2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练： 数学归纳法（练习+详细答案）大纲人教版

随时训练随时训练 5656 数学归纳法数学归纳法 一 选择题 1 用数学归纳法证明 a a aaa n n 1 1 1 2 12 a 1 n N N 在验证 n 1 成立时 左边计算所得项是 A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 解析 解析 当 n 1 时 左边 1 a a1 1 1 a a2 答案 答案 C 2 用数学归纳法证明不等式 64 127 2 1 4 1 2 1 1 1 n 成立 则 n 的第一个值应取 A 7 B 8 C 9 D 10 解析 解析 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 n n 左边 要使 64 127 2 1 2 1 n 成立 应有 n 7 答案 答案 B 3 已知 2 1 2 1 1 11 nnnn nf 则 A f n 中共有 n 项 当 n 2 时 3 1 2 1 2 f B f n 中共有 n 1 项 当 n 2 时 4 1 3 1 2 1 2 f C f n 中共有 n2 n 项 当 n 2 时 3 1 2 1 2 f D f n 中共有 n2 n 1 项 当 n 2 时 4 1 3 1 2 1 2 f 解析 解析 f n 的项数为 n2 n 1 当 n 2 时 4 1 3 1 2 1 2 f 答案 答案 D 4 用数学归纳法证明 对一切 n N N 都有 2n n2 2 这一命题 证明过程中应验证 A n 1 时命题成立 B n 1 n 2 时命题成立 C n 3 时命题成立 D n 1 n 2 n 3 时命题成立 解析 解析 假设 n k 时不等式成立 即 2k k2 2 当 n k 1 时 2k 1 2 2k 2 k2 2 由 2 k2 2 k 1 2 2 k2 2k 3 0 k 1 k 3 0 k 3 因此需验证 n 1 2 3 时命题成立 答案 答案 D 5 已知数列 an 的各项均为自然数 a1 1 且它的前 n 项和为 Sn 若对所有的正整数 n 有 Sn 1 Sn Sn 1 Sn 2成立 通过计算 a2 a3 a4 然后归纳出 Sn A 2 1 nn B 2 1 2 n C 2 12 n D 2 12 n 解析 解析 由已知 得 2 11 nnn aSS 2 1nn aSS 两式相减 得 22 11nnnn aaaa an 1 an 1 即 an 是等差数列 公差 d 1 a2 2 a3 3 an n 2 1 nn Sn 答案 答案 A 6 证明 212 1 4 1 3 1 2 1 1 n n n N N 假设 n k 时成立 当 n k 1 时 左端增加的项 数是 A 1 项 B k 1 项 C k 项 D 2k项 解析 解析 当 n k 时 不等式左端为 12 1 4 1 3 1 2 1 1 k 当 n k 1 时 不等式左端为 12 1 2 1 12 1 3 1 2 1 1 1 kkk 增加了 12 1 2 1 1 kk 项 共有 2k 1 1 2k 1 2k项 答案 答案 D 7 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 3 2 1 nn条时 第一步验证 n 等于 A 1 B 2 C 3 D 0 解析 解析 边数为 n 的初始值是 3 答案 答案 C 8 设函数 f n 2n 9 3n 1 9 当 n N N 时 f n 能被 m m N N 整除 猜想 m 的最大值为 A 9 B 18 C 27 D 36 解析 解析 由 f n 1 f n 36 3n 1 n 6 知 m 的最大值为 36 答案 答案 D 9 已知数列 an 中 a1 1 a2 2 an 1 2an an 1 用数学归纳法证明 a4n能被 4 整除 假设 a4k能 被 4 整除 应证 A a4k 1能被 4 整除 B a4k 2能被 4 整除 C a4k 3能被 4 整除 D a4k 4能被 4 整除 解析 解析 当 n k 1 时 应证 a4 k 1 a4k 4成立 答案 答案 D 10 上一个 n 级的台阶 若每次可上一级或两级 设上法的总数为 f n 则下列猜想中正确的是 A f n n B f n f n 1 f n 2 C f n f n 1 f n 2 D 3 2 1 2 1 nnfnf nn nf 解析 解析 当 n 1 时 只有一种上法 即 f 1 1 当 n 2 时可分为两类 若每次仅上一层 有一种 上法 若每次上两层 也只有一种上法 由加法原理 得 f 2 2 当 n 3 时 可分为两类 若第 一次仅上一层 则剩余的 n 1 层台阶的上法种数为 f n 1 若第一次上两层 则剩余的 n 2 层 台阶的上法种数为 f n 2 由加法原理 得 f n f n 1 f n 2 答案 答案 D 二 填空题 11 观察下表 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 设第 n 行的各数之和为 Sn 则 2 lim n Sn n 解析 解析 第一行 1 12 第二行 2 3 4 9 32 第三行 3 4 5 6 7 25 52 第四行 4 5 6 7 8 9 10 49 72 归纳 第 n 行的各数之和 Sn 2n 1 2 4 12 limlim 2 2 n n n S n n n 答案 答案 4 12 用数学归纳法证明 2n 1 n2 n 2 n N N 时 第一步的验证为 答案 答案 当 n 1 时 左边 21 1 4 右边 12 1 2 4 左边 右边 不等式成立 13 用数学归纳法证明不等式 24 131 2 1 1 1 nnnn 的过程中 由 n k 推导 n k 1 时 不 等式的左边增加的式子是 解析 解析 不等式的左边增加的式子是 22 1 2 1 1 1 22 1 12 1 kkkkk 故填 22 12 1 kk 答案 答案 22 12 1 kk 14 如图 第 n 个图形是由正 n 2 边形 扩展 而来 n 1 2 3 则第 n 2 个图形中共有 个顶点 解析 解析 观察规律 第一个图形有 32 3 1 2 2 1 2 第二个图形有 2 2 2 2 2 42 4 第三个图形有 3 2 2 3 2 52 5 第 n 2 个图形有 n 2 2 2 n 2 2 n2 n 个顶点 答案 答案 n2 n 三 解答题 15 已知数列 an 前 n 项和为 Sn 且满足 Sn an 2n 1 1 写出 a1 a2 a3 并推测通项 an的表达式 2 用数学归纳法证明所得的结论 1 解 解 2 3 1 a 4 7 2 a 8 15 3 a 猜想 n n a 2 1 2 2 证明 证明 当 n 1 时 2 1 2 2 3 1 a 命题成立 假设 n k 时 命题成立 则 k k a 2 1 2 当 n k 1 时 a1 a2 ak 2ak 1 2 k 1 1 且 a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 k k a 2 1 222 1 1 1 2 1 2 k k a 即当 n k 1 时 命题成立 由 知对于任意 n N N 猜想成立 16 数列 an 中 a1 2 n n n a a a 1 2 1 试证 n an 1 22 n N N 证明 证明 1 n 1 时 a1 2 1222 显然成立 又 a1 0 an 0 成立 2 假设 n k 时 k ak 1 22 成立 当 n k 1 时 k k k a a a 1 2 1 ak 0 且 k k a a1 2 2 1 2 2 1 k k k a a a 又 k ak 2 1 2 2 2 且 2 21 k a 1 1 2 2 2 2 1 2 21 2 kka a k k 即 1 1 22 1 k ak n k 1 时命题成立 综上 对任意的 n N N 有 n an 1 22 教学参考例题教学参考例题 志鸿优化系列丛书志鸿优化系列丛书 例 1 是否存在正整数 m 使得 f n 2n 7 3n 9 对任意自然数 n 都能被 m 整除 若存在 求出最大的 m 值 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 解 解 由 f n 2n 7 3n 9 得 f 1 36 f 2 3 36 f 3 10 36 f 4 34 36 由此猜想 m 36 下面用数学归纳法证明 1 当 n 1 时 显然成立 2 假设 n k 时 f k 能被 36 整除 即 f k 2k 7 3k 9 能被 36 整除 当 n k 1 时 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于 3k 1 1 是 2 的倍数 故 18 3k 1 1 能被 36 整除 这就是说 当 n k 1 时 f n 也能被 36 整除 由 1 2 可知对一切正整数 n 都有 f n 2n 7 3n 9 能被 36 整除 m 的最大值为 36 例 2 用数学归纳法证明n n n 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 n N N 证明 证明 1 当 n 1 时 左边 2 3 2 1 1 2 3 1 2 1 右边 2 3 2 1 1 2 3 命题成立 2 假设 n k 时 不等式成立 即k k k 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1