解析几何的一道改编题

1 解解 析析 几几 何何 的的 一一 道道 改改 编编 题题 惠州市东江高级中学 郑春灵 原题原题 选修 2 1 人教 A 版第 81 页 B 组第 7 题 过抛物线的焦点 0 2 2 ppxy F 作直线与抛物线交于 A B 两点 以 AB 为直径画圆 借助信息技术工具观察它与抛物线准 线 的关系 你能得到什么结论 相应于椭圆 双曲线如何 你能证明你的结论吗 l 解 如图所示 设弦 AB 的中点为点 C 过 A B C 三点分别作准线 L 的垂线 垂足分别为点 111 CBA 由图易知 2 2 11 BBAAAB r 又 2 11 1 BBAA CC 1 CCr 即以 AB 为直径的圆的半径等于点 C 到准线 L 的距离 以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线 0 2 2 ppxy 的准线相切 同理可得 相应于椭圆和双曲线而言 以焦点弦 AB 为直径的圆与椭圆相应准线相离 与双曲线相应准线相交 评析评析 本题主要考查了圆锥曲线定义的应用及数形结合 化归转化的数学思想 对学 生的运算能力要求不高 突出考查了学生的思维能力和对定义的运用能力 改编题改编题 如图所示 已知过抛物线的焦点 F 的直线 与抛物线相交于 A Byx4 2 l 两点 1 求证 以 AF 为直径的圆与 x 轴相切 2 设抛物线在 A B 两点处的切线的交点yx4 2 为 M 若点 M 的横坐标为 2 求 ABM 的外接圆方程 3 设过抛物线焦点 F 的直线 与椭圆 yx4 2 l 的交点为 C D 是否存在直线 使1 2 3 4 3 22 xy l 得 AF CF BF DF 若存在 求出直线 的方程 l 若不存在请说明理由 A B F C A1 C1 B1 O y x A B F x y OA1 M B1 C D O1 O2 2 考查目标 考查目标 本题第 1 2 问紧扣原题 考查了圆锥曲线的定义及相应结论的应用 同时第 1 问还考查了数形结合及化归转化的数学思想 第 2 问还考查了导数在解析几何中的简单 应用和学生的探究能力 第 3 问综合考查了椭圆与抛物线的综合应用 同时考查了向量在 解析几何中的应用及化归转化思想与运算能力和探究能力 本题综合考查了多种数学思想 多种解题方法 多种圆锥曲线 无论是从数学思想还是从解题方法上对学生能力的培养很 有帮助 本题从难度上讲属中等偏难题 解答过程 解答过程 1 解法一解法一 几何法 设线段 AF 中点为 过作垂直于 x 轴 垂足为 则 1 O 1 O 21O O 2 O 2 分 2 2 1 2 2 2 11 1 OFAAAA P AA AF r 又 3 分 2 1 21 OFAA OO 以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切 4 分 21O Or 解法二解法二 代数法 设 线段 AF 中点为 过作垂直于 x 轴 垂足为 11 yxA 1 O 1 O 21O O 2 O 则1 1 4 1 1 2 11 2 1 2 1 yyyyxAF 2 分 2 1 1 y r 又 点为线段 AF 的中点 3 分 1 O 2 1 2 1 21 yyy OO FA 21O Or 以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切 4 分 2 设直线 AB 的方程为 1 kxy 2211 yxByxA 由 5 分044 4 1 2 2 kxx yx kxy 可得 4 4 21 21 xx kxx 由 24 4 2 2 x y x yyx 可得 6 分1 4 4 422 2121 xxxx KK MBMA MBMA 直线 故 RtMAB为的中点的外接圆的圆心为线段ABMAB 3 设线段 AB 中点为点 P 易证 P 与抛物线的准线相切 切点为点 M 7 分 1222 2 2 21 k k xx xx MP 即 8 分 3 2 3 2 24 2 2 2 1 1 2 212121 P kxxkxkxyy yP即圆心 又4 1 3 MPr 9 分16 3 2 22 yxMAB的外接圆的方程为所求 3 设 10 分 CF DF BF AF DFBFCFAF CF DF BF AF 则 设 则FCDF FBAF 且 4433 yx DyxC 11 分 1 1 1 1 3344 2211 yxyx yxyx 34 21 34 21 xx xx xx xx 即 将代入可得 12 分 21 xx 4 4 21 21 xx kxx 22 4 1 1 k 由 63 1 2 2 016 63 1 3 2 3 4 1 2 43 2 43 22 22 k xx k k xx kxxk xy kxy 可得 联立可得 13 分 34 xx 2 2 2 36 63 1 k k 联立 可得 解得 2 2 2 36 63 4 1 k k k 11 2 k k 14 分1 xy所求直线方程为存在符合题意的直线且 本题特点 本题特点 本题是以课本练习题为蓝本 进行深入的加工 从难度上讲比原题要难 属中 等偏难题 本题从数学方法数学方法上讲考查了 定义法 图像法 导数在解析几何中的简单应用 从数学能力数学能力上讲考