 8 某单位最近组织了一次健身活动 活动分为登山组和游泳组 且每个职工至多参加了其中一组 在参 加活动的职工中 青年人占 42 5 中年人占 47 5 老年人占 10 登山组的职工占参加活动总人数的 4 1 且该组中 青年人占 50 中年人占 40 老年人占 10 为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动 的满意程度 现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本 试确定 游泳组中 青年人 中年人 老年人分别所占的比例 游泳组中 青年人 中年人 老年人分别应抽取的人数 题型题型 4 4 综合问题 综合问题 9 某公司在甲 乙 丙 丁四个地区分别有 150 个 120 个 180 个 150 个销售点 公司为了调查产品 销售的情况 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本 记这项调查为 在丙地区中有 20 个特大 型销售点 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况 记这项调查为 则完成 这两项调查宜采 用的抽样方法依次是 A 分层抽样法 系统抽样法B 分层抽样法 简单随机抽样法 C 系统抽样法 分层抽样法D 简单随机抽样法 分层抽样法 10 某初级中学有学生 270 人 其中一年级 108 人 二 三年级各 81 人 现要利用抽样方法抽取 10 人参 加某项调查 考虑选用简单随机抽样 分层抽样和系统抽样三种方案 使用简单随机抽样和分层抽样时 将学 生按一 二 三年级依次统一编号为 1 2 270 使用系统抽样时 将学生统一随机编号 1 2 270 并将整个编号依次分为 10 段 如果抽得号码有下列四种情况 7 34 61 88 115 142 169 196 223 250 5 9 100 107 111 121 180 195 200 265 3 11 38 65 92 119 146 173 200 227 254 30 57 84 111 138 165 192 219 246 270 关于上述样本的下列结论中 正确的是 A 都不能为系统抽样B 都不能为分层抽样 C 都可能为系统抽样 D 都可能为分层抽样 第二节第二节 用样本估计总体用样本估计总体 高考命题走向 高考命题走向 以基本题目 中 低档题 为主 多以选择题 填空题的形式出现 以实际问题为背景 亦可与概率结合 以解答题形式出现 热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征 知识点 知识点 1 1 作频率分布直方图步骤 作频率分布直方图步骤 1 求极差 即一组数据中最大值与最小值的差 2 决定组距与组数 3 将数据分组 4 列频率分布表 5 画频率分布直方图 2 2 折线图 总体密度曲线 茎叶图折线图 总体密度曲线 茎叶图 折线图 连接频率分布直方图中小长方形上端中点 就得到频率分布折线图 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分的组数增加 组距减小 相应的频率折线图会越来越接 近于一条光滑的曲线 即总体密度曲线 3 3 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 1 众数 在频率分布直方图中 众数是最高的矩形的中点的横坐标 2 平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和 3 中位数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积相等 由此可以估计中位数的值 4 4 标准差和方差 标准差和方差 如果这 n 个数据是 n xxx 21 标准差 222 12 1 11 n ni i sxxxxxxxx nn 方差 222 2 12 1 11 n ni i Sxxxxxxxx nn 典例解析典例解析 题型题型 1 1 频率分布直方图 条形图 茎叶图 频率分布直方图 条形图 茎叶图 1 为检测某种产品的质量 抽取了一个容量为 30 的样本 检测结果为一级品 5 件 二级品 8 件 三级品 13 件 次品 14 件 1 列出样本频率分布表 2 画出表示样本频率分布的条形图 3 根据上述结果 估计商品为二级品或三级品的概率约是多少 4 0 0005 3000 3500 0 0003 0 0004 20001500 0 0002 0 0001 400025001000 元 元 元 元元 元 元 元 元 元 2 某中学对高三年级进行身高统计 测量随机抽取的 40 名学生的身高 其结果如下 单位 cm 分组 140 145 145 1 50 150 1 55 155 1 60 160 1 65 165 1 70 170 1 75 175 180 合计 人数 12591363140 1 列出频率分布表 2 画出频率分布直方图 折线图 3 估计数据落在 150 170 范围内的概率 3 潮州统计局就某地居民的月收入调查了10000人 并根据 所得数据画了样本的频率分布直方图 每个分组包括左端点 不包括右端点 如第一组表示收入在 1500 1000 1 求居民月收入在 3500 3000 的频率 2 根据频率分布直方图算出样本数据的中位数 3 为了分析居民的收入与年龄 职业等方面的关系 必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出 100人作进一步分析 则月收入在 3000 2500 的这段应抽多少人 5 4 200 辆汽车正在经过某一雷达区 这些汽车运行 的时速频率分布直方图如图所示 则时速超过 60km h 的汽车数量约为 5 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了 该地区 100 名年龄为 17 5 岁 岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下 根据上图可得这 100 名学生 中体重在 56 5 64 5 的学生人数是 A 20 B 30 C 40 D 50 6 甲 乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图 甲 乙 表示如右 则平均分数较高的是 成绩较为稳定的 9 8 6 3 8 9 9 是 2 1 0 7 1 题型题型 2 2 标准差与方差 标准差与方差 7 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 A 9 4 0 484 B 9 4 0 016 C 9 5 0 04 D 9 5 0 016 8 甲 乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下 单位 t hm2 品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年 甲 9 89 910 11010 2 乙 9 410 310 89 79 8 其中产量比较稳定的小麦品种是 第三节第三节 变量间的相关关系变量间的相关关系 高考命题走向 高考命题走向 以考查线性回归系数为主 同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系 多以选择 填空出现 知识点 知识点 1 两个变量的相关关系 一种不确定的关系 与函数关系的区别与联系 相关系数 判定两个变量线性相关性 n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 11 22 1 0 005 0 010 0 018 0 028 0 039 频率 组距 时速 km h 706050403080 6 r 0 时 变量yx 正相关 从散点图上看 点散布在从左下角到右上角的区域 r 0 时 变量yx 负相关 从散点图上看 点散布在从左上角到右下角的区域 r 越接近于 1 两个变量的线性相关性越强 r 接近于 0 两个变量之间几乎不存在线性相关关系 2 回归直线方程 设x与y是具有相关关系的两个变量 且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直 线的附近 就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型 bxay 其中 2 1 2 1 1 2 1 xnx yxnyx xx yyxx b n i i n i ii n i i n i ii xbya 我们称这个方程为y对x的回归直线方程 典例解析典例解析 1 有关线性回归的说法 不正确的是 A 相关关系的两个变量不是因果关系 B 散点图能直观地反映数据的相关程度 C 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D 任一组数据都有回归方程 2 下面哪些变量是相关关系 A 出租车费与行驶的里程 B 房屋面积与房屋价格 C 身高与体重 D 铁的大小与质量 3 一位母亲记录了儿子 3 9 岁的身高 由此建立的身高与年龄的回归模型为 y 7 19x 73 93 用这个模型预测 这个孩子 10 岁时的身高 则正确的叙述是 A 身高一定是 145 83cm B 身高在 145 83cm 以上 C 身高在 145 83cm 以下 D 身高在 145 83cm 左右 4 x是 1 x 2 x 100 x的平均数 a是 1 x 2 x 40 x的平均数 b是 41 x 42 x 100 x的平均数 则下列各式正确的是 4060 100 ab x 6040 100 ab x xab 2 ab x 5 工人月工资 元 依劳动生产率 千元 变化的回归直线方程为 6090yx 下列判断正确的是 A 劳动生产率为 1000 元时 工资为 50 元 B 劳动生产率提高 1000 元时 工资提高 150 元 C 劳动生产率提高 1000 元时 工资提高 90 元 D 劳动生产率为 1000 元时 工资为 90 元 6 已知yx 之间的一组数据 x 1 081 121 191 28 y 2 252 372 402 55 y与x之间的线性性回归方程abxy 必过定点 7 某种产品的广告费用支出x 万元 与销售y 万元 之间有如下的对应数据 x 24568 y 3040605070 若由资料可知对x呈线性相关关系 试求 1 线性回归方程 2 据此估计广告费用支出为 10 时销售收入y的值 7 第四节第四节 典型统计案例典型统计案例 知识点 知识点 1 事件的独立性 BPAPA ABP B 则为相互独立的事件事件若 2 列联表独立性分析 3 一元线性回归 bxay 12 n xxx x n 12 n yyy y n 222 2 12 1 11 n xni i Sxxxxxxxx nn 222 2 12 1 11 n yni i Syyyyyyyy nn 1122 nn xy x yx yx y Sxy n 22 xy xy xy S r S S 2 xy x S b S aybx 典例解析典例解析 1 打靶时甲每打 10 次可中靶 8 次 乙每打 10 次可中靶 7 次 若两人同时射击一个目标 则它们都中靶 的概率是 A 3 5 B 3 4 C 12 25 D 14 25 2 某医疗机构通过抽样调查 样本容量 1000n 利用2 2 列联表和卡方统计量研究患肺病是否与 吸烟有关 计算得 2 4 453 经查对临界值表知 2 3 841 0 05P 则下列结论正确的是 A 在 100 个吸烟的人中约有 95 个人患肺病 B 若某人吸烟 那么他有95 的可能性患肺病 C 有95 的把握认为 患肺病与吸烟有关 D 有5 的把握认为 患肺病与吸烟有关 3 为了考察某种药物预防疾病的效果 进行动物试验 得到如下的列联表 药物效果与动物试验列联表 患病未患病 8 服用药 1045 没服用药 2030 请问能有 把握认为药物有效 2 6 64 0 01P 2 3 84 0 05P 4 在对人们的休闲方式的一次调查中 共调查了 124 人 其中女性 70 人 男性 54 人 女性中有 43 人主 要的休闲方式是看电视 另外 27 人